Теорема пифагора формула как найти основание - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Теорема Пифагора

Названо в честь	Пифагор
Описывающая закон или теорему формула	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Обозначение в формуле	, и
Элемент или утверждение описывает	прямоугольный треугольник
Описывается по ссылке	geogebra.org/m/ZF… (англ.)
Медиафайлы на Викискладе

Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость^[⇨]

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида^[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение^[⇨]: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы^[⇨] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется^[⇨].

История[править | править код]

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»^[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы^[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы^[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки^[⇨]^[4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно^[5]^[6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков^[7].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора^[8].

Формулировки[править | править код]

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты и , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны и , а длина гипотенузы — , выполнено соотношение $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух сторон треугольника была равна квадрату третьей стороны^[9].

Пифагор, 572–500 г. до н. э.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой^[10].

Доказательства[править | править код]

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора^[11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия^[⇨]), метод площадей^[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники[править | править код]

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры^[12].
В нём для треугольника с прямым углом при вершине со сторонами a,b,c , противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения

${displaystyle {frac {a}{c}}={frac {|HB|}{a}},quad {frac {b}{c}}={frac {|AH|}{b}}.}$

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

${displaystyle a^{2}=ccdot |HB|,quad b^{2}=ccdot |AH|,}$

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

${displaystyle a^{2}+b^{2}=ccdot {big (}|HB|+|AH|{big )}=c^{2}quad Longleftrightarrow quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Доказательства методом площадей[править | править код]

Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Схема доказательства через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a,b и гипотенузой , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна ${displaystyle (a+b)^{2}}$ , он состоит из внутреннего квадрата площадью $c^{2}$ и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью ${frac {ab}{2}}$ , в результате из соотношения ${displaystyle (a+b)^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+c^{2}}$ при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида[править | править код]

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами^[13].

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером^[14]. Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом и квадраты , и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть и ). Прямая разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники и равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон^[15].

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник, — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.
Треугольники ABC , подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол .
Значит

${displaystyle {frac {{text{площадь}}~DBA}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}$

Точно также получаем, что

${displaystyle {frac {{text{площадь}}~DAC}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}$

Поскольку треугольники и вместе составляют , сумма площадей
и равна площади .
Отсюда

${displaystyle {frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}$

или
${displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}$

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов и и гипотенузы . Например, приращение катета при постоянном катете приводит к приращению гипотенузы , так что

${displaystyle {frac {da}{dc}}={frac {c}{a}}.}$

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение ,
интегрирование которого даёт соотношение ${displaystyle c^{2}=a^{2}+mathrm {const} }$ . Применение начальных условий определяет константу как $b^{2}$ , что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур^[16]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями , и , построенных на катетах с длинами и и гипотенузе соответственно, имеет место соотношение:

${displaystyle {frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},Rightarrow ,A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C}$

Так как по теореме Пифагора $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , то выполнено .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями и , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике^[17]:

${displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta }=c^{2}}$

где theta — угол между сторонами и . Если угол равен 90°, то , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник[править | править код]

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника треугольнику

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой^[18]. В нём для произвольного треугольника со сторонами a,b,c в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне и углами при основании, равными углу theta , противолежащему стороне . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и — части стороны ; второй — симметрично к нему от стороны со стороной — соответствующей частью стороны . В результате оказывается выполнено соотношение^[19]^[20]

${displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s),}$

вырождающееся в теорему Пифагора при . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

${displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{r}},quad {frac {c}{b}}={frac {b}{s}}quad Rightarrow quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.}$

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора^[21]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения[править | править код]

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей^[22] — для граней ортогонального -мерного симплекса с площадями ${displaystyle S_{1},dots ,S_{n}}$ ортогональных граней и противолежащей им грани площадью $S_{0}$ выполнено соотношение:

${displaystyle S_{0}^{2}=sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}$

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами $a_{1},dots ,a_{n}$ составляет:

${displaystyle d^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля^[23].

