Уравнения со степенью как найти степень

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$

Где (a) и (b) – некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) – какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1
$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

$$ 4x-1=-2;$$

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3
$$125^x=25;$$

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

$$ (5^3)^x=5^2;$$

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):

$$ 5^{3*x}=5^2;$$

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$

И еще один пример:

Пример 4
$$2^x=-4;$$

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

$$ a^x=b;$$

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

$$ a^x=a^m;$$

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

$$x=m.$$

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Пример 5
$$2^x=16;$$

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

$$2^x=2^4$$

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$

Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$

Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

Пример 8
$$ 3^x=2;$$

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

$$ b=a^{log_{a}(b)};$$

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$

Подставим данное преобразование в наш пример:

$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

$$x=log_{3}(2).$$

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:

$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию – (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

$$t^2-5t+6=0;$$

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$

И второй корень:

$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$

Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)

И еще один пример на замену:

Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$

Подставим в исходное уравнение:

$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$

И второе значение (t):

$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$

Разберем каждое слагаемое:

$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):

$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$

Сделаем обратную замену:

$$(frac{7}{3})^x=1;$$

Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):

$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$

Ответ: (x=0).

И последний пример на замену:

Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны – отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$

И последнее слагаемое со степенью:

$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$

Ответ: (x=1.)

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):

$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Что такое показательное уравнение и как его решать

20 декабря 2016

Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.

Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; ${{x}^{2}}+5x+4=0$; ${{x}^{2}}-12x+32=0$ и т.д. Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь.

Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:

[{{2}^{x}}=4;quad {{5}^{2x-3}}=frac{1}{25};quad {{9}^{x}}=-3]

Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $fleft( x right)={{a}^{x}}$. Таким образом, введём определение:

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида ${{a}^{x}}$. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.

Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.

Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.

Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.

Первое уравнение: ${{2}^{x}}=4$. Ну и в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 4? Наверное, во вторую? Ведь ${{2}^{2}}=2cdot 2=4$ — и мы получили верное числовое равенство, т.е. действительно $x=2$. Что ж, спасибо, кэп, но это уравнение было настолько простым, что его решил бы даже мой кот.:)

Посмотрим на следующее уравнение:

[{{5}^{2x-3}}=frac{1}{25}]

А вот тут уже чуть сложнее. Многие ученики знают, что ${{5}^{2}}=25$ — это таблица умножения. Некоторые также подозревают, что ${{5}^{-1}}=frac{1}{5}$ — это по сути определение отрицательных степеней (по аналогии с формулой ${{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}$).

Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:

[frac{1}{25}=frac{1}{{{5}^{2}}}={{5}^{-2}}]

Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:

[{{5}^{2x-3}}=frac{1}{25}Rightarrow {{5}^{2x-3}}={{5}^{-2}}]

А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:

[2x-3=-2]

Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:

[begin{align}& 2x-3=-2 \& 2x=3-2 \& 2x=1 \& x=frac{1}{2} \end{align}]

Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.

Со всеми остальными мы идём дальше. На очереди третье уравнение:

[{{9}^{x}}=-3]

Ну и как такое решать? Первая мысль: $9=3cdot 3={{3}^{2}}$, поэтому исходное уравнение можно переписать так:

[{{left( {{3}^{2}} right)}^{x}}=-3]

Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:

[{{left( {{3}^{2}} right)}^{x}}={{3}^{2x}}Rightarrow {{3}^{2x}}=-{{3}^{1}}]

Ну а дальше вообще всё стандартно:

[begin{align}& 2x=-1 \& x=-frac{1}{2} \end{align}]

И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:

[begin{matrix} {{3}^{1}}=3& {{3}^{-1}}=frac{1}{3}& {{3}^{frac{1}{2}}}=sqrt{3} \ {{3}^{2}}=9& {{3}^{-2}}=frac{1}{9}& {{3}^{frac{1}{3}}}=sqrt[3]{3} \ {{3}^{3}}=27& {{3}^{-3}}=frac{1}{27}& {{3}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{3}} \end{matrix}]

Составляя эту табличку, я уж как только не извращался: и положительные степени рассмотрел, и отрицательные, и даже дробные… ну и где здесь хоть одно отрицательное число? Его нет! И не может быть, потому что показательная функция $y={{a}^{x}}$, во-первых, всегда принимает лишь положительные значения (сколько единицу не умножай или не дели на двойку — всё равно будет положительное число), а во-вторых, основание такой функции — число $a$ — по определению является положительным числом!

Ну и как тогда решать уравнение ${{9}^{x}}=-3$? А никак: корней нет. И в этом смысле показательные уравнения очень похожи на квадратные — там тоже может не быть корней. Но если в квадратных уравнениях число корней определяется дискриминантом (дискриминант положительный — 2 корня, отрицательный — нет корней), то в показательных всё зависит от того, что стоит справа от знака равенства.

Таким образом, сформулируем ключевой вывод: простейшее показательное уравнение вида ${{a}^{x}}=b$ имеет корень тогда и только тогда, когда $b gt 0$. Зная этот простой факт, вы без труда определите: есть у предложенного вам уравнения корни или нет. Т.е. стоит ли вообще его решать или сразу записать, что корней нет.

Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.

