$begingroup$
I hope it’s valid to ask for “a more neat solution” of a problem on this network, despite the fact that I don’t have a strict definition of the word “neat”.
Here is the square and the right triangle inscribed in it.
I did the following:
$$AC = Ah + hB$$
$$4sintheta = 4costheta + 3sintheta$$
So
$$tantheta = 4$$
But
$$sintheta = frac{tantheta}{sqrt{1+tan^2theta}}$$
Therefore
$$AC = 4sintheta = frac{16}{sqrt {17}}$$
$$text{Area} = left(frac{16}{sqrt {17}}right)^2$$
asked Apr 22, 2016 at 12:06
$endgroup$
1
$begingroup$
Without using trigonometry:
enjoy…
By coloring triangles the same I am trying to emphasize the similar triangles, which are not necessarily equal (although red and blue triangles are). I don’t mean that the triangles with the same color has the same area, be careful.
answered Apr 22, 2016 at 17:25
newzadnewzad
4,73524 silver badges49 bronze badges
$endgroup$
3
$begingroup$
I think your way is good, but we don’t need to find $tantheta$.
From $4sintheta=4costheta+3sintheta$, we have
$$sintheta=4costheta$$
Squaring the both sides gives
$$sin^2theta=16(1-sin^2theta)$$
from which we can have
$$sin^2theta=frac{16}{17}quadRightarrowquad text{(area)}=16sin^2theta=frac{16^2}{17}$$
answered Apr 22, 2016 at 12:30
mathlovemathlove
130k9 gold badges113 silver badges281 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
Here it’s another way.
The triangles AhC and Bhf are similar. If you put $Bh=x$ and $Bf=y$ you get the relations
$$x+frac{4}{3}y=frac{4} {3} x$$
$$9=x^2+y^2$$
From which you can obtain the length of the side and then the area
answered Apr 22, 2016 at 12:44
karmalukarmalu
1,3206 silver badges11 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
Here is another way of doing it.
After discovering that $tan theta = 4$, all the line segments can then be expressed in terms of k with Ah = 1k as a start.
Find the value of $k^2$ from
$$16k^2 – triangle yellow – triangle green – triangle blue = triangle red = dfrac {3 times 4}{2}$$
Required area follows.
answered Apr 22, 2016 at 15:18
MickMick
16.8k4 gold badges28 silver badges55 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
I wanted to make this a comment but my reputation is not high enough. I believe your way is the best and it’s actually rather clever. Your formula has a typo (forgot to square the tangent in the denominator. $$sin(theta)=frac{tan(theta)}{sqrt{1+tan^2(theta)}}$$
This formula is easily derived by considering a right triangle with legs $tan(theta)$ and $1$ (and therefore hypotenuse $sqrt{1+tan^2(theta)}$. That will be true for all right triangles by the definition of tangent.
S.C.B.
22.7k3 gold badges35 silver badges59 bronze badges
answered Apr 22, 2016 at 12:25
G-CamG-Cam
2781 silver badge8 bronze badges
$endgroup$
1
$begingroup$
Denote: $AB=a, BF=x, BH=y$. Then:
$$begin{cases}a^2+(a-x)^2=25 (1)\
(a-y)^2+a^2=16 (2)\
x^2+y^2=9 (3)end{cases}$$
$(1)-(2)$:
$$(a-x)^2-(a-y)^2=x^2+y^2 Rightarrow 2a(y-x)=2y^2 Rightarrow a=frac{y^2}{y-x} (4)$$
$(4)to (2)$:
$$begin{align}left(frac{y^2}{y-x}-yright)^2+left(frac{y^2}{y-x}right)^2&=16 Rightarrow \
frac{y^2(x^2+y^2)}{(y-x)^2}&=16 stackrel{(3)}Rightarrow \
9y^2&=16(9-2xy) stackrel{(3)}Rightarrow \
144-9y^2&=32ysqrt{9-y^2} Rightarrow \
1104y^4-11808y^2+20736&=0 Rightarrow \
y_1&=frac{12}{sqrt{17}}; y_2=frac{12}{sqrt{65}} Rightarrow \
x_1&=frac3{sqrt{17}}; x_2=frac{21}{sqrt{65}}.end{align}$$
Hence, from $(4)$:
$$a=frac{y^2}{y-x}=frac{frac{144}{17}}{frac9{sqrt{17}}}=frac{16}{sqrt{17}}\
y-x<0 Rightarrow ain emptyset$$
Reference: WA answer.
