В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.
Угол между скрещивающимися прямыми – определение
Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.
Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые a и b. Проведем прямые а1 и b1 параллельные скрещивающимся a и b. Точка М1 является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а1 и b1 являются пересекающимися прямыми.
Обозначим угол между a1 и b1 равным значению α. Построение прямых a2 и b2 параллельно скрещивающимися относительно a и b в точке М2 отличной от М1 приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как α. То есть угол между прямыми a1 и b1 равен углу между a2 и b2. В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки М1 и М2 совпадают.
Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.
Отсюда следует, что угол не зависит от точки M и ее выбора. Поэтому точка M может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.
Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.
Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат Охуz. Имеется задача, в которой необходимой найти угол α, образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.
Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M, что дает понять, через нее проходят прямые a1 и b1, которые параллельны скрещивающимся a и b. Угол α , образованными прямыми a и b, из этого определения получится равным пересекающимся a1 и b1.
Для нахождения искомого угла между a1 и b1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a1 и b1.
Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz).
Векторы a→ и b→ имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α=arccosa→, b→a→·b→=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2, а a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.
Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2.
При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α=1-cos2 α.
Найти угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые заданы уравнениями x2=y-40=z+1-3 и x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R и определяются в системе координат Охуz.
Решение
Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что a→=(2, 0, -3) является направляющим вектором прямой x2=y-40=z+1-3. При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что b→=(1, -1, 4) является направляющим вектором для прямой вида x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R.
Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что
α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2=arccos2·1+0·(-1)+(-3)·422+02+(-3)2·12+(-1)2+42==arccos1013·18=arccos10326
Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен arccos10326.
Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра AD и ВС, принадлежащие пирамиде ABCD, с известными вершинами с координатами A(0, 0, -1), B(5, 7, -5), C(3, 7, -5), D(1, 3, 1).
Решение
AD→ и BC→ являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.
Получаем, что AD→=(1-0, 3-0, 1-(-1))⇔AD→=(1, 3, 2)BC→=(3-5, 7-7, -5-(-3))⇔BC→=(-2, 0, -2)
Из формулы cos α=arccosAD→, BC→AD→·BC→ находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида
cos α=1·(-2)+3·0+2·(-2)12+32+22·(-2)2+02+(-2)2=614·8=327
Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что sin α=1-cos2α=1-3272=1927.
Ответ: sin α=1927, cos α=327.
В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.
Имеется прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами АВ=3, АD=2 и AA1=7 единиц. Точка E делит прямую АА1 как 5:2. Определить угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А1С.
Решение
Ребра заданного параллелепипеда являются взаимно перпендикулярными, поэтому необходимо ввести прямоугольную систему координат для определения угла между указанными скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
Для начала вводится прямоугольная система координат Охуz. Получаем, что начало координат является совпадающим с вершиной A, а Ох совпадает с прямой AD, Оу с AB, а Оz с АА1. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда имеем, что точка B с координатами (0, 3, 0), E – (0, 0, 5), AА – (0, 0, 7), C – (2, 3, 0). Исходя из координат, мы можем получить координаты векторов BE→ и A1C→, необходимые для дальнейшего решения задачи. Получаем, что BE→=(0, -3, 5), A1C→=(2, 3,-7).
Применим формулу для нахождения угла, образованного скрещивающимися прямыми, при помощи координат направляющих векторов. Получаем выражение вида
α=arccosBE→, A1C→BE→·A1C→=arccos0·2+(-3)·3+5·(-7)02+(-3)2+52·22+32+(-7)2==arccos4434·62=arccos22527
Ответ: arccos22527.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сущность метода координат, как метода решения задач состоит в том, что задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различной геометрические соотношения мы можем решать геометрическую задачу средствами, алгебры метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией которой дают богатые плоды. Какие они не могли бы дать, оставаясь разделёнными.
