Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается 
(от англ. universe, universal set), реже 
.
В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.
В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.
В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations[en] У. В. О. Куайна.
Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].
На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].
В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением 
) верны и для второго значения, если через 
и 
обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества .
Свойства универсального множества[править | править код]
Виды[править | править код]
См. также[править | править код]
- Аксиоматика теории множеств
- Парадокс Рассела
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Столл, 1968, с. 25.
- ↑ С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)
Литература[править | править код]
- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
- Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
Пересечение, объединение и разность множеств
- Пересечение множеств
- Объединение множеств
- Универсум и отрицание
- Свойства операций пересечения и объединения
- Разность множеств
- Формулы включений и исключений
- Примеры
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:
$$ A cap B = {x|x in Bbb A и x in Bbb B } $$
Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ – пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.
Например:
Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cap B$ = {3;5}.
Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A cap B$ = {f|f-квадрат}.
Если A = ${n|n⋮3, n in Bbb N }$ – натуральные числа, кратные 3, B = ${n|n⋮5, n in Bbb N }$ – натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = {n|n⋮15, n in Bbb N}$ – натуральные числа, кратные 15.
Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A cap B = varnothing$.
Объединение множеств
Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:
$$ A cup B = { x|x in Bbb A или x in Bbb B } $$
Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = A$ – объединением будет большее множество из двух.
Например:
Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cup B$ = {1;3;5;7;9;11}.
Если $A = {x|x^2-4 = 0, x in Bbb R}, B = {x|x+3 = 2, x in Bbb R }, то A cup$ B = {-2;-1;2}
Если $A = {n│n in Bbb Z }$- все целые числа, $B = {x|x = frac{a}{b}, a in Bbb Z, b in Bbb N }$ – все дроби, то $A cup B = {x│x in Bbb Q}$ – множество рациональных чисел. Заметим, что в данном случае $A subset B$.
Универсум и отрицание
Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.
В литературе универсум обозначают U.
На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:
Примеры универсумов:
При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.
Отрицание (абсолютное дополнение) множества A – множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:
$$ bar{A} = {x|x notin A } $$
Читается «не A».
У отрицания есть любопытное свойство: $bar{bar{Α}} = Α $(два раза «нет» – это «да»).
Например:
Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $bar{A} = {1;2;6;7}$
Если U = ${x|x in Bbb R}$ – все действительные числа, A = ${x|x gt 0, x in Bbb R }$ – все положительные действительные числа, то $ bar{A} = {x|x le 0, x in Bbb R}$.
Свойства операций пересечения и объединения
$A cap B = B cap A$
$ A cup B = B cup A $
$(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$
$ (A cup B) cup C = A cup ( B cup C) $
$(A cup B) cap C = (A cap C) cup (B cap C)$
$ (A cap B) cup C = (A cup C) cap (B cup C) $
$A cap A = A$
$ A cup A = 0 $
Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом
$A cap bar{A} = varnothing $
$A cap U = A$
$A cap varnothing = varnothing$
$A cup bar{A} = U $
$A cup U = U$
$A cup varnothing = A$
$ overline{(A cap B)} = bar{A} cup bar{B} $
$ overline{(A cup B)} = bar{A} cap bar{B} $
$ (A cup B) cap A = A $
$ (A cap B) cup A = A $
Разность множеств
Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:
$$ AB = {x|x in Bbb A , x notin B} $$
Читается «A без B».
На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:
Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar{A} = {x|x in Bbb U, x notin A } $= UA
«Не A» – это «универсум без A».
Формулы включений и исключений
Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.
Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.
Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?
Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:
$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$
Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.
Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».
