Теорема пифагора формула как найти сторону - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Теорема Пифагора

Названо в честь	Пифагор
Описывающая закон или теорему формула	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Обозначение в формуле	, и
Элемент или утверждение описывает	прямоугольный треугольник
Описывается по ссылке	geogebra.org/m/ZF… (англ.)
Медиафайлы на Викискладе

Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость^[⇨]

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида^[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение^[⇨]: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы^[⇨] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется^[⇨].

История[править | править код]

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»^[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы^[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы^[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки^[⇨]^[4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно^[5]^[6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков^[7].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора^[8].

Формулировки[править | править код]

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты и , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны и , а длина гипотенузы — , выполнено соотношение $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух сторон треугольника была равна квадрату третьей стороны^[9].

Пифагор, 572–500 г. до н. э.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой^[10].

Доказательства[править | править код]

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора^[11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия^[⇨]), метод площадей^[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники[править | править код]

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры^[12].
В нём для треугольника с прямым углом при вершине со сторонами a,b,c , противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения

${displaystyle {frac {a}{c}}={frac {|HB|}{a}},quad {frac {b}{c}}={frac {|AH|}{b}}.}$

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

${displaystyle a^{2}=ccdot |HB|,quad b^{2}=ccdot |AH|,}$

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

${displaystyle a^{2}+b^{2}=ccdot {big (}|HB|+|AH|{big )}=c^{2}quad Longleftrightarrow quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Доказательства методом площадей[править | править код]

Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Схема доказательства через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a,b и гипотенузой , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна ${displaystyle (a+b)^{2}}$ , он состоит из внутреннего квадрата площадью $c^{2}$ и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью ${frac {ab}{2}}$ , в результате из соотношения ${displaystyle (a+b)^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+c^{2}}$ при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида[править | править код]

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами^[13].

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером^[14]. Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом и квадраты , и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть и ). Прямая разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники и равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон^[15].

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник, — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.
Треугольники ABC , подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол .
Значит

${displaystyle {frac {{text{площадь}}~DBA}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}$

Точно также получаем, что

${displaystyle {frac {{text{площадь}}~DAC}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}$

Поскольку треугольники и вместе составляют , сумма площадей
и равна площади .
Отсюда

${displaystyle {frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}$

или
${displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}$

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов и и гипотенузы . Например, приращение катета при постоянном катете приводит к приращению гипотенузы , так что

${displaystyle {frac {da}{dc}}={frac {c}{a}}.}$

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение ,
интегрирование которого даёт соотношение ${displaystyle c^{2}=a^{2}+mathrm {const} }$ . Применение начальных условий определяет константу как $b^{2}$ , что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур^[16]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями , и , построенных на катетах с длинами и и гипотенузе соответственно, имеет место соотношение:

${displaystyle {frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},Rightarrow ,A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C}$

Так как по теореме Пифагора $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , то выполнено .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями и , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике^[17]:

${displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta }=c^{2}}$

где theta — угол между сторонами и . Если угол равен 90°, то , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник[править | править код]

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника треугольнику

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой^[18]. В нём для произвольного треугольника со сторонами a,b,c в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне и углами при основании, равными углу theta , противолежащему стороне . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и — части стороны ; второй — симметрично к нему от стороны со стороной — соответствующей частью стороны . В результате оказывается выполнено соотношение^[19]^[20]

${displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s),}$

вырождающееся в теорему Пифагора при . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

${displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{r}},quad {frac {c}{b}}={frac {b}{s}}quad Rightarrow quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.}$

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора^[21]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения[править | править код]

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей^[22] — для граней ортогонального -мерного симплекса с площадями ${displaystyle S_{1},dots ,S_{n}}$ ортогональных граней и противолежащей им грани площадью $S_{0}$ выполнено соотношение:

${displaystyle S_{0}^{2}=sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}$

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами $a_{1},dots ,a_{n}$ составляет:

${displaystyle d^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля^[23].