Неевклидова геометрия[править | править код]

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии^[24] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности^[25]^[26].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину pi/2 , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему^[27].

Сферическая геометрия[править | править код]

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом (например, если угол gamma в треугольнике прямой) со сторонами a,b,c соотношение между сторонами имеет вид^[28]

${displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}.}$

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

${displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}+sin {frac {a}{R}}cdot sin {frac {b}{R}}cdot cos gamma .}$

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ( ${displaystyle cos xapprox 1-{dfrac {x^{2}}{2}}}$ ) можно показать, что если радиус стремится к бесконечности, а аргументы ${displaystyle {dfrac {a}{R}}}$ , ${displaystyle {dfrac {b}{R}}}$ и ${displaystyle {dfrac {c}{R}}}$ стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим^[29]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b}

где — гиперболический косинус^[30]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников^[31]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b-operatorname {sh} acdot operatorname {sh} bcdot cos gamma }

где gamma — угол, вершина которого противоположна стороне .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ${displaystyle operatorname {ch} xapprox 1+{dfrac {x^{2}}{2}}}$ ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда , и стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние между точками с координатами (a, b) и равно

${displaystyle s={sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.}$

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x, y) :

${displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Расстояние между комплексными числами ${displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i}$ и ${displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i}$ также представляется в форме теоремы Пифагора^[32]:

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

$ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}$ .

Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Евклидова метрика[править | править код]

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек -мерного пространства ${displaystyle p=(p_{1},dots ,p_{n})}$ и ${displaystyle q=(q_{1},dots ,q_{n})}$ расстояние между ними определяется следующим образом:

${displaystyle d(p,q)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}$

Теория чисел[править | править код]

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: ${displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ ^[33].

В массовой культуре[править | править код]

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года «Иванов Павел»^[34]^[35].

Примечания[править | править код]

↑ Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
↑ History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics. Дата обращения: 1 июня 2009. Архивировано 6 июня 2011 года.
↑ Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Euclid, 1956, p. 351.
↑ Heath, 1921, vol I, p. 144.
↑ Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264. — JSTOR 1969021.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
↑ Георг Гегель. Лекции по истории философии. — Litres, 2016-09-08. — С. 282. — 1762 с. — ISBN 9785457981690.
↑ Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».
↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 102. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
↑ Тимофеева И. Л. Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема) // Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова. — М.: Издательский центр «Академия», 2011. — С. 134—136. — 240 с. — ISBN 978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8).
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 196.
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem (англ.). The College Mathematics Journal 47(5):361 (ноябрь 2016). Дата обращения: 22 октября 2021. Архивировано 7 июня 2022 года.
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 263.
↑ Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
↑ Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron’s Educational Series, 2005. — С. 326. — ISBN 0764128922.
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
↑ Aydin Sayili. Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem (англ.) // Isis : journal. — 1960. — March (vol. 51, no. 1). — P. 35—37. — doi:10.1086/348837. — JSTOR 227603.
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — 2007. — С. 62. — ISBN 0821844032. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
↑ George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures (англ.). — 3rd. — Springer (англ.) (рус., 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
↑
Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer (англ.) (рус., 1997. — С. 21. — ISBN 0387948465.
↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — С. 4. — ISBN 0762419229. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine
↑ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — С. 2147. — ISBN 1584883472. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine. — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
↑ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment (англ.). — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
↑ Victor Pambuccian. Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 2010. — December (vol. 32). — P. 2. — doi:10.1007/s00283-010-9169-0.
↑ Barrett O’Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — С. 441. — ISBN 0120887355.
↑ Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry (англ.). — Jones & Bartlett Learning (англ.) (рус., 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
↑ Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
↑ Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (англ.). — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
↑ Siegel E. This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level (англ.). Forbes (6 марта 2020). Дата обращения: 28 апреля 2020. Архивировано 4 апреля 2020 года.
↑ Легендарная опера: текст и ноты. LiveJournal (4 августа 2016). Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 9 июня 2020 года.
↑ Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. С. 9.

Литература[править | править код]

Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982.
Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М.: Детгиз, 1961. — 486 с. : ил., карт.
Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
- Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

Ссылки[править | править код]

История теоремы Пифагора
Глейзер Г., академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства
Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Источник

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны – это рёбра, а 3 сторона – основание.