Как решать показательные уравнения

Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:

[{{a}^{x}}=b,quad a,b gt 0]

Согласно «наивному» алгоритму, по которому мы действовали ранее, необходимо представить число $b$ как степень числа $a$:

[b={{a}^{m}}Rightarrow {{a}^{x}}={{a}^{m}}Rightarrow x=m]

Кроме того, если вместо переменной $x$ будет стоять какое-либо выражение, мы получим новое уравнение, которое уже вполне можно решить. Например:

[begin{align}& {{2}^{x}}=8Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}Rightarrow x=3; \& {{3}^{-x}}=81Rightarrow {{3}^{-x}}={{3}^{4}}Rightarrow -x=4Rightarrow x=-4; \& {{5}^{2x}}=125Rightarrow {{5}^{2x}}={{5}^{3}}Rightarrow 2x=3Rightarrow x=frac{3}{2}. \end{align}]

И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:

[{{2}^{x}}=3;quad {{5}^{x}}=15;quad {{4}^{2x}}=11]

Ну и в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 3? В первую? А вот и нет: ${{2}^{1}}=2$ — маловато. Во вторую? Тоже нет: ${{2}^{2}}=4$ — многовато. А в какую тогда?

Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):

[a={{b}^{{{log }_{b}}a}},quad a gt 0,quad 1ne b gt 0]

Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:

[begin{align}& {{2}^{x}}=3 \& a={{b}^{{{log }_{b}}a}} \end{align}]

Если допустить, что $a=3$ — наше исходное число, стоящее справа, а $b=2$ — то самое основание показательной функции, к которому мы так хотим привести правую часть, то получим следующее:

[begin{align}& a={{b}^{{{log }_{b}}a}}Rightarrow 3={{2}^{{{log }_{2}}3}}; \& {{2}^{x}}=3Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{{{log }_{2}}3}}Rightarrow x={{log }_{2}}3. \end{align}]

Получили немного странный ответ: $x={{log }_{2}}3$. В каком-нибудь другом задании многие при таком ответе засомневались бы и начали перепроверять своё решение: вдруг там где-то закралась ошибка? Спешу вас обрадовать: никакой ошибки здесь нет, и логарифмы в корнях показательных уравнений — вполне типичная ситуация. Так что привыкайте.:)

Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:

[begin{align}& {{5}^{x}}=15Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{{{log }_{5}}15}}Rightarrow x={{log }_{5}}15; \& {{4}^{2x}}=11Rightarrow {{4}^{2x}}={{4}^{{{log }_{4}}11}}Rightarrow 2x={{log }_{4}}11Rightarrow x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11. \end{align}]

Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:

[x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11={{log }_{4}}{{11}^{frac{1}{2}}}={{log }_{4}}sqrt{11}]

Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:

[x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11={{log }_{{{4}^{2}}}}11={{log }_{16}}11]

При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.

Таким образом, мы научились решать любые показательные уравнения вида ${{a}^{x}}=b$, где числа $a$ и $b$ строго положительны. Однако суровая реальность нашего мира такова, что подобные простые задачи будут встречаться вам очень и очень редко. Куда чаще вам будет попадаться что-нибудь типа этого:

[begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11; \& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& {{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \end{align}]

Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?

Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)

Преобразование показательных уравнений

Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:

1. Записать исходное уравнение. Например: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. Сделать какую-то непонятную хрень. Или даже несколько хреней, которые называются «преобразовать уравнение»;
3. На выходе получить простейшие выражения вида ${{4}^{x}}=4$ или что-нибудь ещё в таком духе. Причём одно исходное уравнение может давать сразу несколько таких выражений.

С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.

Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?

Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:

1. Уравнение составлено из показательных функций с одним и тем же основанием. Пример: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. В формуле присутствуют показательные функции с разными основаниями. Примеры: ${{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}$ и ${{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09$.

Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.

Выделение устойчивого выражения

Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:

[{{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11]

Что мы видим? Четвёрка возводится в разные степени. Но все эти степени — простые суммы переменной $x$ с другими числами. Поэтому необходимо вспомнить правила работы со степенями:

[begin{align}& {{a}^{x+y}}={{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}; \& {{a}^{x-y}}={{a}^{x}}:{{a}^{y}}=frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}. \end{align}]

Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:

[begin{align}& {{4}^{x-1}}=frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{1}}}={{4}^{x}}cdot frac{1}{4}; \& {{4}^{x+1}}={{4}^{x}}cdot {{4}^{1}}={{4}^{x}}cdot 4. \end{align}]

Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:

[begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}cdot frac{1}{4}={{4}^{x}}cdot 4-11; \& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}cdot frac{1}{4}-{{4}^{x}}cdot 4+11=0. \end{align}]

В первых четырёх слагаемых присутствует элемент ${{4}^{x}}$ — вынесем его за скобку:

[begin{align}& {{4}^{x}}cdot left( 1+frac{1}{4}-4 right)+11=0; \& {{4}^{x}}cdot frac{4+1-16}{4}+11=0; \& {{4}^{x}}cdot left( -frac{11}{4} right)=-11. \end{align}]

Осталось разделить обе части уравнения на дробь $-frac{11}{4}$, т.е. по существу умножить на перевёрнутую дробь — $-frac{4}{11}$. Получим:

[begin{align}& {{4}^{x}}cdot left( -frac{11}{4} right)cdot left( -frac{4}{11} right)=-11cdot left( -frac{4}{11} right); \& {{4}^{x}}=4; \& {{4}^{x}}={{4}^{1}}; \& x=1. \end{align}]

Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.