Получаем:
$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$
$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$
Примеры
Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:
а) A = {0;5;8;10},
B = {3;6;8;9}
$A cap B$ = {8}
$б) A = {x|x lt 3, x in Bbb R}, $
$ B = {x|x gt 1, x in Bbb R} $
$A cap B = {x|1 lt x lt 3, x in Bbb R}$ – отрезок
$в) A = {x|x lt 3, x in Bbb R}, $
$ B = {x|x gt 1, x in Bbb N} $
$A cap B = {x|1 lt x lt 3, x in Bbb N } или A cap B = {2}$ – одна точка
г) A = {f|f-правильный многоугольник},
B = {f|f-четырехугольник}
$A cap B = {f|f-квадрат}$
Пример 2. Найдите объединение данных множеств:
а) A = {0;5;8;10}, B = {3;6;8;9}
$A cup B$ = {0;3;5;6;8;9;10}
б) A = {1;2}, B = {1;2;3;4}
$A subset B$ – строгое подмножество
$A cup B $ = B = {1;2;3;4}
$в) A = {x|x lt 1, x in Bbb R}, B = {x|x gt 1,x in Bbb R} $
$A cup B = {x|x neq 1, x in Bbb R }$
$г) A = {n│n⋮3, n in Bbb Z}, B = {n|n⋮9,n in Bbb N} $
$B subset A$ – строгое подмножество
$ A cup B = A = {n│n⋮3, n in Bbb Z} $
Пример 3. Найдите отрицание данного множества на данном универсуме:
а) U = {1;2;3;4;5}, A = {2;3}
$ bar{A} = {1;4;5}$
б) U = ${x│x in Bbb Q }$, A = ${ frac{4}{5}, frac{7}{8} }$
$ bar{A} = {x|x neq frac{4}{5}, x neq frac{7}{8}, x in Bbb Q} $
$в) U = {x│x in Bbb R}, A = {x|x ge 2, x in Bbb R} $
$bar{A} = {x|x lt 2, x in Bbb R}$
г) U = { 0;1}, A = { 0}
$ bar{A} = {1}$
Пример 4. Найдите обе разности данных множеств:
а) A = {0;1;2;3;4}, B = {2;4}
AB = {0;1;3}, $BA = {∅}$
б) A = {0;1;3}, B = {2;4;6}
AB = {0;1;3}, BA = {2;4;6}
$в) A = {x|x gt 1, x in Bbb R}, $
$ B = {x|x lt 3, x in Bbb R} $
AB $ = {x|x ge 3, x in Bbb R}$
BA $ = {x|x le 1,x in Bbb R} $
$ г*) A = {(x,y)|x gt 0, x in Bbb R, y in Bbb R} $
$ B = {(x,y)|x le 5, x in Bbb R, y in Bbb R} $
AB $ = {(x,y)|x gt 5, x in Bbb R, y in Bbb R} $
BA $ = {(x,y)|x le 0, x in Bbb R, y in Bbb R} $
Пример 5. Из 100 студентов умеют программировать на Python 28 человек, на Java 30 человек, на C# 42 человека, на Python и Java 8 человек, на Python и C# 10 человек, на Java и C# 5 человек. Все три языка знают 3 студента. А сколько студентов не умеют программировать на этих языках?
n(U) = 100
n(A) = 28, n(B) = 30, n(C) = 42
$ n(A cap B) = 8, n(B cap C) = 5, n(A cap C) = 10 $
$n(A cap B cap C) = 3$
Всего программистов:
$ n(A cup B cup C) = n(A)+n(B)+n(C)- $
$ (n(A cap B)+n(B cap C)+n(A cap C) )+n(A cap B cap C) $
$n(A cup B cup C) = 28+30+42-(8+5+10)+3 = 100-23+3 = 80$
Число не умеющих программировать:
$n(U)-n(A cup B cup C) = 100-80 = 20$
Ответ: 20 человек
-
Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.
В
конкретных математических областях
бывает полезно ввести в рассмотрение
столь обширное множество I,
что все рассматриваемые множества
окажутся его подмножествами. Такое
множество I
принято называть универсальным
множеством или универсумом.
Если выбрано некоторое универсальное
множество I,
то возникает новая теоретико-множественная
операция — дополнение. Для всякого
множества М (при этом подразумевается,
что М — подмножество универсального
множества I его
дополнение, обозначаемое через М,
— это множество всех элементов
универсума, которые не принадлежат
множеству М:
М
= {х | х 
I и
x
M}
Таким
образом, дополнение — это частный
случай разности:
M
= I
M,
все отличие здесь состоит в том,
что разность берется относительно
фиксированного множества, содержащего
все множества, которые в данной связи
рассматриваются.
-
Объединение,
пересечение и вычитание множеств.
а) Пересечением
множеств М и N называют
множество тех объектов, которые
принадлежат множествам М и N одновременно.
Обозначение:
М
N
= {х|х
М
и х
N}.
б) Объединением
множеств М и N называют
множество тех элементов, которые
содержатся по крайней мере в одном из
множеств М или N. Обозначение: M
N
= {х | х
М
или х
N}.
в) Разностью
множеств М и N называют
множество тех элементов, которые
принадлежат множеству М и не принадлежат
множеству N. Обозначение: М N. = {х | х
М
и х
N}.
Свойства
операций над множествами.
1.
A U B = B U A – коммутативность . A
n B = B n A
2.
(A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C –
ассоциативность.
3.
(A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) –
дистрибутивность.
4.
Поглощение A U A = A, A n A = A.
5.
Существование универсальных границ.
А
U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A
6.
Двойное
дополнение A =
A
7.
A
U A =
U A n A =
0
8.
Законы двойственности или закон Де –
Моргана
(AUB) = A n B
(AnB) = A U B
-
Кортеж. Декартово умножение множеств.