Вариант 1

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Вот формула: b = 2√(a² – h²)

Вариант 2

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

c = (a*sinγ)/sinα.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

система выбрала этот ответ лучшим

Алиса в Стране
[363K]

5 лет назад

К сожалению у нас нет условия задачи, из которой было бы ясно – на основании каких данных мы должны искать основание нашего равнобедренного треугольника (две стороны боковые которого равны между собой, а основание – это нижняя сторона, которая как раз двум другим не равна). Поэтому рассмотрим несколько вариантов.

1.) Допустим, мы знаем, чему равна боковая сторона и угол треугольника (любой из трех). Тогда мы сначала легко вычисляем два других угла треугольника, помня, что их сумма всегда равна 180 градусам, а затем применяем теорему синусов:

следовательно с (основание) будет равно:

2.) Допустим, мы знаем чему равна боковая сторона и высота нашего треугольника. Тогда мы сначала находим половину его основания (она является катетом треугольника, полученного делением исходного равнобедренного треугольника его высотой на два прямоугольных треугольника), применив теорему Пифагора.

где с – основание треугольника, которое мы ищем, h – его высота.

Марина Вологда
[295K]

5 лет назад

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию.

Что такое равнобедренный треугольник – это треугольник, в котором две из трех сторон равны.

Теперь вспомним что такое основание треугольника – это как раз третья сторона, которая не равна остальным двум.

Так как у нас нет никаких данных задачи, значит следует указать только формулы, по которым можно найти основание.

Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле:

b = 2√(a² – h²)

где h – это высота опущенная на основание;

а -сторона треугольника.

Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача:

А вот решение для задачи:

JuliGor
[3.2K]

9 лет назад

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

где

b – длина основания треугольника;

a – длина стороны треугольника;

B – это угол, который противоположен основанию.

Alen4uk
[161K]

5 лет назад

Для начала вспомним, какой треугольник называется равнобедренным и из этих его свойств будем уже находить величину основания.

Как видим из рисунка, равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны и они называются боковыми. Третья же сторона является основанием этого треугольника. Равные стороны называются боковыми.

Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание?

Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой.

Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника нужно разделить на 2 произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию.

К сожалению, нам не даны условия задачи, поэтому можно использовать несколько формул. Все будет зависеть от данных задачи.

Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы:

Так же нам может помочь в решении теорема синусов.

Бекки Шарп
[71.2K]

5 лет назад

При решении задач с равнобедренным треугольником нужно использовать свойства как равнобедренного треугольника, так и прямоугольного, поскольку высота равнобедренного треугольника делит его на 2 одинаковых прямоугольных.

Основание равнобедренного треугольника ищется, когда есть какие-то исходные данные. Например известны сторона и угол. Тогда поступаем следующим образом:

Находим третий угол ( 180 градусов минус сумму двух углов) и используем теорему косинусов:

где АС -основание, АВ и ВС – стороны.

Рассмотри задачу, когда известны стороны равнобедренного треугольника. Тогда основание ищется, используя теорему Пифагора. Вот здесь нам и понадобится разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных. В итоге основание АС будет равно – 2 квадратных корня из разности квадратов стороны АВ и высоты ВН.

127771
[272K]

5 лет назад

Для начала нужно понять, что такое равнобедренный треугольник, таким треугольником называют треугольник у которого две стороны равны. Ниже рисунок такого треугольника:

К сожалению нет данных в вопросе. Например, если задана площадь и высота ВH. Тогда основание (на рисунке выше сторона АС) будет равна площадь разделить на высоту BH и умножить на 0,5.

Если же нам известна одна сторона и высота треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Ниже представлена формула, по которой можно вычислить основание:

b = 2√(a² – h²).

Возможно и другие варианты, например, если известна сторона и угол, тогда можно воспользоваться теоремой косинусов или синусов.