При этом в процессе решения мы обнаружили (и даже вынесли за скобку) общий множитель ${{4}^{x}}$ — это и есть устойчивое выражение. Его можно обозначать за новую переменную, а можно просто аккуратно выразить и получить ответ. В любом случае, ключевой принцип решения следующий:

Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.

Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.

Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:

[{{5}^{x+2}}+{{0,2}^{-x-1}}+4cdot {{5}^{x+1}}=2]

Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:

[{{0,2}^{-x-1}}={{0,2}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{2}{10} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}]

Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:

[{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}Rightarrow {{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{5}{1} right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}]

Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:

[{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}={{left( frac{1}{a} right)}^{n}}Rightarrow {{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{5}{1} right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}]

С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:

[{{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{-left( x+1 right)}}={{5}^{left( -1 right)cdot left( -left( x+1 right) right)}}={{5}^{x+1}}]

Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)

В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:

[begin{align}& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}+4cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+5cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+{{5}^{1}}cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+2}}=2; \& 2cdot {{5}^{x+2}}=2; \& {{5}^{x+2}}=1. \end{align}]

Вот и получается, что исходное уравнение решается даже проще, чем ранее рассмотренное: тут даже не надо выделять устойчивое выражение — всё само сократилось. Осталось лишь вспомнить, что $1={{5}^{0}}$, откуда получим:

[begin{align}& {{5}^{x+2}}={{5}^{0}}; \& x+2=0; \& x=-2. \end{align}]

Вот и всё решение! Мы получили окончательный ответ: $x=-2$. При этом хотелось бы отметить один приём, который значительно упростил нам все выкладки:

В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.

Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.

Использование свойства степеней

Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& {{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \end{align}]

Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.

Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.

Начнём с первого уравнения:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& 21=7cdot 3Rightarrow {{21}^{3x}}={{left( 7cdot 3 right)}^{3x}}={{7}^{3x}}cdot {{3}^{3x}}. \end{align}]

Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{left( 7cdot 3 right)}^{x+6}}={{21}^{x+6}}; \& {{21}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& x+6=3x; \& 2x=6; \& x=3. \end{align}]

Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.

Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:

[{{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09]

Прежде всего, сделаем то, что я рекомендовал ещё в самом начале урока — избавимся от десятичной дроби:

[{{100}^{x-1}}cdot {{left( frac{27}{10} right)}^{1-x}}=frac{9}{100}]

В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.

У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:

[1-x=-left( x-1 right)Rightarrow {{left( frac{27}{10} right)}^{1-x}}={{left( frac{27}{10} right)}^{-left( x-1 right)}}={{left( frac{10}{27} right)}^{x-1}}]

Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:

[begin{align}& {{100}^{x-1}}cdot {{left( frac{10}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}; \& {{left( 100cdot frac{10}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}; \& {{left( frac{1000}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}. \end{align}]

Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу ${{a}^{x}}cdot {{b}^{x}}={{left( acdot b right)}^{x}}$, а в последней просто умножили число 100 на дробь.

Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:

[begin{align}& frac{1000}{27}=frac{{{10}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3}}; \& frac{9}{100}=frac{{{3}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{left( frac{3}{10} right)}^{2}}. \end{align}]

Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:

[{{left( {{left( frac{10}{3} right)}^{3}} right)}^{x-1}}={{left( frac{3}{10} right)}^{2}}]

Дальше всё просто. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

[{{left( {{left( frac{10}{3} right)}^{3}} right)}^{x-1}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3left( x-1 right)}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3x-3}}]

При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:

[{{left( frac{3}{10} right)}^{2}}={{left( frac{10}{3} right)}^{-2}}]

Окончательно наше уравнение примет вид:

[begin{align}& {{left( frac{10}{3} right)}^{3x-3}}={{left( frac{10}{3} right)}^{-2}}; \& 3x-3=-2; \& 3x=1; \& x=frac{1}{3}. \end{align}]

Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.

Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?

Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.

А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.

В общем, желаю удачной тренировки. И увидимся в следующем уроке — там мы будем разбирать действительно сложные показательные уравнения, где описанных выше способов уже недостаточно. И простой тренировки тоже будет недостаточно.:)

Смотрите также:

1. Преобразование показательных уравнений
2. Решение показательных неравенств
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Общая схема решения задач B15
5. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
6. Более сложные задачи на производительность

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

• Свойства степени и корня
• Решение линейных и квадратных уравнений
• Разложение на множители

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения ( 3x+5=2{x} -1) является число ( x=-6).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

( {{5}^{3}}=5cdot 5cdot 5=125).

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

( 2cdot 2cdot 2={{2}^{3}}=8).

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).

Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

( begin{align} & 2=2 \ & 2cdot 2=4 \ & 2cdot 2cdot 2=8 \ & 2cdot 2cdot 2cdot 2=16 \ end{align} )

Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: ( displaystyle {{2}^{4}}=16).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

( displaystyle {{2}^{x}}=1024),

где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что ( displaystyle 1024={{2}^{10}}), тогда моя задачка запишется в виде:

( displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

( x=10).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

Вот тебе еще один пример:

( {{1000}^{x}}=100).

Но что же делать?

Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно: ( 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}).

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.

Тогда:

А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 1. Метод простой замены

( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Решение:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

( {{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}})

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Если же дополнительно представить ( {{2}^{x+1}}) как ( 2cdot {{2}^{x}}), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, ( t={{2}^{x}}). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

( {{t}^{2}}+2t-3=0)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: ( {{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1).

