Угловой коэффициент прямой как найти формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Угловой коэффициент характеризует угол наклона прямой к оси абсцисс (угловой коэффициент численно равен тангенсу этого угла). Угловой коэффициент присутствует в уравнении прямой и используется в математическом анализе кривых, где всегда равен производной функции. Для облегчения понимания углового коэффициента представьте, что он влияет на скорость изменения функции, то есть чем больше значение углового коэффициента, тем больше значение функции (при одном и том же значении независимой переменной).

1

Используйте угловой коэффициент для нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс и направления этой прямой. Вычислить угловой коэффициент довольно легко, если вам дано уравнение прямой. Запомните, что в любом уравнении прямой:
2

Для нахождения углового коэффициента необходимо найти значение k (коэффициент при «х»). Если данное вам уравнение имеет вид , то для нахождения углового коэффициента вам нужно просто посмотреть на число, стоящее перед «х». Обратите внимание, что k (угловой коэффициент) всегда находится при независимой переменной (в данном случае «х»). Если вы запутались, просмотрите следующие примеры:
3

Если данное вам уравнение имеет вид, отличный от , обособьте зависимую переменную. В большинстве случаев зависимая переменная обозначается как «у», а для ее обособления можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и другие. Помните, что любая математическая операция должна быть выполнена на обеих сторонах уравнения (чтобы не менять его исходного значения). Вам необходимо привести любое данное вам уравнение к виду . Рассмотрим пример:

Реклама

1
Для вычисления углового коэффициента воспользуйтесь графиком и двумя точками. Если вам дан просто график функции (без уравнения), вы все еще можете найти угловой коэффициент. Для этого вам понадобятся координаты любых двух точек, лежащих на этом графике; координаты подставляются в формулу: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Чтобы избежать ошибок при вычислении углового коэффициента, запомните следующее:
- Если график возрастает, то угловой коэффициент имеет положительное значение.
- Если график убывает, то угловой коэффициент имеет отрицательное значение.
- Чем больше значение углового коэффициента, тем круче график (и наоборот).
- Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен 0.
- Угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, не существует (он бесконечен).^[4]
2
Найдите координаты двух точек. На графике отметьте любые две точки и найдите их координаты (х,у). Например, на графике лежат точки А(2,4) и В(6,6).^[5]
- В паре координат первое число соответствует «х», а второе – «у».
- Каждому значению «х» соответствует определенное значение «у».
3
Приравняйте x₁, y₁, x₂, y₂ к соответствующим значениям. В нашем примере с точками А(2,4) и В(6,6):
- x₁: 2
- y₁: 4
- x₂: 6
- y₂: 6^[6]
4

Подставьте найденные значения в формулу для вычисления углового коэффициента. Чтобы найти угловой коэффициент, используются координаты двух точек и следующая формула: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Подставьте в нее координаты двух точек.
5

Объяснение сути формулы. Угловой коэффициент равен отношению изменения координаты «у» (двух точек) к изменению координаты «х» (двух точек). Изменение координаты – это разность между значениями соответствующей координаты первой и второй точек.
6

Другой вид формулы для вычисления углового коэффициента. Стандартная формула для вычисления углового коэффициента: k = ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Но она может иметь следующий вид: k = Δy/Δx, где Δ – это греческая буква «дельта», обозначающая в математике разность. То есть, Δx = x_2 – x_1, а Δy = y_2 – y_1.^[8]

Реклама

1
Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью Как брать производную.
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано этой статье. Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
2

Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
3
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции $f(x)=2x^{2}+6x$ . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная:
4

В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f'(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
5
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 144 060 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Решение

Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

Ответ: k=-3.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

Ответ: α=arctg 3.

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

Ответ: 5π6.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b. В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1), в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0) в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1). Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

Решение

По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.

Ответ: y=-2x+7.

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1

Ответ: y=2x-1.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3

Ответ: x1=y-12-3.

Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y=17x-2⇔17x-y-2=0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 – нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.

Ответ: y=16x+14.

Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.

Ответ: y=32x-3.

Пример 11

Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x

Ответ: y=52x-6.

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

Ответ: k=2.

Источник

Калькулятор углового коэффициента прямой может не только рассчитать коэффициент, но и найдет точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат (x и y), а также покажет решение и построит график прямой.