Nelli4ka
[114K]

5 лет назад

Можно найти для начала значение половины основания, а затем умножить это значение на два. Смысл в том, что мы опускаем на основание из противоположного угла высоту (она в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и медианой), получается два прямоугольных треугольника. Вспоминаем теорему Пифагора, вычисляем разницу между гипотенузой и высотой, извлекаем корень. Конечно, в этом случае по условиям задачи нам должно быть известно значение высоты.

Если же известно значение боковой стороны и противоположного основанию угла, то легче всего пойти через формулу синусов:

Также можно воспользоваться формулой косинусов:

Бархатные лапки
[382K]

5 лет назад

Равнобедренный треугольник – это треугольник у которого две стороны одинаковые, они боковыми, а третья сторона – это основание.

Чему равняется основание возможно узнать, если у нас есть данные чему равна одна боковая сторона (а вторая боковая будет равняться также) и высота. В этом случае воспользуемся такой формулой:

b = 2(a – h). Как уже видно, для этого нам нужно знать значение боковой стороны и высоты (которая в равнобедренном треугольнике будет такая же как медиана и биссектриса).

Но также можно решить эту задачку и другим способом, для этого должны знать чему равняется боковая сторона и один из углов.

kkkaratisttt
[7.7K]

5 лет назад

В задачах такого типа всегда даётся вариант, где у вас известен один угол, если вы знаете одну сторону угла равнобедренного треугольника. То вы умножаете значения на два угла и высоту равнобедренного треугольника. Таким образом вы получите чему равно основание этого треугольника.

Бисектриса тоже может вам помоч.

Знаете ответ?

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле синуса:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и гипотенуза)

Если известны катеты a и b

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле тангенса:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и катет)

Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу

Если дан острый угол A, то B найдется по формуле:

Стороны можно найти по следующим формулам:

$ a = c sin(A) $	$ b = c cos(A) $	$ a = b tg(A) $
$ b = c sin(B) $	$ a = c cos(B) $	$ b = a tg(B) $
$ c = Largefrac<sin(A)>normalsize $	$ c = Largefrac<cos(A)>normalsize $	$ b = Largefrac<tg(A)>normalsize $

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника если известны катет a и противолежащий угол A

Здесь все углы мы найдем по формуле (7). Гипотенузу по формуле (14) и второй катет по формуле (16).

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC

Докажем, что

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, то доказанные соотношения принимают вид:

Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC в котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Если обозначить

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, как вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Докажем, что
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Сложив почленно эти равенства, получим:

Далее имеем:

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством:

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Из равенства также следует, что отсюда то есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Напомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:

Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать:

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС в котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем:
По определению отсюда Видим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Эту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:

Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают:

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, — тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Следовательно, получаем такие формулы:

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

По теореме Пифагора Обе части этого равенства делим на Имеем: Учитывая, что получим:

Принято записывать:

Отсюда имеем:
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Поскольку то получаем такие формулы:

Мы уже знаем, что Найдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем:

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором (рис. 183).

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что

Имеем:
Отсюда находим:

Поскольку 60° = 90° – 30°, то получаем:

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами катеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника

Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств получаем:
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, — углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, = 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Ответ:

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем:

Вычисляем угол с помощью микрокалькулятора: Тогда

Ответ:

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Найдите стороны АВ и АС, если

Решение:

Из треугольника получаем:

Из треугольника получаем:
Ответ:

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187)

Проведем высоту BD.

Из треугольника получаем:

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку то вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому

Из треугольника получаем:

Ответ:

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

– основное тригонометрическое тождество

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть -данный прямоугольный треугольник, у которого (рис. 172). Докажем, что

1) Проведем высоту
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что получим:

4) Следовательно,

Если в треугольнике обозначить (рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть тогда

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов – 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть тогда

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна

Решение:

Рассмотрим квадрат у которого (рис. 174). Тогда

Ответ.

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной – его медиана (рис. 175).

Так как – медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Тогда

Ответ:

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона – 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть – данная трапеция, (рис. 176).

1) Проведем высоты и

2) (по катету и гипотенузе), поэтому

3) Из по теореме Пифагора имеем:

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть см и см- катеты треугольника, тогда см – его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора получим уравнение: откуда (см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника справедливо равенство то угол этого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Докажем, что (рис. 177).