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида ( t={{a}^{x}})), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, ( {{t}_{1}}=-3) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

( {{t}_{2}}=1), тогда ( {{2}^{x}}=1), откуда ( x=0).

Ответ: ( x=0)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

( {{3}^{3x+1}}-4cdot {{9}^{x}}=17cdot {{3}^{x}}-6)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется ( {{3}^{x}}) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

( {{3}^{3x+1}}=3cdot {{left( {{3}^{x}} right)}^{3}}), ( {{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}).

Тогда можно заменять ( t={{3}^{x}}), в результате я получу следующее выражение:

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6)

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение ( displaystyle t=1). Не является корнем. Увы и ах! Хорошо, а теперь возьмем…

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

( {{9}^{x+1}}-2cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~) при ( ~xin (lo{{g}_{3}}frac{3}{2};sqrt{5}))

Решение:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену ( t={{3}^{x}}) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

( {{t}^{2}}-18t+5=0)

( {{t}_{1}}=frac{1}{3},~{{t}_{2}}=frac{5~}{3})

Тогда ( {{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=mathbf{lo}{{mathbf{g}}_{3}}left( frac{5}{3} right)~~~)

Вначале давай рассмотрим первый корень. 

Сравним ( -1) и ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)):

так как ( frac{3}{2}>1), то ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>0). (свойство логарифмической функции ( y=lo{{g}_{a}}x) при ( a>1)).

Тогда ясно, что( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>-1) и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:

Пример уравнения с нестандартной заменой!

( displaystyle 4sqrt[x]{81}-12sqrt[x]{36}+9sqrt[x]{16}=0)

Решение:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что ( 81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~) а ( 36=4cdot 9.)

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

( displaystyle 4cdot {{9}^{frac{2}{x}}}~-12cdot {{4}^{frac{1}{x}}}{{9}^{frac{1}{x}}}+9cdot {{4}^{frac{2}{x}}}=0)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на ( {{4}^{frac{2}{x}}}):

Например, уравнение вида:

( {{a}^{F(x)}}=b(x)), причем ( b(x)ne {{a}^{i}}), ( i)( in R/Q)

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

( F(x)=lo{{g}_{a}}b(x))

Давай рассмотрим следующий пример:

( {{x}^{1+lgx}}=10x)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только ( x>0). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):

( lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x))

( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))

( (1+lg(x))(lg(x)-1)=0)

( lg(x)=1,~lg(x)=-1)

( {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

( {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}})

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:

( lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});)

( left( lo{{g}_{4}}x-2 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}x=2left( text{lo}{{text{g}}_{4}}x-1 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}2;)

( (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);)

Сделаем замену: ( t=lo{{g}_{4}}x)

( {{t}_{1}}=frac{3+sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=frac{3-sqrt{5}}{2})

Тогда ( {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right),~)

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Ведь ( frac{3-sqrt{5}}{2}<1,~) тогда:

( {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right)<0,~~) что не удовлетворяет требованию ( x>0) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: ( lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right))

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже

• ( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=sqrt{10})
• ( {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию ( 10), учитывая, что ( x>0):

( lg left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} right)=lgsqrt{10})

( left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx right)lgx=frac{1}{2},~), замена ( ~t=l{{g}^{2}}xge 0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

( l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~)

2. Логарифмируем по основанию ( displaystyle 7):

( displaystyle lo{{g}_{7}}{{left( x+5 right)}^{lo{{g}_{7}}left( x+5 right)}}=lo{{g}_{7}}7)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

( displaystyle left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)+1 right)left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)-1 right)=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-frac{34}{7})

Содержание:

Показательно-степенные уравнения:

Показательно степенными уравнениями обычно называют уравнения, содержащие выражения вида

Основные способы решения уравнения вида

Ориентир

Используем (если возможно) основное логарифмическое тождество в виде

Логарифмируем (если возможно) обе части уравнения по числовому основанию или представляем все степени как степени с одним и тем же числовым основанием по формуле

Пример:

На ОДЗ (х > 0) обе части уравнения положительны, поэтому после логарифмирования по основанию 10 получаем уравнение, равносильное данному:

— произвольное выражение

Ориентир:

Две степени с одинаковыми основаниям и могут быть равными в одном из четырех случаев:

1. для корней, этого уравнения — целые, числа одинаковой четности;
2. для корней этого уравнения
3. для корней этого уравнения существуют;
4. для корней этого уравнения существуют и

Пример:

Если предположить, что основание степени является числом, то сначала рассмотрим три особых случая (основание степени равно а затем приравняем показатели степеней:

1. при получаем верное равенство
2. при то — верное равенство;
3. при то — верное равенство;
4. при то есть то — верное равенство.

Ответ:

Замечание. Если предположить, что основание является переменной, то функция считается определенной только при В этом случае данное уравнение имеет только корни 1 и 8, и получаем ответ:

Таким образом, ответ к такому уравнению нельзя записать однозначно.

Объяснение и обоснование

Показательно степенными уравнениями и неравенствами обычно называют уравнения и неравенства, содержащие выражения вида (в которых переменная входит и в основание, и в показатель степени).

Анализируя показательно-степенные уравнения, представленные в табл. 26, следует помнить, что в школьном курсе математики понятие уравнения на разных этапах вводилось по-разному. В 4 -5 классах уравнением называлось числовое равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называлось корнем, или решением этого уравнения. Например, для уравнения корнем является значение

С точки зрения приведенного определения, в уравнении буквой обозначено хотя и неизвестное нам, но конкретное число, поэтому может принимать единственное значение Но такое определение затрудняет в дальнейшем работу с уравнением. Когда принимает единственное значение, мы не можем применять, например, графическое решение уравнения (имея только одно значение , невозможно получить график как прямую линию на плоскости). Поэтому, начиная с 6-7 классов, уравнение определяется как равенство с переменной (а корнем, или решением уравнения соответственно называется такое значение переменной, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство). Тогда в уравнении — это переменная, для которой нет ни одного ограничения, и поэтому может быть любым числом (ОДЗ уравнения: ). При таком подходе каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной Таким образом, это уравнение можно решить графически, построив графики функций Кроме того, можно записать уравнение в общем виде как равенство и обоснованно применить свойства функций для решения уравнений.

Для всех видов уравнений, которые рассматривались в курсе алгебры или алгебры и начал анализа, приведенные два определения уравнения приводят к одному и тому же результату при решении уравнений. Но в случае показательно-степенного уравнения иногда можно получить разные ответы, используя разные подходы к определению уравнения. Например, решим уравнение

Если рассматривать такое уравнение как числовое равенство, то две степени с одинаковым основанием могут быть равными только в одном из четырех случаев. А именно: если основанием степени является одно из значений то степени могут быть равными даже тогда, когда их показатели будут разными (при условии, что эти степени существуют). Во всех остальных случаях степени с одинаковым основанием будут равными только тогда, когда показатели этих степеней будут равными ( то есть ). Следовательно, для получения всех корней данного уравнения достаточно проверить значения , равные Все эти числа являются корнями, так как при подстановке каждого из них в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство.

Если же рассматривать это уравнение как равенство с переменной и встать на функциональную точку зрения, то функция как правило, считается определенной только при тогда данное уравнение имеет только два корня: 1 и 2.

Таким образом, в рассмотренном уравнении ответ нельзя записать однозначно (поскольку каждый из указанных подходов к определению уравнения имеет право на существование и реально используется в математике). Поэтому в подобных ситуациях приходится приводить оба варианта ответа. Аналогичный пример приведен в табл. 26.

Обобщая приведенные выше рассуждения, заметим, что в том слу чае, когда при решении уравнения вида из условия не следует, что основание степени необходимо рассмотреть три особых случая: основание равно -1 , 0, 1 (при этом степени и могут быть равными даже тогда, когда показатели разные), а затем приравнять показатели Если же из условия следует, что то рассматриваем только один особый случай — основание степени равно — и приравниваем показатели степеней

Например, решим уравнение

Из условия не следует, что основание степени следовательно, приходится рассматривать все случаи.

Объединяя полученные результаты, получаем ответ.

Ответ:

Замечание. При для решения уравнения можно прологарифмировать обе его части по любому числовому основанию, получить равносильное уравнение, в котором уже не придется рассматривать особый случай — он будет учтен автоматически. Это связано с тем, что функция при имеет особый случай, если (см. график функции ), а функция (где ) особых случаев не имеет.

Также отметим, что при решении неравенств вида обычно используют функциональный подход и считают, что Когда в показательно-степенное уравнение входят выражения вида для его решения можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством, В этом случае следует учитывать ОДЗ данного уравнения (см. пример 1 в табл. 26).

Достаточно часто при решении показательно-степенных уравнений логарифмируют обе его части. Это можно сделать только тогда, когда обе части уравнения положительны на его ОДЗ (см. пример 2 в табл. 26). Приведем еще несколько примеров решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Примеры с решениями

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Поскольку не является корнем данного уравнения ( не существует), то при обе его части положительны. После логарифмирования (по основанию 10) обеих частей данного уравнения получаем равносильные ему уравнения:

Из первого полученного уравнения имеем (не является корнем), а из второго — Тогда или то есть или Ответ:

Комментарий:

Поскольку то из особых случаев можно рассмотреть только один — основание равно 0 ( то есть ). Чтобы не рассматривать случай, когда основание равно 1, достаточно при прологарифмировать обе части уравнения по числовому основанию (например, по основанию 10). При обе части данного уравнения положительны, поэтому после логарифмирования получаем уравнение, равносильное данному. Поскольку все дальнейшие преобразования равносильны (при ), то все полученные решения (не равные 3) являются корнями данного уравнения.

Пример №2

Решите уравнение

Комментарий:

Прологарифмировать обе части данного уравнения не удается (в левой части стоит сумма), поэтому попытаемся представить все степени в виде степеней с одним и тем же числовым основанием. Так как в уравнении есть логарифм по основанию 2, представим все данные степени в виде степеней с основанием 2 по формуле где Тогда

(то есть слагаемые, стоящие в левой части данного уравнения, одинаковы). После получения уравнения (2) (см. решение) можно использовать равенство (1) справа налево, а также записать правую часть уравнения (2) как степень числа 2 или прологарифмировать обе его части по основанию 2.

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 2.