answered May 9, 2019 at 19:31
farruhotafarruhota
31.1k2 gold badges18 silver badges51 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
Noting CAh and hBf are similar triangles in the linear ratio 4:3, redraw the original figure in a 4×4 square. The square of its hypotenuse Ch² is therefore 17 (see figure) – which is too large, it should be 4² or 16. Since the area of any similar figure is proportional to the square of any of its linear dimensions, simply scale the 4×4 square by 16/17 to find the area of the original figure: 16²/17
redrawn figure
answered Nov 26, 2019 at 9:05
$endgroup$
$begingroup$
let’s say $AC=x$ , $Ah=y$ and therefore $hB=x-y$. $hAC$ and $fBh$ are similar triangles so:
$frac{x}{4}=frac{x-y}{3} $
$y=frac{x}{4}$
$frac{x^2}{16}+x^2=16$
$x^2=frac{256}{17}$
Link to the solution
answered Sep 13, 2022 at 12:22
AnarAnar
19310 bronze badges
$endgroup$
1
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Интересная задача внутри. Помогите пожалуйста
Ученик
(81),
закрыт
10 лет назад
Дополнен 13 лет назад
В единичный квадрат вписан равносторонний треугольник так, что одна его
вершина совпадает с вершиной квадрата, а две другие расположены на сторонах
квадрата. Найти площадь этого треугольника.
Алексей Попов (Океан, Студент)
Высший разум
(527942)
13 лет назад
Пусть квадрат АВСД, где АВ=ВС=СД=АД =1
Вершины равностороннего тр-ка точки В, М, К. причём М на стороне АД квадрата и К на стороне СЛ
пусть ВМ =МК=ВК, тогда угол МВК =60 градусов
1) Угол АВМ =15 градусов ( 90 -60)/2 =15 градусов
2) Из тр-ка АВМ находим ВМ = АВ/cos15 = 1/ cos15
3) cos15 = cos (45-30) = cos45cos30 + sin45sin30 = (√6 +√2)/4
4) тогда ВМ = 4/ (√6 +√2) = (√6 -√2)
5) S(ВМК) = ВМ*ВК*sin60/2 = (√6 -√2)² √3/4 = √3( 2-√3)= 2√3 -3
«Треугольник, вписанный в квадрат с их одной общей вершиной, угол при которой равен 45°» — данная конструкция обязательно должна разбираться при подготовке к профильному ОГЭ или ЕГЭ.
В этой конструкции так много любопытных и потрясающих фактов, что считаю знакомство с «треугольником в квадрате» непременным шагом при совершенствовании своих навыков в планиметрии.
Задача 24 ОГЭ (услож. 262 вар. Ларина)
На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём ∠EAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что площадь △AEF в два раза большие площади △APQ.
https://alexlarin.net/gia/trvar262_1_oge.html
Указания к решению (дополнено 16.11.2020)
См. ранее опубликованные статьи статьи:
1. Удивительный треугольник в квадрате
2. Удивительный треугольник в квадрате
Поворот квадрата
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 02.12.2017 Сообщений: 49 |
|
|
1 |
|
Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в квадрат02.01.2018, 16:00. Показов 7756. Ответов 6
В квадрат вписан равносторонний треугольник таким образом, что одна вершина треугольника совпадает с одной из вершин квадрата. Найдите площадь треугольника, если известно, что сторона квадрата равна 10 см.
0 |
|
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
|
02.01.2018, 21:19 |
2 |
|
См.картинку. Миниатюры
0 |
|
3944 / 2858 / 665 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,668 Записей в блоге: 4 |
|
|
02.01.2018, 22:17 |
3 |
|
0 |
|
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
|
02.01.2018, 22:35 |
4 |
|
Так это больше 100?!
0 |
|
3944 / 2858 / 665 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,668 Записей в блоге: 4 |
|
|
02.01.2018, 22:40 |
5 |
|
Так это больше 100?! Я не дорешал. Я только вычислил
0 |
|
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
|
02.01.2018, 23:55 |
6 |
|
Тогда верно, а у меня нет
0 |
|
3968 / 2948 / 893 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,061 |
|
|
03.01.2018, 10:54 |
7 |
|
А вот без тригонометрии.
0 |
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika
[/spoiler]