Рассмотрим у которого Тогда по теореме Пифагора а следовательно,

Но по условию, поэтому то есть

Таким образом, (по трем сторонам), откуда

Так как то треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, – пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как то треугольник является прямоугольным.

2) Так как то треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Считается, что Пифагор – первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть – перпендикуляр, проведенный из точки к прямой (рис. 185). Точку называют основанием перпендикуляра Пусть – произвольная точка прямой отличающаяся от Отрезок называют наклонной, проведенной из точки к прямой а точку основанием наклонной. Отрезок называют проекцией наклонной на прямую

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике -катет, – гипотенуза (рис. 185). Поэтому

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки к прямой проведены наклонные и и перпендикуляр (рис. 186). Тогда (по катету и гипотенузе), поэтому

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

(по двум катетам), поэтому (рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть и – наклонные, (рис. 187). Тогда (из ), (из ). Но поэтому следовательно,

Свойство справедливо и в случае, когда точки и лежат на прямой по одну сторону от точки

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть и – наклонные, (рис. 187).

Тогда (из ),

(из ). Но поэтому следовательно,

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции – 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187

1) Из (см).

2) Из по свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь:

Поэтому

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 По свойству 4: Обозначим см. Тогда см.

Из поэтому

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: откуда Следовательно, см, (см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом (рис. 190). Для острого угла катет является противолежащим катетом, а катет – прилежащим катетом. Для острого угла катет является противолежащим, а катет – прилежащим.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла обозначают так: Следовательно,

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла обозначают так: Следовательно,

Так как катеты и меньше гипотенузы то синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла обозначают так: Следовательно,

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и у которых (рис. 191). Тогда (по острому углу). Поэтому

Из этого следует, что и поэтому

Аналогично поэтому

поэтому

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: и
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

3. Катет, противолежащий углу равен произведению второго катета на тангенс этого угла:
4. Катет, прилежащий к углу равен частному от деления другого катета на тангенс этого угла:

Значения можно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора и (на некоторых калькуляторах Последовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Найдите

Решение:

(рис. 190). (см).

Пример №15

В треугольнике Найдите (с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Следовательно,

Ответ. 2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению или находить угол Для вычислений используем клавиши калькулятора и

Пример №16

В треугольнике

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла в градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Тогда

Ответ.

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим у которого (рис. 192).

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°,

По теореме Пифагора:

то есть

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим у которого

(рис. 193). Тогда По теореме Пифагора:

то есть

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть – данный треугольник, (рис. 194).

Проведем к основанию высоту являющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Из

отсюда (см).

Ответ. см.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник – значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике обозначение (рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

(теорема Пифагора);

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу и острый угол прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет и острый угол прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты и прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет и гипотенуза прямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Пример:

Найдите высоту дерева основание которого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку – основание дерева, точки и и измеряем отрезок и и

1) В

2) В

3) Так как имеем:

откуда

Ответ.

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами гипотенузой и острым углом (рис. 168).

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла прямоугольного треугольника (обозначается который равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники имеют равные острые углы (рис. 169).

Эти треугольники подобны, отсюда или по основному свойству пропорции,

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов соответственно. Имеем:

т.е. синус угла не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов равны, то Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике (рис. 170).

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол — наименьший угол треугольника По определению

Ответ:

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен

Следствие

Для любого острого угла

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: т.е.

Аналогично доказывается, что

Отсюда следует, что

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Тогда

Поскольку

Ответ:

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой (рис. 172).

Если Выразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Следствие

Для любого острого угла

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Аналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Для этого в равностороннем треугольнике со стороной проведем высоту которая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

В треугольнике и по теореме Пифагора Имеем:

С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла

Для вычисления значений тригонометрических функций угла рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами (рис. 174).

По теореме Пифагора Имеем:

Представим значения тригонометрических функций углов в виде таблицы.

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами гипотенузой и острыми углами (рис. 175).