Пример №3

Решите систему уравнений:

Комментарий :

Используем равносильные преобразования системы. Для этого учтем ОДЗ и проследим, чтобы на этой ОДЗ преобразования уравнений как в прямом, так и в обратном направлениях сохраняли верные равенства. В первом уравнении данной системы запишем все степени как степени с основанием 3 (см. комментарий к задаче 2). После равносильных (на ОДЗ) преобразований первого уравнения получаем систему (1) (см. решение), в которую переменные входят только в виде поэтому удобно произвести замену переменных. После обратной замены применяем определение логарифма.

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ первое уравнение данной системы равносильно уравнениям:

Тогда данная система уравнений равносильна системе

Замена дает систему уравнений Из второго уравнения последней системы из первого уравнения получаем то есть Отсюда Тогда Обратная замена дает

Тогда

(найденные решения входят в ОДЗ). Ответ:

Пример №4

Решите неравенство

I способ

Комментарий:

Попытаемся выполнить равносильные преобразования данного неравенства, применив рассуждения, аналогичные тем, что приводились при решении показательно-степенных уравнений (см. пункт II табл. 60). Поскольку то из особых случаев следует рассмотреть только два: основание равно и основание равно При других значениях основание — положительное число, не равное 1.

Рассмотрим два случая:

• 1) основание больше 1 (при переходе от степеней к показателям в данном неравенстве знак неравенства не меняется);
• 2) основание меньше 1, но больше 0 (при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный). При таких преобразованиях получаем неравенства, равносильные данному (на его ОДЗ), поскольку можем гарантировать правильность не только прямых, но и обратных переходов.

При решении полученных простейших логарифмических неравенств учитываем, что функция возрастающая. В ответ следует включить все решения полученных систем неравенств и все особые значения, которые являются решениями данного неравенства.

Решение:

При данное неравенство выполняется — верное неравенство), таким образом, — одно из его решений. Если (то есть тогда или — эти значения входят в ОДЗ), то данное неравенство также выполняется. При и получаем верное неравенство Таким образом , эти числа также являются решениями данного неравенства. При на ОДЗ данное неравенство равносильно следующей совокупности систем:

Таким образом, Учитывая особые значения , которые являются решениями, получаем: Ответ:

II способ

Комментарий:

Решим данное неравенство методом интервалов, для этого приведем его к виду Для нахождения нулей необходимо решить показательно-степенное уравнение (2) (см . решение ниже). Поскольку то из особых случаев необходимо рассмотреть только два — основание равно 0 или основание равно При других значениях из ОДЗ в уравнении (3) (см. решение ниже) основание — положительное число, не равное 1. Тогда можно приравнять показатели степеней (получаем уравнение, равносильное данному). Для нахождения знаков удобно использовать график функции

Решение:

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

2. Пусть

На ОДЗ уравнение (2) равносильно уравнению

При равенство (3) выполняется — верное равенство), таким образом, — корень уравнения (3). Если (то есть тогда или ), то равенство (3) также выполняется. При и получаем верное равенство Таким образом, эти числа также являются корнями уравнения (3). При на ОДЗ уравнение (3) равносильно уравнению Тогда то есть — не удовлетворяет условию Следовательно, на последнем множестве уравнение (3) корней не имеет.

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).

Ответ:

Пример №5

Решите неравенство

Комментарий:

На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому попытаемся прологарифмировать обе его части. Поскольку в данное неравенство уже входит то удобно прологарифмировать по основанию . Но при логарифмировании по основанию больше 1 знак неравенства не меняется, а при логарифмировании по основанию меньше 1 — меняется. Необходимо рассмотреть два случая (в каждом из них получаем неравенство, равносильное данному на его ОДЗ).

Решение:

Прологарифмируем обе части неравенства.

1) При данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:

Учитывая ОДЗ и то, что получаем 2) При данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:

Ответ:

Показательно-степенные уравнения

Показательно-степенные уравнения:

Показательно-степенными уравнениями обычно называют уравнения, содержащие выражения вида то есть уравнения вида (основанием степеней, стоящих в левой и правой частях показательно степенного уравнения, является — выражение с переменной).

Основные способы решения уравнения вида

Используем (если возможно) основное логарифмическое тождество в виде

Ответ: 2

Логарифмируем (если возможно) обе части уравнения по числовому основанию или представляем все степени как степени с одним и тем же числовым основанием по формуле

На ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому после логарифмирования по основанию 10 получаем уравнение, равносильное данному:

Отсюда

Замена: Тогда или то есть (оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 10; 0,1.

— произвольное выражение

Две степени с одинаковыми основаниями могут быть равными в одном из четырех случаев:

1. и для корней этого уравнения — целые числа одинаковой четности.
2.   и для корней этого уравнения
3.   и для корней этого уравнения существуют.
4.   и для корней этого уравнения существуют

Пример:

Если предположить, что основание степени является числом, то сначала рассмотрим три особых случая (основание степени равно – а затем приравняем показатели степеней:

1. при получаем верное равенство
2. при — верное равенство;
3. при — верное равенство;
4. при — верное равенство.

Ответ:

Замечание. Если предположить, что основание является переменной, то функция считается определенной только при В этом случае данное уравнение имеет только корни 1 и 8, и получаем ответ: 1; 8. Таким образом, ответ к такому уравнению нельзя записать однозначно.

Объяснение и обоснование:

Показательно-степенными уравнениями и неравенствами обычно называют уравнения и неравенства, содержащие выражения вида (в которых переменная входит и в основание, и в показатель степени).