Неевклидова геометрия[править | править код]

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии^[24] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности^[25]^[26].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину pi/2 , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему^[27].

Сферическая геометрия[править | править код]

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом (например, если угол gamma в треугольнике прямой) со сторонами a,b,c соотношение между сторонами имеет вид^[28]

${displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}.}$

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

${displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}+sin {frac {a}{R}}cdot sin {frac {b}{R}}cdot cos gamma .}$

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ( ${displaystyle cos xapprox 1-{dfrac {x^{2}}{2}}}$ ) можно показать, что если радиус стремится к бесконечности, а аргументы ${displaystyle {dfrac {a}{R}}}$ , ${displaystyle {dfrac {b}{R}}}$ и ${displaystyle {dfrac {c}{R}}}$ стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим^[29]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b}

где — гиперболический косинус^[30]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников^[31]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b-operatorname {sh} acdot operatorname {sh} bcdot cos gamma }

где gamma — угол, вершина которого противоположна стороне .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ${displaystyle operatorname {ch} xapprox 1+{dfrac {x^{2}}{2}}}$ ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда , и стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние между точками с координатами (a, b) и равно

${displaystyle s={sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.}$

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x, y) :

${displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Расстояние между комплексными числами ${displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i}$ и ${displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i}$ также представляется в форме теоремы Пифагора^[32]:

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

$ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}$ .

Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Евклидова метрика[править | править код]

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек -мерного пространства ${displaystyle p=(p_{1},dots ,p_{n})}$ и ${displaystyle q=(q_{1},dots ,q_{n})}$ расстояние между ними определяется следующим образом:

${displaystyle d(p,q)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}$

Теория чисел[править | править код]

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: ${displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ ^[33].

В массовой культуре[править | править код]

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года «Иванов Павел»^[34]^[35].

Примечания[править | править код]

↑ Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
↑ History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics. Дата обращения: 1 июня 2009. Архивировано 6 июня 2011 года.
↑ Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Euclid, 1956, p. 351.
↑ Heath, 1921, vol I, p. 144.
↑ Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264. — JSTOR 1969021.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
↑ Георг Гегель. Лекции по истории философии. — Litres, 2016-09-08. — С. 282. — 1762 с. — ISBN 9785457981690.
↑ Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».
↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 102. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
↑ Тимофеева И. Л. Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема) // Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова. — М.: Издательский центр «Академия», 2011. — С. 134—136. — 240 с. — ISBN 978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8).
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 196.
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem (англ.). The College Mathematics Journal 47(5):361 (ноябрь 2016). Дата обращения: 22 октября 2021. Архивировано 7 июня 2022 года.
↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 263.
↑ Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
↑ Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron’s Educational Series, 2005. — С. 326. — ISBN 0764128922.
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
↑ Aydin Sayili. Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem (англ.) // Isis : journal. — 1960. — March (vol. 51, no. 1). — P. 35—37. — doi:10.1086/348837. — JSTOR 227603.
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — 2007. — С. 62. — ISBN 0821844032. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
↑ George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures (англ.). — 3rd. — Springer (англ.) (рус., 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
↑
Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer (англ.) (рус., 1997. — С. 21. — ISBN 0387948465.
↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — С. 4. — ISBN 0762419229. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine
↑ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — С. 2147. — ISBN 1584883472. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine. — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
↑ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment (англ.). — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
↑ Victor Pambuccian. Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 2010. — December (vol. 32). — P. 2. — doi:10.1007/s00283-010-9169-0.
↑ Barrett O’Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — С. 441. — ISBN 0120887355.
↑ Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry (англ.). — Jones & Bartlett Learning (англ.) (рус., 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
↑ Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
↑ Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (англ.). — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
↑ Siegel E. This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level (англ.). Forbes (6 марта 2020). Дата обращения: 28 апреля 2020. Архивировано 4 апреля 2020 года.
↑ Легендарная опера: текст и ноты. LiveJournal (4 августа 2016). Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 9 июня 2020 года.
↑ Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. С. 9.