Зная градусную меру угла и длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и (соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Найдем катет

Поскольку

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу (см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

Поскольку

т.е.

Поскольку

т.е.

Пример №22

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс

и косеканс

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок можно разделить на равных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой причем на отрезке будут лежать точек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные по теореме Фалеса получим деление отрезков соответственно на равных отрезков. Следовательно, что и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка невозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть

Рассмотрим случай, когда (другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке отрезок (рис. 181).

Разобьем отрезок на такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления попала на отрезок Проведем через точки деления прямые, параллельные Пусть прямая, проходящая через точку пересекает луч в точке Тогда по доказанному Учитывая, что в этой пропорции имеем:

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Следовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Разделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим:

Откуда Таким образом, доказано, что т.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник который делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. кв. ед.

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники имеют общую сторону (рис. 183,

Разобьем сторону равных частей. Пусть на отрезке лежит точек деления, причем точка деления имеет номер а точка —номер Тогда откуда —

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Они разделят прямоугольник равных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник содержится внутри прямоугольника а прямоугольник содержит прямоугольник

Следовательно,

Имеем:

Сравнивая выражения для убеждаемся, что оба эти отношения расположены между т.е. отличаются не больше чем на натуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. такое натуральное число что Полученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники со сторонами со сторонами и 1 и квадрат со стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному

Поскольку кв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка точкой при котором (рис. 184). Пусть длина отрезка равна а длина отрезка равна Тогда

Отсюда Поскольку то геометрический смысл имеет только значение Значит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Кроме того, часто рассматривают и отношение Заметим, что — первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении (или

Построить золотое сечение отрезка заданной длины с помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами и провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Поскольку по построению и по определению золотого сечения. Следовательно, Убедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Рассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами (рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике биссектриса. Тогда по двум углам. Следовательно, т. е. треугольник — золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике то такой треугольник подобен треугольнику т. е. имеет углы

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами (рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Для доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны следовательно, треугольники являются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром (рис. 188, в). Полученный прямоугольник — золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем тогда Неограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение приближенно может быть выражено дробями так называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от в правом — от Между этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от (или косинусы углов от

2-й — тангенсы углов от (или котангенсы углов от

3-й — котангенсы углов от (или тангенсы углов от

4-й — косинусы углов от (или синусы углов от

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Поскольку найдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу в ней соответствует число 0,423. Следовательно,

2) Определим Поскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать:

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому и . Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: . Следовательно,

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с – его гипотенуза, то из формулы получим следующие формулы:

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см – прямоугольный, поскольку . Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет гипотенуза AD= 10 см.

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Пусть ВС – перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС – проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

любая наклонная больше перпендикуляра;
равные наклонные имеют равные проекции;
из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

По теореме Пифагора, (рис. 415), тогда или АВ > ВС.
Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
Поскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: . В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а – противолежащий углу а, катет b – прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

– отношение обозначают sin а и читают «синус альфа»;
– отношение обозначают cos а и читают «косинус альфа»;
– отношение обозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и -два прямоугольных треугольника, в которых (рис. 442). Тогда по двум углам (). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

Из этих равенств следует:

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы – равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен .

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А =

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB – 90° – а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Сравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° – а), cos а = sin (90° – а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° – а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например:

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC – равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = как катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора,

Тогда

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус – увеличивается.

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Как вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos 0,8796 нашли 28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: 28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом – от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов – «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние – больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° 0,559, cos67° 0,391, sin85° 0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin 0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, 38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом – значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° 0,344. Если tg 0,869, то 41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник – это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: .