Анализируя показательно-степенные уравнения, представленные в таблице 57, следует помнить, что в школьном курсе математики понятие уравнения на разных этапах вводилось по-разному. А именно: в 4-5 классах уравнением называлось числовое равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называлось корнем или решением этого уравнения. Например, для уравнения корнем является значение

С точки зрения приведенного определения в уравнении буквой обозначено хотя и неизвестное нам, но конкретное число, поэтому может принимать единственное значение Но такое определение затрудняет в дальнейшем работу с уравнением. Когда принимает единственное значение, мы не можем применять, например, графическое решение уравнения (имея только одно значение невозможно получить график как прямую линию на плоскости). Поэтому, начиная с 6-7 классов, уравнение определяется как равенство с переменной (а корнем или решением уравнения соответственно называется такое значение переменной, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство). Тогда в уравнении — это переменная, для которой нет ни одного ограничения, и поэтому может быть любым числом (ОДЗ уравнения: При таком подходе каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной Таким образом, это уравнение можно решить графически, построить графики функций Кроме того, при таком подходе можно записать уравнение в общем виде как равенство и обоснованно применить свойства функций для решения уравнений.

Для всех видов уравнений, которые рассматривались в курсе алгебры или алгебры и начал анализа, приведенные два определения уравнения приводят к одному тому же результату при решении уравнений. Но в случае показательно-степенного уравнения иногда можно получить разные ответы, используя разные подходы к определению уравнения.

Например, решим уравнение

Если рассматривать такое уравнение как числовое равенство, то две степени с одинаковым основанием могут быть равными только в одном из четырех случаев. А именно: если основанием степени является одно из значений то степени могут быть равными даже тогда, когда их показатели будут разными (при условии, что эти степени существуют). Во всех остальных случаях степени с одинаковым основанием будут равными только тогда, когда показатели этих степеней будут равными Следовательно, для получения всех корней данного уравнения достаточно проверить значения равные-1, 0,1, 2. Все эти числа являются корнями, так как при подстановке каждого из них в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство. Если же рассматривать это уравнение как равенство с переменной и встать на функциональную точку зрения, то функция как правило, считается определенной только при и тогда данное уравнение имеет только два корня:1 и 2.

Таким образом, в рассмотренном уравнении ответ нельзя записать однозначно (поскольку каждый из указанных подходов к определению уравнения имеет право на существование и реально используется в математике). Поэтому в подобных ситуациях приходится приводить оба варианта ответа. Аналогичный пример приведен в таблице 57.

Обобщая приведенные выше рассуждения, заметим, что в том случае, когда при решении уравнения вида из условия не следует, что основание степени необходимо рассматреть три особых случая: основание равно-1, 0, 1 (понятно, что в этих случаях степени и могут быть равными даже тогда, когда показатели разные), а затем приравнять показатели Если же из условия следует, что то рассматриваем только один особый случай — основание степени равно — и приравниваем показатели степеней

Например, решим уравнение

Из условия не следует, что основание степени следовательно, приходится рассматривать все случаи. 2 2

1) Если и тогда

Подставляя это значение в данное уравнение, имеем то есть (неверное равенство). Таким образом, не является корнем данного уравнения.

2) Если то при этих значениях данное уравнение обращается в неверное числовое равенство (поскольку значения выражений не существуют). Таким образом, числа 1 и -1 не являются корнями данного уравнения.

3) Если данное уравнение обращается в верное равенство следовательно, —корни данного уравнения.

4) Приравняем показатели степеней данного уравнения (основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковые): тогда (при подстановке получаем верное равенство

Объединяя полученные результаты, получаем ответ.

Ответ:

Замечание. При для решения уравнения вида можно прологарифмировать обе его части по любому числовому основанию, получить равносильное уравнение, в котором уже не придется рассматривать особый случай — он будет учтен автоматически. Это связано с тем, что функция имеет особый случай, если (см. график функции на с. 338), а функция особых случаев не имеет.

Также отметим, что при решении неравенств вида обычно используют функциональный подход и считают, что

Заметим, что в тех случаях, когда в показательно-степенное уравнение входят выражения вида то для решения такого уравнения может использоваться основное логарифмическое тождество. В этом случае следует учитывать ОДЗ данного уравнения (см. пример 1 в табл. 57).

Достаточно часто для решения показательно-степенных уравнений используется логарифмирование обеих частей. Конечно, это можно сделать только тогда, когда на ОДЗ данного уравнения обе части уравнения положительны (см. пример 2 в табл. 57).

Приведем еще несколько примеров решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №6

Решите уравнение

Решение:

Поскольку не является корнем данного уравнения не существует), то при обе его части положительны . После логарифмирования (по основанию 10) обеих частей данного уравнения получаем равносильные ему уравнения:

Из первого полученного уравнения имеем (не является корнем), а из второго тогда То есть

Ответ:

Комментарий:

Поскольку то из особых случаев можно рассмотреть только один — основание равно то есть Чтобы не рассматривать случай, когда основание равно 1, достаточно при прологарифмировать обе части уравнения по числовому основанию (например, по основанию 10).

При обе части данного уравнения положительны, поэтому после логарифмирования получаем уравнение, равносильное данному. Поскольку все дальнейшие преобразования являются равносильными (при то все полученные решения (не равные 3) являются корнями данного уравнения.