Литература[править | править код]

Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982.
Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М.: Детгиз, 1961. — 486 с. : ил., карт.
Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
- Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

Ссылки[править | править код]

История теоремы Пифагора
Глейзер Г., академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства
Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Источник

Теорема Пифагора

О важности теоремы Пифагора высказался Иоганн Кеплер: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем»

Теорема Пифагора. Фото: Liza Summer, pixals.com

Теорема Пифагора актуальна в заданиях как базового, так и профильного ЕГЭ по математике. За верное решение задач базового уровня дается 1 балл, за задания повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Благодаря качественному изучению этого материала экзаменуемый справится с рядом заданий и получит за них наивысший балл.

Что такое теорема Пифагора

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Изображение: Наталия Юмагулова.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важно!

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. Гипотенуза больше любого из катетов («Геометрия. 8 класс. Учебник», А. Г. Мерзляк).

Формула теоремы Пифагора

c² = a² + b²

Из этой формулы выводятся следующие:

с = √a² + b²

a = √c² — b²

b = √c² — a²

Доказательство теоремы Пифагора

В литературе есть около 400 доказательств теоремы Пифагора

Дано:
△АВС — прямоугольный;
＜АСВ = 90⁰.

Доказать:
АВ² = АС² + ВС².

Доказательство:
Проведем высоту СН.

АН, НВ — проекции катетов АС и ВС на гипотенузу. По теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Значит,

АС² = АВ × АН; ВС² = АВ × НВ.

Сложим почленно эти равенства:

АС² + ВС² = АВ × АН + АВ × НВ = АВ × (АН + НВ) = АВ ×АВ = АВ².

Что и требовалось доказать.

Задачи на теорему Пифагора

Переходим к решению задач с помощью теоремы Пифагора.

Задача №1
Центр окружности, описанной около треугольника КРH, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите КР, если РН равен 12

Дано:
Описанная окружность с центром в точке О.
О ∈ КН;
R = 10;
РН = 12.

Найти: КР.

Решение:
Так как окружность описанная, то все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, угол ＜КРН — вписанный.

По условию задачи центр окружности О ∈ КН, значит, хорда КН является диаметром.

КН = 2R = 2 ✕ 10 = 20.

Вписанный угол ＜КРН, опирающийся на диаметр, — прямой, значит, треугольник КРН — прямоугольный.

По теореме Пифагора:

КР = √КН² — РН²,
КР = √400-144 = √256 = 16

Ответ: КР = 16

Теорема о трех перпендикулярах

Доказательство и формулировка теоремы о трех перпендикулярах

подробнее

Задача №2

Дано:
Пирамида МАВС с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С.

Найти:
1) Угол между ребрами МС и ВС. Ответ дайте в градусах.
2) МВ, если МС = 12, ВС = 5.

Решение:
1) Так как по условию задачи МА — высота пирамиды, то МА ⟂ (АВС). АС — проекция наклонной МС на плоскость АВС. Так как АС ⟂ ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, МС ⟂ ВС, следовательно, угол между МС и ВС равен 90° (градусов).

Ответ: 90°.

2) Так как из пункта 1 МС ⟂ ВС ⇒ треугольник МСВ — прямоугольный ⇒ по теореме Пифагора: МВ = √МС² + ВС² ⇒ МВ = √144 + 25 = √169 = 13.

Ответ: МВ = 13.

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой – c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c²=a²+b²

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c =

Введите катет

b =

Формула пифагора для катета

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a =

Введите второй катет

b =

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Доказать

c²=a²+b²

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)²

S=4*0.5*a*b +c²

Приравняем площади

(a+b)²=4*0.5*a*b +c²

a²+2*a*b +b²=2*a*b +c²

a²+b²=c²

Теорема доказана

Источник

Загрузить PDF

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника одной формулой, которой пользуются до сих пор. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a² + b² = c², где a и b — катеты треугольника (стороны, пересекающиеся под прямым углом), с — гипотенуза треугольника. Теорема Пифагора применима во многих случаях, например, при помощи этой теоремы легко найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

1
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.
2

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).
3
Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.
- Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
- Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).
4
Подставьте в формулу a² + b² = c² данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b — это катеты, а с — гипотенуза.
- В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².
5
Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени — вы можете возвести числа в квадрат позже.
- В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.
6
Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).
- В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.
7
Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. На данном этапе на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне — свободный член (число).
- В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.
8
Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни — в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).
- Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
  - «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - с = √425
    - с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.
Реклама

1
Выберите две точки на координатной плоскости. По теореме Пифагора можно вычислить длину отрезка, соединяющего две точки на координатной прямой. Для этого необходимо знать координаты (х,у) каждой точки.
- Чтобы найти расстояние между двумя точками, вы будете рассматривать точки в качестве вершин треугольника, не прилежащих к прямому углу прямоугольного треугольника. Таким образом, вы сможете легко найти катеты треугольника, а затем вычислить гипотенузу, которая равна расстоянию между двумя точками.
2

Нанесите точки на координатную плоскость. Отложите координаты (х,у), где координата «х» откладывается по горизонтальной оси, а «у» — по вертикальной. Вы можете найти расстояние между точками без построения графика, но график позволяет визуально представить процесс ваших вычислений.
3
Найдите катеты треугольника. Вы можете сделать это, измерив длину катетов непосредственно на графике или с помощью формул: |x₁ – x₂| для вычисления длины горизонтального катета, и |y₁ – y₂| для вычисления длины вертикального катета, где (x₁,y₁) – координаты первой точки, а (x₂,y₂) – координаты второй точки.
- Пример: даны точки: А(6,1) и В(3,5). Длина горизонтального катета:
  - |x₁ – x₂|
  - |3 – 6|
  - | -3 | = 3
- Длины вертикального катета:
  - |y₁ – y₂|
  - |1 – 5|
  - | -4 | = 4
- Таким образом, в прямоугольном треугольнике а = 3 и b = 4.
4
Используйте теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Расстояние между двумя точками равно гипотенузе треугольника, две стороны которого вы только что нашли. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу, подставив в формулу найденные значения катетов (a и b).
- В нашем примере а = 3 и b = 4. Гипотенуза вычисляется следующим образом:
  - (3)²+(4)²= c²
    
    c= √(9+16)
    
    c= √(25)
    
    c= 5. Расстояние между точками А(6,1) и В(3,5) равно 5.
Реклама

Советы

Гипотенуза всегда:
- лежит напротив прямого угла;
- является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;
- обозначается как «с» в теореме Пифагора;
√(х) означает «квадратный корень из х».
Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.
Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.
Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5. Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.
- Помните, гипотенуза — всегда самая длинная сторона.
Если дан обычный треугольник (а не прямоугольный), то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.
Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. Если вы решаете задачу, то в первую очередь постройте график.
Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tan).
Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 139 816 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):

длины катетов a и b
длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

для катета:

длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

История[править | править код]

Формулировки[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Через подобные треугольники[править | править код]

Доказательства методом площадей[править | править код]

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Доказательство Евклида[править | править код]

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Теорема косинусов[править | править код]

Произвольный треугольник[править | править код]

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Многомерные обобщения[править | править код]

Неевклидова геометрия[править | править код]

Сферическая геометрия[править | править код]

Геометрия Лобачевского[править | править код]

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

Евклидова метрика[править | править код]

Теория чисел[править | править код]

В массовой культуре[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Теорема Пифагора

Что такое теорема Пифагора

Формула теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Задачи на теорему Пифагора

Популярные вопросы и ответы

Почему теорему Пифагора изучают на геометрии в 8 классе?

Где и когда возникла теорема Пифагора?

Где в жизни можно применить теорему Пифагора?

Как звучит обратная теорема Пифагора?

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

Расчёт катета по теореме пифагора

Формула пифагора для катета

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Формула пифагора для гипотенузы

Доказательство теоремы пифагора

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Формула

Пример

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти гипотенузу по двум углам

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Формула

Пример

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

См. также

Вам также может понравиться

Как на спакес найти человека