Тогда (м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы . Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим:

Почленно вычитаем полученные равенства:

Отсюда

Следовательно,

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни:

Пусть результаты измерения следующие:

Тогда

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Решение:

Провешиваем прямую и отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие:

Тогда АВ =

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём , тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Тогда

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Из прямоугольного треугольника ABD:

Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника BDC:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Параллелограмм
Теорема синусов и теорема косинусов
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости
Площадь трапеции
Центральные и вписанные углы
Углы и расстояния в пространстве
Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/

http://www.evkova.org/reshenie-pryamougolnyih-treugolnikov

[/spoiler]

Источник

Содержание:

Формула теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
Примеры решения задач
Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ – прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ – общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Пример

Задание. Задан прямоугольный треугольник $A B C$, катеты которого равны 6 см и 8 см.
Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение. Согласно условию катеты $a=6$ см, $b=8$ см. Тогда, согласно теореме
Пифагора, квадрат гипотенузы

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

$c=sqrt{100}=10$ (см)

Ответ. 10 см

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти
площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один
из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Решение. Пусть
$x$ см – длина меньшего катета, тогда $(x+5)$ см – длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:

$$x^{2}+(x+5)^{2}=25^{2}$$

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^{2}+5 x-300=0$

Согласно теореме Виета, получаем, что

$x_{1}=15$ (см) , $x_{2}=-20$ (см)

Значение $x_{2}$ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший – 20 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

$$S=frac{15 cdot 20}{2}=15 cdot 10=150left(mathrm{см}^{2}right)$$

Ответ. $S=150left(mathrm{см}^{2}right)$

Историческая справка

Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге “Чжоу би суань цзин” говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 – 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как выглядит формула, отражающая смысл теоремы Пифагора?

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с
прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной,
равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в
квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

a² + b² = c².

О чем гласит теорема Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами
сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его
гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена
противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих
в образовании прямого угла.

Треугольник имеет прямой угол. Как доказать теорему Пифагора, которая
гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного труегольника равна длине
его гипотенузы, которая возведена в квадрат?

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С
проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого
треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным
90º (∠ACB =∠CHA).

В обоих треугольниках есть один общий угол – ∠A.

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их
подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют
общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести
дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно
утверждать, что:

a/с = HB/a, b/с = AH/b.

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

a2 + b2 = c * (HB + AH)

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

a2 + b2 = c * AB

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет
переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Длина катетов прямоугольного треугольника равна 5 см. Как вычислить длину
его гипотенузы?

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника,
которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения
квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

х² = 5^2 + 5^2

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен
5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Применима ли теорема Пифагора к любому треугольнику?

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или
острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного
треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его
гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов,
взятых в квадрат.

Дан прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 7 см, а
одного катета – 6 см. Как вычислить длину второго катета, используя теорему
Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного
треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его
гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого
приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

х² = 7²-6² = 49-36 = 13.

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа
13:

х =√13.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из 13.

Длина одного из стоящих рядом домов равна 24 м, высота второго из них
составляет 16 м. Как вычислить расстояние между крышами обоих домов, зная,
что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов?

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора,
которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом,
возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во
вторую степень:

a² + b² = c².

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что
образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным
треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном
треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно
вычислить длину неизвестного катета:

24 м – 16 м = 8 м.

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это,
можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать
длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Длина гипотенузы треугольника с прямым углом равна 13 см. Один из его
катетов равен 12 см. Как найти длину его второго катета по теореме Пифагора?

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме
Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во
вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в
квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь
квадратный корень из числа 25:

х = √25 = 5

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Дан треугольник с прямым углом, к гипотенузе которого проведена медиана
длиной 6,5 м. Длина одного из катетов данного треугольника составляет 5 см.
Как вычислить длину второго катета треугольника по теореме Пифагора?

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно
высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного
треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого
можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

a²+b²=c²

В нашем случае:

5²+b²=13²

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

b²=13²-5²= 144

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы
узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

b = √144 = 12 см.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Как можно вычислить треугольник, для которого по теореме Пифагора,
соблюдается равенство f2=a2+ b2?

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом,
как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой,
которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника,
расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно
сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и
имеет гипотенузу f и катеты a и b:

∆АDF c ∠F= 90°

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Существует ли теорема, которая обратна теореме Пифагора, и что она гласит?