Содержание:

калькулятор углового коэффициента прямой
определение углового коэффициента прямой
формула углового коэффициента прямой
геометрический смысл углового коэффициента
1. k>0
2. k<0
3. k=0
4. k не определен (k=∞)
5. угловой коэффициент параллельных прямых
6. угловой коэффициент перпендикулярных прямых
примеры расчета углового коэффициента прямой по заданным координатам точек

Определение углового коэффициента прямой

Угловой коэффициент прямой – это число, которое определяет наклон прямой относительно положительного направления оси OX. Численно он равен тангенсу угла (отсчитываемого против часовой стрелки) между положительным направлением оси OX и прямой.

Угловой коэффициент прямой обозначается буковой k.

Угловой коэффициент показывает, как быстро прямая меняет свое положение по оси OX при изменении координаты y и является ключевым понятием в геометрии и физике, используемым для описания многих физических явлений, например, движения тела в пространстве или распространение света.

В геометрии, угловой коэффициент прямой используется для определения угла наклона прямой относительно оси абсцисс и для вычисления ее точек пересечения с осями координат. Также угловой коэффициент прямой используется для записи уравнения прямой в общем виде. Знание углового коэффициента прямой является необходимым при решении многих задач геометрии, таких как построение перпендикуляров и параллельных линий, определение углов между прямыми и плоскостями, а также решение задач на поиск расстояний между прямыми и плоскостями.

Формула углового коэффициента прямой

Формула вычисления углового коэффициента прямой определяется как отношение изменения координаты y к изменению координаты x между любыми двумя точками на прямой. Математически это можно записать следующим образом:

{k=dfrac{y_b – y_a}{x_b – x_a} = tg(alpha)}

k – угловой коэффициент прямой,

x_a, y_a – координаты точки A,

x_b, y_b – координаты точки B

α – угол между осью OX и прямой (против часовой стрелки).

Если прямая задана уравнением в общем виде y = kx + b, то угловой коэффициент прямой равен коэффициенту при x, то есть k.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим возможные значения углового коэффициента и какой геометрический смысл он несет.

Угловой коэффициент прямой больше нуля

Если угловой коэффициент прямой больше нуля (k>0), то угол между осью OX и прямой является острым, а график прямой возрастающий. Обратное утверждение также справедливо – если график прямой возрастает, то ее угловой коэффициент больше нуля.

Угловой коэффициент прямой меньше нуля

Если угловой коэффициент прямой меньше нуля (k<0), то угол между осью OX и прямой является тупым, а график прямой убывающий. И наоборот – если график прямой убывает, то ее угловой коэффициент меньше нуля.

Угловой коэффициент равен нулю

Если угловой коэффициент прямой равен нулю (k=0), то это значит, что прямая параллельна оси x.

Угловой коэффициент не определен (равен бесконечности)

Если угловой коэффициент прямой не определен (или можно сказать обращается в бесконечность) (k=∞), то это значит, что прямая параллельна оси y.

Угловой коэффициент параллельных прямых

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны и наоборот – если у прямых равные угловые коэффициенты, то они параллельны друг другу.

Угловой коэффициент перпендикулярных прямых

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположный знак.

Для примера рассмотрим две прямые, заданные угловыми коэффициентами:

y = k_{m} x + b_m

y = k_{n} x + b_n

Прямые будет перпендикулярны, если k_{m} = – dfrac{1}{k_{n}}

Как рассчитать угловой коэффициент прямой по заданным координатам точек

Чтобы закрепить материал, рассмотрим решение задачи.

Задача 1

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(5, -2) и B(-3, 1).

Решение

Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой. Для начала найдем разницу между соответствующими координатами двух точек:

{Delta x = x_b – x_a = -3 -5 -= -8}

{Delta y = y_b – y_a = 1 – -(2) = 3}

Осталось применить формулу и поделить Delta y на Delta x:

k = dfrac{Delta y}{Delta x} = dfrac{3}{-8} = – dfrac{3}{8} approx -0.375

Это и есть угловой коэффициент прямой AB.

А если вы внимательно читали статью, то, учитывая, что полученный угловой коэффициент отрицательный, можно сказать, что прямая AB убывающая.

Ответ: k = – dfrac{3}{8} approx -0.375

Проверить ответ нам поможет калькулятор .

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 декабря 2021 года; проверки требуют 2 правки.

Угловой коэффициент: $k = frac{Delta y}{Delta x} = mathrm{tg},theta$

Углово́й коэффицие́нт прямо́й (также накло́н) — коэффициент в уравнении y=kx+b прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.^[1]

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен $frac{Delta y}{Delta x}$ , то есть производной уравнения прямой по x.

