Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Нахождение высоты через вектора
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Как найти высоту пирамиды по векторам
Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 – x1; Y = y2 – y1; Z = z2 – z1
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:
Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:
- объем тетраэдра ABCD;
- высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.
A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)
Ответ
Проверено экспертом
Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .
Находим векторы АВ, АС и АД.
Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.
Определяем векторное произведение АВ х АС.
-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).
Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.
(АВ х АС) = (-5; -10; 0),
(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.
Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:
V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.
Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).
Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.
S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.
h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )
Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Нахождение высоты через вектора
Прежде чем задать вопрос, просмотрите список уже существующих. Возможно, что аналогичные проблемы уже решались. Воспользуйтесь поиском по дневнику или по списку @тем. Если по-прежнему не получилось решить, то:
0) Делаем информативный заголовок.
1) Пишем тематику задания.
2) Указываем: уровень сложности(школа-№класса/вуз), название работы(контрольная/домашняя), источник, крайний срок получения ответа (по московскому времени)
3) Выкладываем само задание или ссылку на него (рисунки ОБЯЗАТЕЛЬНО прячем под кат — вставляем рисунок, выделяем его и нажимаем кнопку MORE). Поскольку в сообществе ведется индексация и создается задачная база, то задание (кроме сопутствующих рисунков) обязательно приводить в текстовом формате. Это необходимо также во избежание исчезновения заданий при удалении картинок с хостинга. Используйте для набора формул формат Пользовательский скрипт для отображения формул (Подробный Help и Справочник по набору формул).
4 )Проставляем @темы.
5) ОБЯЗАТЕЛЬНО указываем свои попытки решения. Если не понятна только часть решения или есть идеи как решать, пишите о них. К геометрическим задачам желательно приложить чертежи, чтобы обсуждение не было голословным.
6) Не забывайте говорить волшебные слова «спасибо» и «пожалуйста»
7) Если вы выкладываете аналогичную просьбу на другом ресурсе, своевременно ставьте в известность о решении проблемы.
8) Категорически запрещено удалять выложенные задания или отдельные их позиции. Они могут пригодиться другим в качестве образца. Кроме того, в них вложен труд Решателей. Наказание — исключение из сообщества.
9) Просим помнить, что полные решения мы не даем, контрольные работы и типовые расчеты не решаем.
10)Не допускаются обращения к экспертам (Решателям) в приват (u-mail, ICQ, e-mail, Skype и проч.) с просьбами о помощи : вся помощь осуществляется исключительно на территории сообщества.
11) Категорически (вплоть до исключения из сообщества) запрещается выкладывать для решения задачи действующих олимпиад.
12) Запрещается использовать ненормативную лексику в текстах сообщений, подписях, никах и аватарах, оскорблять членов и гостей сообщества. Наказание — исключение из сообщества. Использование излишне откровенных аватаров (картинок) будет иметь аналогичные последствия.
13) Запрещается использование тегов, мешающих индексированию записей в поисковых системах. Наказание — исключение из сообщества.
14) Если решение задачи представлено в виде картинки или видео, то по просьбе решателя посетитель сообщества должен предоставить решение и в виде текста.
15) При оформлении информации о книжных новинках рекомендуется следовать советам, изложенным в этом топике.
Как найти высоту через вектора
И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.
Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости
I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»
Нужно найти не длину, а уравнение CH.
II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB
Нужно найти не длину, а уравнение CH. – Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.
Так? – Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.
[spoiler title=”источники:”]
https://b4.cooksy.ru/articles/nahozhdenie-vysoty-cherez-vektora
https://diary.ru/~eek/p183898406_uravnenie-vysoty-treugolnika-v-prostranstve.htm
[/spoiler]
Тема: Векторная алгебра. Нужно вычислить длину высоты в треугольнике (Прочитано 15645 раз)
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
Всем здрасте! Прошу помощи в решении этой задачи. Нужно вычислить длину высоты опущенной из вершины треугольника А на сторону ВС, если известны все его вершины:А(5;-6;3)В(1;-1;3)С(1;3;0)
Думаю, что есть какая-то формула. но не знаю какая точно.
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:02:37 от Asix »
1. составляйте уравнение стороны BC
2. используя уравнение расстояния от точки до прямой, найдете искомую высоту
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:02:44 от Asix »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
но там ведь только с х и у без z….не подскажете как с z будут выглядеть эти формулы?
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:03:15 от Asix »
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:03:27 от Asix »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
Для начала
1. Находите координаты вектора BC
2. Через точку (например B) и вектор BC строите прямую
( overrightarrow{BC} {l,m,n} )
( B(x_0,y_0) )
тогда уравнение прямой
( frac{x-x_0}{l}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{n} )
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:07:07 от Dlacier »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
а то, что l=0 не играет роль? ведь на 0 вроде как делить нельзя….
Вы какую-нибудь литературу читали??
Как выглядит каноническое уравнение прямой?
Что такое в уравнении ( l,m,n )?
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
у=kx+b? координаты направляющего вектора…
у=kx+b? координаты направляющего вектора…
Это уравнение прямой в декартовой система координат – 2D, а вам надо в 3D.
Dlacier Вам до этого писала каноническое уравнение прямой в 3D.