Пример №7

Решите уравнение

Комментарий:

Прологарифмировать обе части данного уравнения не удается (в левой части стоит сумма), поэтому попытаемся все степени представить в виде степеней с одним и тем же числовым основанием. Учитывая, что в данном уравнении есть логарифм по основанию 2, представим все данные степени как степени с основанием 2 по формуле где Тогда

(то есть слагаемые, стоящие в левой части данного уравнения, одинаковы). После получения уравнения (2) (см. решение) можно использовать равенство (1) справа налево. Можно также записать правую часть уравнения (2) как степень числа 2 или прологарифмировать обе его части по основанию 2.

Решение:

► ОДЗ: х > 0. На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

(принадлежит ОДЗ).

Ответ: 2.

Комментарий:

Используем равносильные преобразования системы. Для этого учтем ОДЗ и проследим за тем, чтобы на этой ОДЗ все преобразования уравнений как в прямом, так и в обратном направлении сохраняли верные равенства.

В первом уравнении данной системы запишем все степени как степени с основанием 3 (см. выше комментарий к задаче 2). После равносильных (на ОДЗ) преобразований первого уравнения получаем систему (1) (см. решение), в которую переменные входят только в виде и поэтому удобно использовать замену переменных. После обратной замены применяем определение логарифма.

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ первое уравнение заданной системы равносильно уравнениям:

принадлежит ОДЗ.

Пример №8

Решите систему уравнений

Комментарий:

Используем равносильные преобразования системы. Для этого учтем ОДЗ и проследим за тем, чтобы на этой ОДЗ все преобразования уравнений как в прямом, так и в обратном направлении сохраняли верные равенства.

В первом уравнении данной системы запишем все степени как степени с основанием 3 (см. выше комментарий к задаче 2). После равносильных (на ОДЗ) преобразований первого уравнения получаем систему (1) (см. решение), в которую переменные входят только в виде поэтому удобно использовать замену переменных. После обратной замены применяем определение логарифма.

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ первое уравнение заданной системы равносильно уравнениям:

Тогда заданная система равносильна системе

Замена дает систему

Из второго уравнения последней системы тогда из первого уравнения Отсюда Тогда

Обратная замена дает

Тогда (найденные решения входят ОДЗ)

Ответ:

Пример №9

Решите неравенство

I способ

Комментарий:

Попытаемся выполнить равносильные преобразования данного неравенства, применив рассуждения, аналогичные тем, что приводились при решении показательно-степенных уравнений (см. пункт II табл. 57). Поскольку то из особых случаев необходимо рассмотреть только два: основание равно 0 (то есть и основание равно 1 (то есть При других значениях основание — положительное число, не равное 1. Рассмотрим два случая: 1) основание больше 1 (при переходе от степеней к показателям в данном неравенстве знак неравенства не меняется); 2) основание меньше 1, но больше 0 (при переходе от степеней к показателям в данном неравенстве знак неравенства меняется на противоположный). При таких преобразованиях получаем неравенства, равносильные данному (на его ОДЗ), поскольку можем гарантировать правильность не только прямых, но и обратных переходов.

При решении полученных простейших логарифмических неравенств учитываем, что функция является возрастающей.

В ответ следует включить все решения полученных систем неравенств и все особые значения, которые являются решениями данного неравенства.

Решение:

ОДЗ: При данное неравенство выполняется — верное неравенство), таким образом, — одно из решений этого неравенства.

Если (то есть тогда — эти значения входят в ОДЗ), то данное неравенство также выполняется. При получаем верное неравенство Таким образом, эти числа также являются решениями данного неравенства.

При на ОДЗ данное неравенство равносильно следующей совокупности систем: То есть

Тогда:

Таким образом, Учитывая особые значения, которые являются решениями, получаем:

Ответ:

II способ решения неравенства

Комментарий:

Решим данное неравенство методом интервалов, для этого приведем его к виду

Для нахождения нулей необходимо решить показательно-степенное уравнение (2). Поскольку то из особых случаев необходимо рассмотреть только два — основание равно 0 (то есть или основание равно 1 (то есть При других значениях из ОДЗ в уравнении (3) основание — положительное число, не равное 1. Тогда можно приравнять показатели степеней (получаем уравнение, равносильное данному).

Для нахождения знаков удобно использовать графики функции при и при

Решение:

1. ОДЗ то есть

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

2. Пусть Нули

На ОДЗ уравнение (2) равносильно уравнению

При равенство (3) выполняется — верное равенство), таким образом, — корень уравнения (3).

Если (то есть тогда то равенство (3) также выполняется. При получаем верное равенство Таким образом, эти числа также являются корнями уравнения (3). При на ОДЗ уравнение (3) равносильно уравнению Тогда то есть — не удовлетворяет условию Следовательно, на последнем множестве уравнение (3) корней не имеет.

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).

Ответ:

Пример №10

Решите неравенство

Комментарий:

На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому попытаемся прологарифмировать обе части неравенства. Поскольку в данное неравенство уже входит то удобно прологарифмировать по основанию Но при логарифмировании по основанию больше 1 знак неравенства не меняется, а при логарифмировании по основанию меньше 1 знак неравенства меняется. Приходится рассматривать два случая (в каждом из них получаем неравенство, равносильное данному на его ОДЗ).

Решение:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части неравенства.

1) При данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:

Таким образом,

To есть или

Учитывая ОДЗ получаем

2) При данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:

Таким образом,

То есть

Учитывая ОДЗ получаем

Ответ: 1)при 2) при