Уравнения как найти объем высоту

Уравнения как найти объем высоту

Формулы объема геометрических фигур

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды:

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра:

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра:

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую. Округлять до -го знака после запятой. Все формулы объемов геометрических тел 1. Расчет объема куба a – сторона куба Формула объема куба, (V): 2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда a , b , c – стороны параллелепипеда Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром. Формула объема параллелепипеда, (V): 3. Формула для вычисления объема шара, сферы R – радиус шара По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V): 4. Как вычислить объем цилиндра ? h – высота цилиндра r – радиус основания По формуле найти объема цилиндра, есди известны – его радиус основания и высота, (V): 5. Как найти объем конуса ? R – радиус основания H – высота конуса Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V): 7. Формула объема усеченного конуса r – радиус верхнего основания R – радиус нижнего основания h – высота конуса Формула объема усеченного конуса, если известны – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ): 8. Объем правильного тетраэдра Правильный тетраэдр – пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники. а – ребро тетраэдра Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V): 9. Объем правильной четырехугольной пирамиды Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой. a – сторона основания h – высота пирамиды Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V): 10. Объем правильной треугольной пирамиды Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой. a – сторона основания h – высота пирамиды Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны – высота и сторона основания (V): 11. Найти объем правильной пирамиды Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной. h – высота пирамиды a – сторона основания пирамиды n – количество сторон многоугольника в основании Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V): [spoiler title=”источники:”] http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-resheniye-piramidy http://www-formula.ru/2011-09-24-00-37-25 [/spoiler]

Mensuration is the part of mathematics that deals with studying various geometrical shapes, their areas, and volume. In simple terms, mensuration is all about measurement. The measurement of various body dimensions and calculation of area, surface area, and volume are studied under mensuration. 

Volume

Volume is defined as a 3-dimensional space that is closed or bound by an object. Finding the volume of an object can help us to determine the quantity needed to fill an object, such as the water needed to fill a bottle, a swimming pool, or a water tank. The volume of an object is estimated in cubic units such as cubic centimeters, cubic inch, cubic foot, cubic meter, etc.

The volume of most objects can be easily calculated given the base area and height, even complex ones. The complex objects can be segmented into simpler figures, and thus adding the volumes of these simpler figures can be summed to obtain the volume of the entire object.

How to find the volume using the area and height?

In order to find the volume of a given object, it can be done in the following ways,

1. Find the base area
2. Multiply the base area with the corresponding height.

Calculating the volume of some familiar figures,

Cube

A cube is a three-dimensional object that has six congruent square faces. Dimensions of all the 6 square faces of the cube are identical. A cube is seldom also ascribed to as a regular hexahedron or as a square prism.

The base area of a cube = side × side

Height of the cube = side

Volume of the cube = base area × height = side³

Cuboid

A cuboid is a three-dimensional solid shape that has six faces, eight vertices, and 12 edges. It is one of the common shapes around us, which has three dimensions: length, width, and height.

The base area of the cuboid = Length × Breadth

Height of the cuboid = Depth

Volume of the cuboid = base area × height = Length × Breadth × Depth

Cylinder

A cylinder is a three-dimensional solid figure in geometry, which has two parallel circular bases bounded by a curved surface at a precise distance from the center. Candles, batteries are real-life examples of cylinders. 

The base area of a cylinder = 3.14 × R²

Height of the cylinder = Length

Volume of the cylinder = base area x height = 3.14 × R² × Length

Sample Problems

Question 1: The base area of a cube is 25 cm², and the height is 5 cm.  Find the volume.

Solution:

Volume = base area × height 

= 25 × 5

= 125 cm³

Question 2: The base area of a cuboid is 10 cm², and the height is 50 cm.  Find the volume.

Solution:

Volume = base area × height

 = 10 x 50

 = 500 cm³

Question 3: The base area of a cylinder is 30  cm², and its length is 10 cm.  Find its volume.

Solution:

Volume = base area × height

 = 30 × 10

 = 300 cm²

Last Updated :
28 Sep, 2021

Like Article

Save Article

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем цилиндра и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления объема цилиндра

Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

V = S ⋅ H

Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R². Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

V = π ⋅ R² ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

V = π ⋅ (^d/₂)² ⋅ H

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем цилиндра, если дана площадь его основания – 78,5 см², а также, высота – 10 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее известные значения:
V = 78,5 см² ⋅ 10 см = 785 см³.

Задание 2
Высота цилиндра равна 6 см, а его диаметр – 8 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись третьей формулой, в которой участвует диаметр, получаем:
V = 3,14 ⋅ (8/2 см)² ⋅ 6 см = 301,44 см³.

План урока:

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Вычисление объема тел вращения

Объем наклонной призмы

Объем пирамиды

Объем конуса

Объем шара

Шаровой сегмент

Площадь сферы

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х₀, х₁, х₂…, х_n, причем точке х₀ будет совпадать с точкой а, а точка х_n – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(x_i). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(x_i) и S(x_i+1) как V(x_i). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(x_i) может быть приближенно рассчитан так:

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(x_i)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х₀ = a, а число х_n-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу х_n, то есть к b, то можно записать следующее:

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА₂В₂С₂. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А₂В₂С₂ в некоторой точке О₂. Тогда отрезок ОО₂ будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

Обозначим длину высоты ОО₂ буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А₁В₁С₁ призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО₂ и А₁В₁С₁⊥ОО₂, то АВС||А₁В₁С₁. Прямые АВ и А₁В₁ принадлежат одной грани АВВ₂А₁, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А₁С₁ и ВС||В₁С₁. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ₁А₁. АВ||A₁В₁ и АА₁||ВВ₁. Тогда АВВ₁А₁ по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А₁В₁ одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А₁С₁, а также ВС и В₁С₁. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А₁В₁С₁.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S₁, S₂, S₃, …

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

Решение. Пусть в основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В₁ перпендикуляр В₁О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ₁ ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ₁, найдем высоту ОВ₁:

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

Объем конуса

Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М₁ на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.

Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А₁. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА₁М₁. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:

Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:

Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.

Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:

Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?

Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:

Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:

Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.

Решение. Сначала находим площади оснований:

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Была ли эта статья полезной?