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно
этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина
его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин
двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Имеется равнобедренный треугольник, длина двух сторон которого равна 48 см,
а третьей – 51 см. Как можно высчитать площадь данного треугольника по
теореме Пифагора?

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного
треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с
равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет
равна:

h = √((48 см)² – (25,5 см)²) = 10,5√15 см.

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное
в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

Каким образом можно вычислить высоту равностороннего треугольника со
стороной а по теореме Пифагора?

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию,
является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний
треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым
углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный
вопрос следует применить теорему Пифагора:

h²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)=3a²/4

h=a√3/2.

Дан треугольник с прямым углом, длина одного из катетов которого вдвое
меньше длины его второго катета. Гипотенуза данного треугольника равна корню
квадратному из 15. Как по теореме Пифагора вычислить длину меньшего из
катетов треугольника?

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в
два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным
треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему
Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

(2х)²+(x)²=√15

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

4х²+x²=15

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

5x²=15

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

x²=3

Это значит, что:

x=√3

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Известно, что длина одного из катетов прямоугольного треугольника составляет
60 см, а длина его гипотенузы и второго катета в сумме дают 180 см. Можно ли
по теореме Пифагора высчитать длину гипотенузы данного треугольника?

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет
равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для
данного треугольника:

x²+60²=(180-x)² = x²+3600=32400-360x+x²

После сокращений получается следующее равенство:

360х=32400-3600=28800

Теперь можно найти значение х:

х=28800/360=80

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180
см, можно вычислить длину гипотенузы:

180-80=100 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

Дана прямоугольная трапеция ABCD. Ее углы А и В равны по 90°. Длины боковых
сторон данной трапеции составляют 9 см и 18 см. Диагональ АС составляет 15
см. Как можно вычислить длину основания трапеции по теореме Пифагора?

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см.
Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются
неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

√15²-9²=√144=12 см.

Произведем перенос высоты:

СС1=АВ=9 см.

Тогда получаем, что:

C1D=√18²-9²=9√3

BC=AC1=12

AD=12+9√3 см.

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник

Как найти основание прямоугольного треугольника

В такой фигуре как прямоугольный треугольник обязательно существует четкое соотношение сторон относительно друг друга. Зная две из них, всегда можно найти третью. То, каким образом это возможно сделать, вы узнаете из инструкции, предложенной ниже.

Вам понадобится

– калькулятор.

Инструкция

Возведите в квадрат оба катета, а после сложите их между собой a2+b2. Полученный результат является гипотенузой (основанием) в квадрате c2. Далее нужно лишь извлечь корень из последнего числа, и гипотенуза найдена. Данный метод является самым простым и удобным в применении на практике. Главное в процессе нахождения сторон треугольника таким образом – не забывать извлекать корень из предварительного результата, чтобы избежать самой распространенной ошибки. Формула выведена, благодаря самой известной в мире теореме Пифагора, которая во всех источниках имеет такой вид: a2+b2 = c2.

Разделите один из катетов a на синус противолежащего ему угла sin α. В том случае, если в условии известны стороны и синусы, этот вариант нахождения гипотенузы будет наиболее приемлемым. Формула в данном случае будет иметь совсем простой вид: c=a/sin α. Будьте внимательны при всех вычислениях.

Умножьте сторону a на два. Гипотенуза вычислена. Это, пожалуй, самый элементарный способ нахождения нужной нам стороны. Но, к сожалению, этот метод применяется только в одном случае – если существует сторона, которая лежит напротив угла в градусную меру, равную числу тридцать. При наличии таковой вы можете быть уверены, что она всегда будет являть собой ровно половину гипотенузы. Соответственно, вам остается лишь увеличить ее в два раза и ответ готов.

Разделите катет a на косинус прилежащего к нему угла cos α. Такой метод подойдет исключительно в том случае, если вам известен один из катетов и косинус угла к нему прилежащего. Этот способ напоминает уже представленный вам ранее, в котором используется также катет, но вместо косинуса – синус противолежащего угла. Только вот формула в этом случае будет иметь несколько другой измененный внешний вид: с=a/ cos α. Вот и все.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник