Теорема штейнера как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Иллюстрация теоремы для момента площади

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела $J_{C}$ относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями^[1]:

${displaystyle J=J_{C}+md^{2}}$

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.

Вывод[править | править код]

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек^[2].

По определению момента инерции для $J_{C}$ и можно записать

${displaystyle J_{C}=sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i})^{2},}$

${displaystyle J=sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} '_{i})^{2},}$

где — радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор ${displaystyle mathbf {r'} _{i}}$ можно расписать как сумму двух векторов:

${displaystyle mathbf {r} '_{i}=mathbf {r} _{i}+mathbf {d} ,}$

где — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения.
Тогда выражение для момента инерции примет вид

${displaystyle J=sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i})^{2}+2sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {r} _{i}mathbf {d} +sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {d} )^{2}.}$

Вынося за сумму, получим

${displaystyle J=sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i})^{2}+2mathbf {d} sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {r} _{i}+d^{2}sum _{i=1}^{n}m_{i}.}$

По определению центра масс, для его радиус-вектора ${displaystyle mathbf {r} _{c}}$ выполняется

${displaystyle mathbf {r} _{c}={frac {sum limits _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}}{sum limits _{i}m_{i}}}.}$

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ${displaystyle sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {r} _{i}}$ .

Тогда

${displaystyle J=sum _{i=1}^{n}m_{i}(mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}sum _{i=1}^{n}m_{i},}$

откуда и следует искомая формула:

${displaystyle J=J_{C}+md^{2},}$

где $J_{C}$ — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие. Из полученной формулы очевидно, что ${displaystyle Jgeq J_{C}}$ . Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.

Пример[править | править код]

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню (назовём её осью ) равен

${displaystyle J_{C}={frac {mL^{2}}{12}}.}$

Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

${displaystyle J=J_{C}+md^{2},}$

где — расстояние между этой осью и осью . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти, положив в последней формуле :

${displaystyle J=J_{C}+mleft({frac {L}{2}}right)^{2}={frac {mL^{2}}{12}}+{frac {mL^{2}}{4}}={frac {mL^{2}}{3}}.}$

Пересчёт тензора инерции[править | править код]

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор ${displaystyle {hat {J}}_{ij}}$ относительно произвольной точки из тензора ${displaystyle {hat {I}}_{ij}}$ относительно центра масс. Пусть — смещение от центра масс, тогда

${displaystyle {hat {J}}_{ij}={hat {I}}_{ij}+m(a^{2}delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}$

где

${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$

— вектор смещения от центра масс, а $delta _{{ij}}$

— символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при i=j ) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

См. также[править | править код]

Момент инерции
Список моментов инерции

Примечания[править | править код]

↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М.: «Высшая школа», 1995. — С. 268—269. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
↑ Абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек, — это такая механическая система, у которой расстояния между составляющими её точками постоянны.

Источник

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Теорема Штейнера

Теоре́ма
Гю́йгенса — Ште́йнера,
или просто теорема
Штейнера (названа
по имени швейцарского математика Якоба
Штейнера и
голландского математика, физика и
астронома Христиана
Гюйгенса):момент
инерции тела J относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции этого тела J_Cотносительно
параллельной ей оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы
тела m на
квадрат расстояния d между
осями:

Иллюстрация
теоремы для момента площади.

где

J_C —
известный момент инерции относительно
оси, проходящей через центр масс тела,

J —
искомый момент инерции относительно
параллельной оси,

m —
масса тела,

d —
расстояние между указанными осями.

[Править]Вывод

Момент
инерции, по определению:

Радиус-вектор
можно
расписать как разность двух векторов:

где
—
радиус-вектор расстояния между старой
и новой осью вращения. Тогда выражение
для момента инерции примет вид:

Вынося
за сумму
,
получим:

Поскольку
старая ось проходит через центр масс,
то суммарный импульс тела будет равен
нулю:

Тогда:

Откуда
и следует искомая формула:

где J_C —
известный момент инерции относительно
оси, проходящей через центр масс тела.

[Править]Пример

Момент
инерции стержня относительно оси,
проходящей через его центр и перпендикулярной
стержню, (назовём её осью C)
равен

Тогда
согласно теореме Штейнера его момент
относительно произвольной параллельной
оси будет равен

где d —
расстояние между искомой осью и осью C.
В частности, момент инерции стержня
относительно оси, проходящей через его
конец и перпендикулярной стержню, можно
найти положив в последней формуле d = L /
2:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Основое
уравнение динамики вращательного
движения материальной точки –
угловое ускорение точки при ее вращении
вокруг неподвижной оси пропорционально
вращающему моменту и обратно пропорционально
моменту инерции.

М =
E*J или E
= M/J

Сравнивая
полученное выражение со вторым законом
Ньютона с поступательным законом, видим,
что момент инерции J является мерой
инертности тела во вращательном движении.
Как и масса величина аддитивная.

Момент
инерции тонкого
кольца:

Зако́н сохране́ния моме́нта

Зако́н
сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон
сохранения углового момента) — векторная
сумма всех моментов импульса относительно
любой оси для замкнутой системы остается
постоянной в случае равновесия системы.
В соответствии с этим, момент
импульса замкнутой
системы относительно любой неподвижной
точки не изменяется со временем.

Закон
сохранения момента импульса:
момент импульса замкнутой системы тел
относительно любой неподвижной точки не
изменяется с
течением времени.

Это один из фундаментальных законов
природы.

Аналогично для замкнутой системы тел,
вращающихся вокруг оси z:

отсюда


или
.

Если момент внешних
сил относительно неподвижной оси
вращения тождественно равен нулю, то
момент импульса относительно этой оси
не изменяется в процессе движения.

Момент импульса и для незамкнутых систем
постоянен, если результирующий момент
внешних сил, приложенных к системе,
равен
нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Задачи на тему «теорема Штейнера».

Сначала давайте соберем в «кучку» все формулы моментов инерции для часто встречающихся тел.

Момент инерции тонкого кольца (ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр)

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

Момент инерции сплошного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

Момент инерции полого толстостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с осью диска)

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с диаметром диска)

Момент инерции шара (ось вращения совпадает с центром)

Момент инерции полой тонкостенной сферы (ось вращения совпадает с центром)

Момент инерции тонкого стержня (ось вращения совпадает с центром)

Напоминаю теорему Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера

Теперь можно решить пару задач.

Задача 1.

Найти момент инерции обруча массой и радиусом относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно обручу.

Решение:

К задаче 1

По таблице определим момент инерции обруча (кольца), и прибавим произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, а это – радиус кольца. Тогда

Ответ:

Задача 2. Найти момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

Решение.

К задаче 2

Расстояние между осями

Согласно таблице момент инерции стержня равен , тогда по теореме Штейнера

Ответ:

Задача 3.

Два шара радиусами см и массой г каждый скреплены тонким стержнем массой г и длиной см. Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести, а также относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей в от его конца.

К задаче 3

Решение:

Сначала найдем момент инерции системы относительно ее центра масс.

Здесь – момент инерции стержня, – момент инерции одного из шаров.

Момент инерции стержня определим по таблице, так как очевидно, что его центр является центром масс системы и ось вращения будет проходить через центр масс стержня.

Определим момент инерции одного из шаров по теореме Штейнера:

Тогда ответом на пункт а) будет

б) Теперь пусть ось проходит на расстоянии четверти длины стержня от его конца. Тогда момент инерции стержня будет равен по теореме Штейнера

Момент инерции шара, ближнего к оси вращения:

Момент инерции шара, дальнего от оси вращения:

Тогда ответом на пункт б) будет

Ответ: а) кг м, б) кг м.

Задача 4.

Имеется диск диаметром см и массой г. В диске вырезали круглое отверстие диаметром 8 см, центр которого находится на расстоянии от центра диска. Найти момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.

К задаче 4

Решение:

– момент инерции диска, – вырезанная часть.

– масса вырезанной части. Массу вырезанной части найдем как

, – поверхностная плотность диска.

Если – площадь диска, а – площадь вырезанной части, то

Тогда момент инерции вырезанной части

И момент инерции фигуры

Ответ: кг м.

Источник

фото из интернета

В нашем обиходе довольно часто встречаются выражения « он совершенно инертный» или «его инертность заставляет задуматься». Их применяют в отношении человека, который не обладает инициативой и не привык двигаться. Существуют другие понятия такого лица, но думаю, что они больше относятся к медицине. В общем понимании это человек не любящий принимать собственных решений. Или возьмем пример из цирка, где силач под аплодисменты зрителей выдерживает валун огромной массы. Данный объект лежит совершенно спокойно и не совершает никаких движений. Напарник бьет по камню и атлету совершенно не больно. Вся причина кроется в том, что объект инертен по отношению к цирковому артисту. Если бы на месте огромного валуна был маленький камушек, был бы тот же эффект.

Также можем применить пример из жизни, когда пешеход стоит на проезжей части и наблюдает за несущимся автомобильным потоком. Тяжелогруженная машина, если решила совершить остановку начинает тормозить раньше, чем легковая и совершает движение по инерции под влиянием груза. Естественно, что грузовик продвинется гораздо дальше по сравнению с легковушкой.

Момент инерции простыми словами: определение, формулы, примеры решения задач

Что такое инерция

В научном понимании это свойство тел находится в состоянии покоя, при этом внешние силы никакого воздействия не осуществляют. Понятие момента инерции вызывает определенный вопрос. Не каждому обывателю понятно это выражение, поэтому разберем его подробнее. Инерция, это свойство отдельного тела, лежать в спокойном состоянии при отсутствии на него внешних действий различной силы. Также объект может воспрепятствовать изменчивости скоростных показателей. Из жизни мы можем привести такой пример, когда машина находится на льду и начинает тормозить, то она не сразу останавливается, а совершает поступательное движение благодаря льду. Весь тормозной путь будет считаться инерцией. Или размешивая чай в стакане после того, как перестанем мешать, жидкость продолжает совершать вращательное движение. Это будет считаться инерцией.

Определение момента инерции

Еще со школьной скамьи нам было известно, что масса, это масса инертности тела. Если к примеру, мы совершим толчок двух вагонов у которых разный вес, то совершенно понятно, что остановить труднее будет тот вагон, у которого масса тяжелее. Одним словом, чем больше вес, тем нужно большее усилие для совершения движения. В данной ситуации мы рассматриваем поступательное движение, когда вагон совершает движение прямо.

Понятие момента инерции, включает в себя меру инертности тела при вращении вокруг своей оси. Момент инертности является физическим значением и обозначается буквой J. Измеряемость данной величины кг умноженный на метр в квадрате.

Высчитывают момент инертности при помощи следующей формулы.

Применяется она обычно в научной физике, при вычислении момента инерции тела. Если представить объект, разбившийся на несколько кусков, то момент инерции будет равняться сумме этих кусков, умноженный на квадрат расстояния к оси вращения. Так определяют момент инерции в физике. Если брать реальность, то определение происходит в результате расчетов, произведенных по формуле Штейнера.

Теорема Штейнера

Прежде всего, нам нужно понять, отчего зависит момент инерции. Ответ достаточно прост: от веса, оси вращения, формы и габаритов объекта. Теорема Штейнера имеет важное значение и студенты часто ее используют для решения различных задач. Что же она обозначает? Она имеет следующую формулировку. Момент инерции объекта относительно оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, которая проходит через центр параллельно оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Немного мудреное понятие, но именно так объясняется теорема. В физике существуют разнообразные виды инерции: например, центральный или геометрический. Момент инерции является единицей измерения для тела, которое совершает вращательное движение вокруг своей оси.

Пример решения задачи

Вашему вниманию представим 2 варианта. В первом случае мы попытаемся найти момент инерции, а во втором, применим знания полученные при изучении теоремы Штейнера.

Упражнение 1. Установить момент инерции диска весом М и радиусом Р. Ось вращения соответственно расположена по центру объекта.

Оптимальное решение:

Диск делится на маленькие колечки, радиус которых изменяется от 0 до Р. Разберем более подробно отдельное кольцо. Обозначим, что его вес равен значение м, а радиус показателю р. Тогда получим момент инерции равный: DJ= DMR в квадрате.

Массу кольца можно представить в виде:

Упражнение 2. Установить момент инерции диска с массой М и радиусом Р.

Оптимальное решение:

Используя формулу Штейнера решаем упражнение, J = Jc+ мd в квадрате. Подставляем полученные данные в формулу и получаем решение.

Момент инерции неотъемлемо имеет связь с другими популярными физическими законами. Например, со вторым законом Ньютона. В данном случае момент инерции принимает значение массы.

Остались вопросы или нужна помощь, есть замечания по данной статье пишите в комментариях будем рады подискутировать, так же подписывайтесь на наш канал или другие соц сети:

ПОДПИСАТЬСЯ НА КАНАЛ I Сайт Антиплагиату НЕТ I ВКОНТАКТЕ

Источник

Вывод[править | править код]

Пример[править | править код]

Пересчёт тензора инерции[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Что такое инерция

Определение момента инерции

Теорема Штейнера

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Теорема Штейнера

[Править]Вывод

[Править]Пример

Основное уравнение динамики вращательного движения

Зако́н сохране́ния моме́нта

Что такое инерция

Определение момента инерции

Теорема Штейнера

Пример решения задачи

Вам также может понравиться

Как найти сериал или фильм по описанию

Как найти лошадь которую украли

Как составить стоимость бухгалтерских услуг

Добавить комментарий Отменить ответ