Пусть 
и 
–
множества. Выражение вида 
,
где 
и 
,
называется упорядоченной
парой.
Равенство вида 
означает,
что 
и 
.
В общем случае, можно рассматриватьупорядоченную
n-ку 
из
элементов 
.
Упорядоченные n-ки иначе
называютнаборы или кортежи.
Определение
4. Декартовым
(прямым) произведением множеств 
называется
множество упорядоченных n-ок (наборов,
кортежей) вида
Определение
5. Степенью
декартового произведения 
называется
число множеств n, входящих в это декартово
произведение.
Замечание.
Если все множества 
одинаковы,
то используют обозначение
-
Бинарные
отношения между элементами множеств.
Граф и график отношения. Способы задания
отношения.
Для
строгого математического описания
любых связей между элементами двух
множеств вводится понятие бинарного
отношения, которое часто появляется
как в математике, так и в информатике.
Отношения между элементами нескольких
множеств (n-арные
отношения) применяются для описания
простой системы управления базами
данных.
Отношением (бинарным
отношением, двуместным отношением) из
множества A в
множество B называется
некоторое подмножество декартового
произведения 
Отношения
в
дальнейшем
будем обозначать 
(читается 
отношение
из A в B)
Если 
, 
и 
,
то говорят, что a находится
в отношении с b.
Используется также запись 
.
Есть два способа задания отношения –
перечиление всех пар и задание
характеристического свойства отношения.
граф-рисунок,
график с осью х и у
-
Отношении,
обратное и противоположное к данному
отношению.
Обратное
отношение
(отношение, обратное к R) — это
двухместное отношение, состоящее из
пар элементов (у, х), полученных
перестановкой пар элементов (х, у)
данного отношения R. Обозначается: R−1.
Для данного отношения и обратного ему
верно равенство: (R−1)−1 = R.
Взаимо-обратные
отношения (взаимообратные отношения)
— отношения, являющиеся обратными друг
по отношению к другу. Область значений
одного из них служит областью определения
другого, а область определения первого
— областью значений другого.
9.Основные
свойства отношений на множестве.
Пусть 
,
т.е.
–
бинарное отношение на множестве A.
1) рефлексивное
отношение, если для
всякого элемента из
множества А пара (а,а) принадлежит
отношению 
,
что означает что всякий элемент из
множества А находится в отношении сам
с собой.2)
симметричное отношение,
если для всяких элементов из множества
А, если одна пара принадлежит
отношению , то и другая
пара принадлежит отношению ,
что означает что если элемент a находится
в отношении c b,
то и элемент b находится
в отношении c a.3)
антисимметричное отношение,
если для всяких элементов из
множества А, если
пара принадлежит
отношению и пара принадлежит
отношению , то , что означает
что отношение не может содержать
пару одновременно с парой ,
если элемент a отличен
от элемента b.4)
транзитивное отношение,
если для всяких элементов из множества
А, если пара принадлежит отношению и
пара принадлежит отношению ,
то и пара принадлежит отношению ,
что означает что если элемент a находится
в отношении c b и
элемент b находится
в отношении c с,
то и элемент a находится
в отношении c с.5)
полное или линейное отношение,
если для всяких элементов из множества А,
если , то пара принадлежит
отношению или пара принадлежит
отношению , что означает что для
любых двух различных элементов a находится
в отношении c b или
элемент b находится
в отношении c a .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Универсальное множество
-
Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества ( иногда используется термин «полное множество» , а также «универсум» .
- Обозначается оно обычно символом I ( либо U). Множество I — это множество всех тех элементов , которые участвуют в данном рассуждении . Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества .
Например , если рассматриваются различные множества целых положительных чисел за исключением нуля , то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел.
На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников , внутри которых размещаются круги , обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств .
На рис.3 показан пример универсального множества I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7), где P — множество четных простых чисел , а Q — множество всех простых чисел , меньших 10.
В общем случае универсальным может быть любое непустое множество .
Упражнения
1. На рис . 3 укажите элементы универсального множества , не входящие в множество Q.
Решение. I – Q = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – {2,3,5,7} = {0,1,4,6,8,9}
2. Найдите кардинальное число множества I на рис.3.
Решение. |I|= 10 (десять элементов)
3. По рис.3 найдите |B(I)|.
Решение. |B(I)| = 2|I| = 210= 1024
4. Перечислите все элементы , которые останутся в множестве I ( рис.3), если из него удалить все элементы , не входящие в множество Q.
5. На рис . 4 универсальное множество образуют гласные буквы русского алфавита .
Укажите буквы ( в алфавитном порядке ), не входящие ни в множество M, ни в множество N.
6. Перечислите буквы ( в алфавитном порядке ), которые останутся в множестве M (рис.4), если все элементы множества N удалить .
Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм “Математика не для всех”, чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Внимание: важная информация перед прочтением!
Если Вы новичок в теории множеств, ознакомьтесь, пожалуйста, со следующими материалами канала:
В ходе подготовки к изучению математической топологии мы уже рассмотрели, основные понятия теории множеств , а также бинарные операции .
Напомню, что бинарные операции отождествляют для двух аргументов одно единственное значения. В контексте рассматриваемого материала к ним относятся: объединение, пересечение, разность (симметричная разность) и декартово произведение множеств. Теперь же обратимся к операциям унарным, т.е. предполагающим один аргумент на входе и один единственный результат.
Первая из унарных операций – это дополнение множества, и она тесно связана операцией разности. Дополнение определяется следующим образом:
Три горизонтальные черты означают «тождественно» (дополнение можно обозначать двумя способами).
Выражение читается следующим образом: дополнение множества А содержит такие x, которые не принадлежат А. Когда говорят о дополнении отдельного множества оперируют таким понятием как универсальное множество (универсум).
В разных разделах математики универсум может различаться: так, в элементарной арифметике – это будет множество целых чисел. Тогда дополнением множества А= {-1,3,5} будет множество B, включающее в себя все остальные целые числа.
У универсального множества есть ряд свойств. Прежде чем перейти к ним, давайте представим, что мы изучаем ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО цифры и оперируем ТОЛЬКО объектами, входящими в универсальное множество U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}. Т.е. буквально наш раздел математики ВООБЩЕ больше не рассматривает других цифр (может быть, так понятнее). Итак, свойства:
1) Все объекты входят в универсальное множество. Действительно, мы не знаем цифр, отличающихся от нами изучаемых.
2) Любое множество является подмножеством универсального. Возьмем множество B={1,2,5}. Оно является подмножеством универсума, впрочем, как и любое другое множество цифр.
3) Объединение универсального множества с любым множеством является универсальным множеством. Напомню, что операция объединения сопоставляет двум множествам другое множество, в которое входят элементы обоих. Тогда, например, объединение множества B={1,2,5} и универсального множества U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} всё так же равно U.
4) Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству. Возьмем множество B={1,2,3,5}, его дополнение относительно универсума равно {4,6,7,8,9,0}. Тогда объединение множества В и его дополнения равно универсуму.
5) Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. Опять же, возьмем множество B={1,2,3,5}. Напомню, пересечение множеств сопоставляет двум множествам только те элементы, которые принадлежат обоим множествам. Таким образом, если сравнить множество B и U, обоим множествам будут принадлежать элементы {1,2,3,5}, т.е. входящие в B.
6) Разность любого множества и универсального равно пустому множеству. Напомню, что в разности множеств важен порядок аргументов. Пусть B={1,2,3,5}. Разность множеств сопоставляет двум множествам те элементы, которые есть в первом, но нет во втором множествах. Так как все элементы множества B входят в U, разность представляет собой пустое множество.
7) Дополнение универсального множества есть пустое множество (см. определение дополнения выше по тексту).
Итак, подразумевается, что это универсум включает в себя не только А, но и вообще все объекты и все множества. Тогда дополнение можно определить следующим образом:
Таким образом дополнение – с небольшой поправкой является как бинарной, так и унарной операцией.
Важно свойство дополнения в том, что оно является инволюцией, т.е. дополнение от дополнения множества равно самому множеству (проверьте сами!)
Еще одной унарной операцией является булеан множества. По определению булеан – это множество всех подмножеств данного множества (включая пустое множество). Для множества А булеан обозначается P(A). Например, вот хороший пример булеана для понимания. Пусть дано множество А={1,2,3}, тогда булеан будет состоять из таких подмножеств:
Количество этих подмножеств называется мощностью конечного булеана и вычисляется по формуле 2^n, где n – количество элементов множества. Тогда P(A) = 8.
Булеан часто применяется в обычной жизни, но мы этого не замечаем. Например, когда Вы приходите в магазин, Вы выбираете подмножества из множества всех товаров, представленных в супермаркете. Выбрав для посещения бакалею, вино-водочный отдел и кулинарию, Вы таким образом выберите подмножества всех отделов супермаркете.
На этом всё. Если Вы ознакомились с прошлыми моими материалами по теории множеств, можно считать, что ознакомительный курс для Вас закончен. Остались только два жизненно важных вопроса: законы де Моргана (там же познакомимся с диаграммами Эйлера-Венна), а также аппарат отображения множеств, критически важный для дальнейшего изучения математической топологии.
ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ! Этим Вы максимально мотивируете меня на создание интересного и познавательного контента. Ведь, если математика не для всех, то не значит, что она не для Вас конкретно!
Курс “Введение в математическую топологию”
Список материалов для начинающего математика:
