Точки перетину как найти

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Координаты точки пересечения графиков функций

Как найти?

  1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
  2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
  3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ – это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1
Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.
Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:

$$ 2x-5 = x+3 $$

Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:

$$ 2x – x = 3+5 $$

$$ x = 8 $$

Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:

$$ f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11 $$

Итак, $ M (8;11) $ – является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ M (8;11) $$
Пример 2
Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.
Решение
Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!
Ответы
Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

 Случай двух нелинейных функций 

Пример 3
Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $
Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

$$ x^2-2x+1=x^2+1 $$

Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:

$$ x^2-2x-x^2=1-1 $$

$$ -2x=0 $$

$$ x=0 $$

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

$$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$

$ M (0;1) $ – точка пересечения графиков функций

Ответ
$$ M (0;1) $$

Точки пересечения графиков функций

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

  1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
  2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
  3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

(f(x) = k_1 x+m_1)

(g(x) = k_2 x + m_2)

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Задача № 1

Имеются функции: (f(x) = 2x-5)

(g(x)=x+3)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Решение

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

(k_1 = 2)

(k_2 = 1)

Заметим, что:

(k_1 neq k_2)

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

(f(x)=g(x))

(2x-5 = x+3)

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные – в правую:

(2x – x = 3+5)

(x = 8)

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):

(f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Ответ: M (8;11)

Задача № 2

Записаны две функции: (f(x)=2x-1)

(g(x) = 2x-4.)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Решение

Угловые коэффициенты:

(k_1 = k_2 = 2)

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Задача № 3

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)

(g(x)=x^2+1)

Решение

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

(x^2-2x+1=x^2+1)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

(x^2-2x-x^2=1-1)

(-2x=0)

(x=0)

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Ответ: M (0;1)

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

  • раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
  • перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
  • математические преобразования;
  • определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

  • разложение на множители;
  • выделение полного квадрата;
  • поиск дискриминанта;
  • теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

((-S)^2-4PU)

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

  • выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
  • выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
  • проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Примечание

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

  • понижение степени, то есть разложение на множители;
  • замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

  • выполнение математических преобразований;
  • выражение переменной через другую;
  • решение квадратного или линейного уравнения;
  • подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
  • вычисление искомых корней;
  • проверка;
  • исключение ложных решений;
  • запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

К примеру

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Решение будет иметь следующий вид:

Решение будет иметь следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Прямые пересекаются в точке

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

  • система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
  • решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
  • система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

К примеру, необходимо решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение имеет следующий вид:

Решение имеет следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Можно построить первый график по точкам

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Ответ: (0; 1); (-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

Можно решить систему графическим способом

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

График второго уравнения является параболой

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Первым шагом является построение графика первого уравнения

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее необходимо построить график функции:

Далее необходимо построить график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График будет являться ломанной:

График будет являться ломанной

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

В результате получится график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

(f1(x)=f2(x))

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой

Источник: st03.kakprosto.ru

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

(y1=k1x+b1)

(y2=k2x+b2)

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

(k1x-k2x=b2-b1.)

Далее нужно выразить x:

(x=(b2-b1)/(k1-k2).)

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2))

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции

Источник: st03.kakprosto.ru

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0). В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0), откуда и находим (x=-b/a). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Общие сведения

Общие сведения

Классификация уравнений

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

  1. Линейные.
  2. Квадратные.
  3. Кубические.
  4. Биквадратные.

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S – коэффициенты при неизвестных, а U – свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S – коэффициенты при переменных, а U – константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II – III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 {R(t)=0 и S(t)=0}.

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Математические преобразования

  1. Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
  2. Упрощение выражения (приведение подобных величин).
  3. Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
  4. Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
  5. Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

  1. Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
  2. Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы “p+r)^2=p^2+2pr+r^2” нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные – в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

  1. Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
  2. Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных – в другую часть равенства.
  3. Произвести необходимые математические преобразования.
  4. Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложение на множители

  1. Разложить на множители.
  2. Выделить полный квадрат.
  3. Найти дискриминант.
  4. По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Методики нахождения точек

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными вообще не имеет решений. Определить значение корней возможно по таким соотношениям: t1=[-S-(Д)^(1/2)]/2P и t2=[-S+(Д)^(1/2)]/2P, где t1 и t2 – точки пересечения с осью абсцисс.