Угловой коэффициент не существует (иногда формально говорят «обращается в бесконечность») для прямых, параллельных оси Oy.

При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая.

Прямые и перпендикулярны, если , а параллельны при $k_{1}=k_{2}$ .

Примечания[править | править код]

↑ Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Источник

В декартовых координатах каждая прямая
определяется уравнением первой степени
и, обратно, каждое уравнение первой
степени определяет прямую.

Уравнение
вида

(1)

называется
общим уравнением прямой.

Угол ,
определяемый, как показано на рис.,
называется углом наклона прямой к оси
Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси
Ох называется угловым коэффициентом
прямой; его обычно обозначают буквой
k:

Уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k – угловой коэффициент, b – величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.

Если
прямая задана общим уравнением

то
ее угловой коэффициент определяется
по формуле

Уравнение является
уравнением прямой, которая проходит
через точку (, )
и имеет угловой коэффициент k.

Если
прямая проходит через точки (, ), (, ),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле

Уравнение

является
уравнением прямой, проходящей через
две точки (, )
и (, ).

Если
известны угловые коэффициенты и двух
прямых, то один из углов между
этими прямыми определяется по формуле

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение
,
или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты
перпендикулярных прямых обратны по
абсолютной величине и противоположны
по знаку.

4.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, Смогут иметь любые
значения, лишь бы коэффициентыА,
Вне были нулями оба сразу)
представляетпрямую
линию. Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида.
Поэтому его называютобщим уравнением
прямой.

Если А=0, то есть уравнение не
содержитх, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение не
содержиту, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОY.

Когла Вне равно нулю, то общее
уравнение прямой можноразрешить
относительно ординаты у,
тогда оно преобразуется к виду

y=ax+b

(где a=-A/B; b=-C/B).

Аналогично, при Аотличным от
нуля общее уравнение прямой можно
разрешить относительнох.

Если С=0, то есть общее уравнение
прямой не содержит свободного члена,
то оно представляет прямую, проходящую
через начало координат

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей
через данную точку A(x₁, y₁)
в данном направлении, определяемом
угловым коэффициентом k,

y – y₁ = k(x – x₁). (1)

Это уравнение определяет
пучок прямых, проходящих через
точку A(x₁, y₁),
которая называется центром пучка.

6. уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.

. Уравнение
прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁)
и B(x₂, y₂),
записывается так:

(2)

Угловой коэффициент прямой, проходящей
через две данные точки, определяется
по формуле

(3)

7.
Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении
прямой ,
то разделив (1) на ,
получаем уравнение прямой в отрезках

где  ,  .
Прямая пересекает ось   в
точке  ,
ось   в
точке  .

8.
Формула: Угол между прямыми на плоскости

Уголα между
двумя прямыми, заданными
уравнениями: y=k₁x+b₁ (первая
прямая) и y=k₂x+b₂ (вторая
прямая), может быть вычислен по формуле
(угол отсчитывается от 1^й прямой
ко 2^й против
часовой стрелки):

tg(α)=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)

9. Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

Пусть сейчас
оба уравнения прямых
записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

– общие уравнения двух
прямых на координатной плоскости
Оху. Тогда

1) если ,
то прямые и совпадают;

2) если ,
то прямые и

параллельные;

3) если ,
то прямые пересекаются.

Доказательство.
Условие равносильно
коллинеарности нормальных векторов данных
прямых:

.
Поэтому, если ,
то и прямыепересекаются.

Если же ,
то , , иуравнение прямой принимает
вид:

или ,
т.е. прямые совпадают.
Заметим, что коэффициент пропорциональности ,
иначе все коэффициенты общего уравнения были
бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не
совпадают и не пересекаются, то остается
случай ,
т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Содержание:

Определение углового коэффициента прямой

Формула углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Угловой коэффициент прямой больше нуля

Угловой коэффициент прямой меньше нуля

Угловой коэффициент равен нулю

Угловой коэффициент не определен (равен бесконечности)

Угловой коэффициент параллельных прямых

Угловой коэффициент перпендикулярных прямых

Как рассчитать угловой коэффициент прямой по заданным координатам точек

Примечания[править | править код]

4.Общее уравнение прямой

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Вам также может понравиться

Волосы дыбом как исправить

Вампиры описание как найти

Как найти внутренний угол треугольника в окружности

Добавить комментарий Отменить ответ