В некоторых случаях метод координат даёт возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально красиво, чем чисто геометрическими способами. Координатно- векторный способ позволяет без особого труда решить стереометрическую задачу из курса ЕГЭ профильной математики.
Вспомним теорию!
Интерактивное приложение
Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Видеоразбор задания
Решим задачу из открытого банка заданий ФИПИ.
Проверьте свои знания и пройдите веб-квест по этой теме:
Интерактивный формат заданий из открытого банка заданий ФИПИ:
Буду рада вам! Подписывайтесь на мои каналы!
https://www.youtube.com/channel/UCrrze24VyUrfKKfpoa9uL1Q
Скрещивающиеся прямые
Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?
Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!
И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:
Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.
Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?
Читай эту статью и всё узнаешь!
Скрещивающиеся прямые — коротко о главном
Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ????) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую ????′, где ????′||????.
Скрещивающиеся прямые — подробнее
Как найти угол, если прямые не пересекаются?
Вот, например: прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) скрещиваются. Какой угол между ними?
Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например ( displaystyle b)), нужно провести прямую ( displaystyle {a}’||a).
И тогда угол между ( displaystyle a) и ( displaystyle b) будет равен (по определению!) углу между ( displaystyle {{a}’}) и ( displaystyle b).
Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.
Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}).
Решаем:
Прямые ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.
Пользуемся правилом: через точку ( displaystyle {{C}_{1}}) проведем прямую ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}). Она будет параллельна ( displaystyle AC).
Значит, угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) равен углу между ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}) и ( displaystyle D{{C}_{1}}). Осталось его найти.
Смотри: ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}), ( displaystyle {{A}_{1}}D) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) – диагонали граней куба, поэтому ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D), то есть ( displaystyle Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D) – равносторонний.
Поэтому ( displaystyle angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^circ ).
Ответ: ( displaystyle 60{}^circ ).
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.
ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве
На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Содержание.
1.Введение.
2.Теоретическая
часть.
3.Практическая
часть.
4.Заключение
5.Список
используемой литературы
6.
Приложение
Введение.
В
представленной работе исследуются методы нахождения угла между скрещивающимися
прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи
такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая
задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.
Эта
работа актуальна потому что, исследуя методы на нахождение угла между
скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках
знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти
знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ. Предметом моих исследований стали
геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Цели
работы:
1. Рассмотреть
теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.
2. Обобщить
все знания, полученные в ходе исследования.
3. Сделать
выводы.
Задачи:
1. Изучить
литературу по данной теме.
2. Познакомиться
с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
3. Подобрать
задачи по данной теме.
4. Исследовать
задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.
Гипотеза:
С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение
олимпиадных задач и заданий ЕГЭ – С2».
Теоретическая часть.
Скрещивающиеся прямые.
Определение:
Прямые не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися (см. Рис.1).
Теорема:
Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке
не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Рисунок 1. Скрещивающиеся
прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми.
Определение: Углом
между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми,
параллельными данным скрещивающимся прямым (см. рис 2).
Рисунок 2. Угол между
скрещивающимися прямыми b и a.
Способы нахождения угла между
скрещивающимися прямыми.
Поэтапно-вчислительный.
Первый способ — с помощью
параллельного переноса. Напомним, в чем его суть: мы производим перенос одной
из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в
результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача
сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.
Алгоритм решения:
1.
Определение типа прямых.
2.
Параллельный перенос одной или обеих
прямых.
3.
Нахождение требуемого угла.
Пример (см.рис.3).
а) Пусть а и b
– данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b
и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.
б) Через точку А проведем прямую с||b.
Получившийся ∠MAN–
угол между скрещивающимися прямыми.
в) Выберем на прямой а – какую-нибудь
точку М, а на прямой с – точку N.
Получим треугольник AMN.
Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем 
.
Рисунок 3.
Поэтапно-вычислительный метод.
Метод трех косинусов.
Алгоритм:
1.
Определить тип прямых.
2.
Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость.
3.
Найти косинус
4.
Нахождение искомого угла.
Пример (см. рис. 4).
а) а и b-скрещивающиеся
прямые. Проведем через прямую а плоскость α
пересекающую прямую b.
б) Спроектируем b
на α. b1–
проекция.
в) 
Рисунок
4. Метод трех косинусов.
Метод проектирования обеих
скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.
Пример (см. рисунок 5).
а) а и b – скрещивающиеся прямые.
б) Плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b.
в) На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на
плоскость α имеет длину d1.
г) Тогда верна формула 
, где α– угол между прямыми а и b.
Рисунок 5. Метод проектирования обеих скрещивающихся
прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.
Метод
проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую (см. прил. 9).
Пример (см.рис.
6):
а) a и b – скрещивающиеся прямые.
б) На прямой a находится отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1.
в) Тогда верна формула 
, где α – угол между прямыми a и b.
Рисунок 6. Метод проектирования отрезка
одной из скрещивающихся прямых на другую.
Метод тетраэдра.
Весьма
эффективный метод, но встречается достаточно редко.
Пример (см. рис.
7).
Для тетраэдра
верна формула 
.
Рисунок 7. Метод тетраэдра.
Я
подробней остановлюсь на самом универсальном на мой взгляд, самом доступном для
понимания, координатном методе.
Координатный
метод.
Алгоритм:
1.
На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем
направление, т.е. векторы).
2.
Вписываем фигуру в систему координат.
3.
Находим координаты концов векторов.
4.
Находим координаты Векторов.
5.
Подставляем в формулу “косинус угла между векторами”.
6.
После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим
значение самого угла.
Чтобы
освоить этот метод, надо хорошо уметь находить координаты точки в пространстве
и правильно располагать многогранники в системе координат. Более подробно с
расположением стереометрических фигур в системе координат вы можете
ознакомиться в приложение (см. прил. 1-6).
Формула
косинуса угла между векторами.
,
где 
.
Практическая
часть.
Задача
№1. На ребре ВВ1
куба ABCDA1B1C1D1
взята точка К так, что BK:KB1=3:1.
Найдите угол между прямыми AK и BD1
(см. рис.8).
Рисунок
8. Задача №1.
1) AK и BD1 –
скрещивающиеся прямые.
2) Д.П.
достроим куб до призмы A1B1C1D1A2B2C2D2, где ABCDA2B2C2D2-куб. Отметить точку Е
на АА1 так, что АЕ : ЕА2=3:1. Тогда AK параллельна BE. Рассмотрим треугольник
EBD1. Возьмем сторону АВ=1; BE =1.25 (по теореме Пифагора).
3)
, по
правилу параллелепипеда.
4)
, по
теореме Пифагора.
по
теореме косинусов.
5)Получим 
, где
α искомый угол.
Ответ: 
.
Пример решения этой же задачи можете
пронаблюдать в приложение (см.прил.7-8).
Задача №2. В
правильный 4-х угольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона
основания равна 2,боковое ребро равно 1. Найдите угол между АА1
и B1D(см.рис.9).
Рисунок 9. Задача №2.
1)
АА1 и B1D
– скрещивающиеся прямые.
2)
т. А – проекция АА1,
на плоскость ABC.
3)
BD–
проекция BD1-на
АВС, тогда 
4)
;
Ответ:.
Задача №3. В
правильной 6-ти угольной пирамиде АВС…F1 сторона основания равна
корню квадратному из 2-х, а боковое ребро равно 1. Найдите угол между АF1
и B1C(см.
рис. 10).
Рисунок 10. Задача №3
1)
AF1
и B1C–
скрещивающиеся прямые.
2)
F1A||BO,
где O-центр
6-ти угольника ABCDEF.
3)
Рассмотрим тетраэдр OBB1C:
, по теореме Пифагора;
в правильном треугольнике OB1A1;BB1=1;BC=
по условию
4)
Ответ:
.
Задача
№4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол
между прямыми AС1
и СB1.