Если коэффициент при второй степени (P) эквивалентен 1, то дискриминант можно не высчитывать, а воспользоваться сокращенным вариантом решения – теоремой Виета. Суть ее заключается в подборе корней по таким формулам: t1+t2=-S и t1*t2=U. Иногда для реализации этой методики нужно сократить обе части на коэффициент Р. Алгоритм решения квадратных уравнений имеет следующий вид:

  1. Выполнить при необходимости различные алгебраические преобразования (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые).
  2. Выбрать один из способов решения и реализовать его.
  3. Проверить корни, подставив их в исходное выражение.

Следует отметить, что распространенная ошибка новичков – отсутствие проверки. В результате неправильных действий образуются ложные корни, а оценка на контрольной, зачете или экзамене существенно снижается.

Кубические и биквадратные

Решение тождеств кубического и биквадратного типов с неизвестными осуществляется двумя способами. К ним относятся:

  1. Понижение степени (разложение на множители).
  2. Замена переменной.

В первом случае необходимо выполнить преобразования, которые позволят применить одну из формул сокращенного умножения. Однако этот метод применяется довольно редко, поскольку математики отдают предпочтение второму способу. Для его реализации вводится дополнительная переменная, обладающая более низкой степенью и существенно упрощающая выражение. Алгоритм имеет такой вид:

Первой и второй степени

  1. Выполняются необходимые математические преобразования.
  2. Выражается переменная через другую.
  3. Решается квадратное или линейное уравнение.
  4. Промежуточные корни, полученные в третьем пункте алгоритма, подставляются во второй.
  5. Вычисляются искомые корни.
  6. Осуществляется проверка.
  7. Отсеиваются ложные решения, и записывается ответ.

Для проверки рекомендуется воспользоваться онлайн-приложениями, позволяющими вычислить корни, а также построить графики функций. Кроме того, для кубического многочлена Pt 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

  1. Уравнение требуется разделить на P.
  2. Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
  3. Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

Кубические и биквадратные

  1. Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
  2. Перенести переменные влево, а константы – вправо: 2t-t=-1-7.
  3. Привести подобные коэффициенты: t=-8.
  4. Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
  5. Искомая точка пересечения: (-8;-9).

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.

Кожен конкретний графік задається відповідною функцією. Процес знаходження точки (декількох точок) перетину двох графіків зводиться до вирішення рівняння виду f1 (x) = f2 (x), рішення якого і буде шуканої точкою.

Вам знадобиться

  • – папір;
  • – ручка.

Інструкція

1

Ще зі шкільного курсу математики учням стає відомо, що кількість можливих точок перетину двох графіків безпосередньо залежить від виду функцій. Так, наприклад, лінійні функції будуть мати тільки одну точку перетину, Лінійна і квадратна – дві, квадратні – дві або чотири, і т.д.

2

Розглянемо загальний випадок з двома лінійними функціями (див. Рис.1). Нехай y1 = k1x + b1, а y2 = k2x + b2. Щоб знайти точку їх перетину треба вирішити рівняння y1 = y2 або k1x + b1 = k2x + b2.Преобразовав рівність, ви отримаєте: k1x-k2x = b2-b1.Виразіте x наступним чином: x = (b2-b1) / (k1-k2).

3

Після знаходження значення х – координати точки перетину двох графіків по осі абсцис (вісь 0Х), залишається обчислити координату по осі ординат (вісь 0У). Для цього необхідно підставити в будь-яку з функцій, отримане значення х.Такім чином, точка перетину в1 і в2 матиме наступні координати: ((b2-b1) / (k1-k2); k1 (b2-b1) / (k1-k2) + b2).

4

Проаналізуйте приклад розрахунку знаходження точки перетину двох графіків (Див. Рис.2) .Необхідно знайти точку перетину графіків функцій f1 (x) = 0,5x ^ 2 і f2 (x) = 0,6x + 1,2.Прирівнявши f1 (x) і f2 (x), отримаєте наступне рівність: 0,5x ^ = 0,6x + 1,2. Перенісши всі складові в ліву частину, отримаєте квадратне рівняння виду: 0,5x ^ 2 -0,6x-1,2 = 0.Решеніем цього рівняння будуть два значення х: x1≈2,26, x2≈-1,06.

5

Підставте значення х1 і х2 в будь-який з виразів функцій. Наприклад, і f_2 (x1) = 0,6 • 2,26 + 1,2 = 2,55, f_2 (x2) = 0,6 • (-1,06) + 1,2 = 0,56.Ітак, шуканими точками є: т.А (2,26; 2,55) і т.В (-1,06; 0,56).

Рада 2: Як знайти координати точок перетину графіка функції

Графік функції y = f (х) – це множина всіхточок площини, координати х, у яких задовольняють співвідношенню y = f (x). Графік функції наочно ілюструє поведінку і властивості функції. Для побудови графіка зазвичай вибирається кілька значень аргументу х і для них обчислюються відповідні значення функції y = f (x). Для більш точного і наочного побудови графіка корисно знайти його точки перетину з осями координат.

Як знайти координати точок перетину графіка функції

Інструкція

1

Щоб знайти точку перетину графіка функції звіссю y, необхідно обчислити значення функції при х = 0, тобто знайти f (0). Для прикладу скористаємося графіком лінійної функції, зображеної на рис.1. Її значення при х = 0 (y = a * 0 + b) дорівнює b, отже, графік перетинає вісь ординат (вісь Y) в точці (0, b).

Як знайти координати точок перетину графіка функції

2

При перетині осі абсцис (осі Х) значенняфункції дорівнює 0, тобто y = f (x) = 0. Для обчислення х необхідно вирішити рівняння f (x) = 0. У разі лінійної функції отримуємо рівняння ax + b = 0, звідки і знаходимо x = -b / a.Такім чином, вісь Х перетинається в точці (-b / a, 0).

3

У більш складних випадках, наприклад, в разіквадратичної залежності y від х, рівняння f (x) = 0 має два корені, отже, вісь абсцис перетинається двічі. У разі періодичної залежності y від х, наприклад y = sin (x), її графік має нескінченне число точок перетину з віссю Х.Для перевірки правильності знаходження координат точок перетину графіка функції з віссю Х необхідно підставити знайдені значення х в вираз f (x) . Значення виразу при будь-якому з обчислених х має дорівнювати 0.

Рада 3: Як знайти точки перетину функції

Перш ніж приступити до дослідження поведінки функції, необхідно визначити область зміни розглянутих величин. Приймемо допущення, що змінні належать до безлічі дійсних чисел.

Як знайти точки перетину функції

Інструкція

1

Функція – це змінна величина, що залежить відзначення аргументу. Аргумент – мінлива незалежна. Межі змін аргументу називаються областю допустимих значень (ОДЗ). Поведінка функції розглядається в межах ОДЗ тому, що в цих межах залежність між двома змінними хаотичне, а підпорядковується певним правилам і може бути записана у вигляді математичного виразу.

2

Розглянемо довільну функціональну залежність F = φ (x), де φ – математичне вираження. Функція може мати точки перетину з осями координат або з іншими функціями.

3

У точках перетину функції з віссю абсцисфункція стає рівною нулю: F (x) = 0.Решіте це рівняння. Ви отримаєте координати точок перетину заданої функції з віссю ОХ. Таких точок буде стільки, скільки знайдеться коренів рівняння на заданому ділянці зміни аргументу.

4

У точках перетину функції з віссю ординатзначення аргументу дорівнює нулю. Отже, завдання перетворюється в знаходження значення функції при х = 0. Точок перетину функції з віссю OY буде стільки, скільки знайдеться значень заданої функції при нульовому аргументі.

5

Для знаходження точок перетину заданої функціїз іншого функцією необхідно вирішити систему рівнянь: F = φ (x) W = ψ (x) .Тут φ (x) – вираз, що описує задану функцію F, ψ (x) – вираз, що описує функцію W, точки перетину з якої заданої функції потрібно знайти. Очевидно, що в точках перетину обидві функції беруть рівні значення при рівних значеннях аргументів. Спільних точок у двох функцій буде стільки, скільки рішень у системи рівнянь на заданому ділянці змін аргументу.

Рада 4: Як знайти точки перетину функцій

У точках перетину функції мають рівні значення при однаковому значенні аргументу. Знайти точки перетину функцій – значить визначити координати загальних для пересічних функцій точок.

перетину

Інструкція

1

У загальному вигляді задача знаходження точок перетинуфункцій одного аргументу Y = F (x) і Y₁ = F₁ (x) на площині XOY зводиться до вирішення рівняння Y = Y₁, оскільки в загальній точці функції мають рівні значення. Значення х, що задовольняють рівності F (x) = F₁ (x), (якщо вони існують) є абсциссами точок перетину заданих функцій.

2

Якщо функції задані нескладним математичнимвиразом і залежать від одного аргументу х, то завдання знаходження точок перетину можна вирішити графічно. Побудуйте графіки функцій. Визначте точки перетину з осями координат (х = 0, y = 0). Задайте ще кілька значень аргументу, знайдіть відповідні значення функцій, додайте отримані точки на графіки. Чим більше точок буде використано для побудови, тим точніше буде графік.

3

Якщо графіки функцій перетнуться, визначте покресленням координати точок перетину. Для перевірки підставте ці координати в формули, якими задані функції. Якщо математичні вирази виявляться справедливими, точки перетину знайдені правильно. Якщо графіки функцій не перетинаються, спробуйте змінити масштаб. Зробіть крок між точками побудови більше, щоб визначити, на якій ділянці числовий площині лінії графіків зближуються. Потім на виявленому ділянці перетину побудуйте більш детальний графік з дрібним кроком для точного визначення координат точок перетину.

4

Якщо потрібно знайти точки перетину функцій не наплощині, а в тривимірному просторі, доводиться розглянути функції двох змінних: Z = F (x, y) і Z₁ = F₁ (x, y). Для визначення координат точок перетину функцій потрібно вирішити систему рівнянь з двома невідомими х і y при Z = Z₁.

Перш ніж приступити до дослідження поведінки функції, необхідно визначити область зміни розглянутих величин. Припустімо, що змінні відносяться до багатьох дійсних чисел.

  • Інструкція

Інструкція

1. Функція – це змінна величина, залежна від значення аргументу. Аргумент – змінна незалежна. Межі змін аргументу називаються областю допустимих значень (ТДЗ). Поведінка функції розглядається в межах ОДЗ тому, що в цих межах залежність між двома змінними не хаотична, а підпорядковується певним правилам і може бути записана у вигляді математичного виразу.

2. Розгляньмо довільну функціональну залежність F = (x), де – математичний вираз. Функція може мати точки перетину з осями координат або з іншими функціями.

3. У точках перетину функції з віссю абсцис функція стає рівною нулю:F (x) = 0. Вирішіть це рівняння. Ви отримаєте координати точок перетину вказаної функції з віссю ОХ. Таких точок буде стільки, скільки коренів рівняння на заданій ділянці зміни аргументу.

4. У точках перетину функції з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Отже, завдання перетворюється на знаходження значення функції при х = 0. Точок перетину функції з віссю OY буде стільки, скільки значень вказаної функції при нульовому аргументі.

5. Для знаходження точок перетину вказаної функції з іншою функцією необхідно вирішити систему рівнянь:F = (x) W = ^ (x) .Здесь (x) – вираз, що описує вказану функцію F, ^ (x) – вираз, що описує функцію W, точки перетину з якої заданої функції потрібно знайти. Очевидно, що в точках перетину обидві функції приймають рівні значення при рівних значеннях аргументів. Загальні точки у двох функціях буде стільки, скільки рішень у системи рівнянь на заданій ділянці змін аргументу.

Добавить комментарий