Если записали уравнение в каноническом виде, дальше нужно делать следующее:
записать уравнение прямой в параметрическом виде и вспомнить/впервые услышать, что
“В пространстве расстояние от точки ( (x_1,;y_1,;z_1) ) до прямой, заданной параметрическим уравнением:
( begin{cases}x=x_0+t l, \
y=y_0+tm, \
z=z_0+tn,
end{cases} )
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ( t ) этой точки может быть найден по формуле:
( t_{min}=dfrac{l(x_1-x_0)+m(y_1-y_0)+n(z_1-z_0)}{l^2+m^2+n^2}. )
“
Дальше все просто, подставляете найденное ( t ) в параметрическое уравнение прямой, т.о. получите координаты точки. А затем останется найти расстояние между двумя точками.
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин
Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:
- Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:
Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.
Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин
Составить уравнение высоты треугольника. Пример
Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:
На сторону АС опущена высота ВН.
Составить уравнение высоты ВН.
Пример на составление уравнения высоты треугольника
Шаг 1
Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.
Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:
Подставим в это уравнение координаты точек А и С:
Уравнение стороны АС имеет вид:
Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1
Шаг 2
Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.
Итак, угловой коэффициент АС равен:
Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:
Теперь можем записать уравнение высоты ВН:
Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:
Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:
Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
| A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) |
Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. источники: https://www.treugolniki.ru/uravnenie-vysoty-treugolnika/ https://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik |
Высота, проведенная к стороне АС, перпендикулярна к стороне АС по определению. Значит вектор высоты, обозначим его Х (х1,х2), должен быть перпендикулярным к вектору АС.
В качестве вектора высоты Х можно взять вектор
Х (с2-а2, -с1+а1). Чтобы проверить, что этот вектор перпендикулярен к вектору АС, надо посчитать скалярное произведение.
Получаем:
(с1-а1)*(с2-а2) + (с2-а2)*(-с1+а1) = 0
Раз скалярное произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны, что нам и нужно.
вектор a(2, -1, 1) вектор b (0, 4, 1)
задан 27 Янв ’14 18:40
Длины векторов легко находятся. Далее через скалярное произведение выражаем косинус угла. Зная косинус, находим синус. Через синус и длины выражаем площадь. Длина разности векторов — это противолежащая сторона. Поделив на неё удвоенную площадь, находим длину высоты.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.
Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости
I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»
Нужно найти не длину, а уравнение CH.
II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB
Нужно найти не длину, а уравнение CH. — Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.
Так? — Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.
Задачи и размышления
Области применения векторной алгебры весьма разнообразны. Мы коснемся некоторых из них, рассматривая отдельные прикладные задачи и вопросы, относящиеся к самой математике.
В геометрии, как известно, большое внимание уделяется решению задач о треугольниках. Рассмотрим эту проблему с позиции векторной алгебры.
Не представляет никакого труда доказательство теорем косинусов и синусов.
Действительно, если в произвольном треугольнике две стороны задаются векторами и , то квадрат длины третьей, определяемой модулем вектора , находится как скалярный квадрат разности :
Где С – угол между векторами и .
Обозначая модули этих векторов просто через a, b и c, получим привычную запись теоремы косинусов:
Формула для площади треугольника очевидна:
Аналогично,
Где B – угол между векторами и ;
Где А – угол между векторами и .
Сравнивая эти формулы для вычисления площади треугольника (они также выводятся в школьном курсе), получим теорему синусов:
Формула вычисления биссектрисы треугольника может быть получена следующим образом.
Пусть – биссектриса угла треугольника (рис. 3.37), образованного векторами и . Обозначим орты векторов и соответственно через и . Тогда
Построим параллелограмм CDEF на векторах и как на сторонах. Параллелограмм CDEF – ромб.
Получим:
(3.15)
Где – пока неизвестный скаляр.
С другой стороны, из треугольника СВК имеем:
(3.16)
Рис. 3.37. Нахождение биссектрисы треугольника.
Но и – коллинеарен . Поэтому
(3.17)
Где скаляр тоже пока неизвестен.
Подставляя выражение (3.17) в (3.16) и сравнивая с равенством (3.15), получим:
Или
Данное равенство следует рассматривать как уравнение относительно двух неизвестных и . Однако одного этого уравнения достаточно, чтобы найти оба неизвестных. Действительно, преобразуем его к виду
Но векторы и , как и векторы и линейно независимы, поэтому должны обратиться в нуль скалярные коэффициенты при них:
Всегда ли эта система совместна? Проиллюстрируйте геометрически условия ее несовместности.
Из полученной системы двух линейных алгебраических уравнений относительно L И M Находим
Тогда
Найдем длину вектора как положительное значение корня из его скалярного квадрата:
Или в привычных обозначениях:
Эту формулу можно получить значительно проще. Выведите ее, используя тот факт, что площадь данного треугольника равна сумме площадей треугольников, на которые биссектриса его разбивает.
Попутно мы можем получить еще один результат:
Отсюда
или ,
То есть получили иным путем известное свойство биссектрисы: Она Делит противолежащую сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Рис. 3.38. Вычисление медианы треугольника.
Найдем одну из медиан треугольника (рис. 3.38). Очевидно, что
Или, в привычной форме записи,
А вот искать высоту треугольника с помощью векторной алгебры не имеет особого смысла, так как высота и без того находится легко (рис. 3.39):
Рис. 3.39. Вычисление
высоты треугольника.
Рассмотрим прикладную задачу, при решении которой используется метод математического моделирования.
Вагон с контейнером удерживается в равновесии на наклонной плоскости при помощи перпендикулярного к ней рычага, имеющего шарнирную опору (рис. 3.40). Тросы, соединяющие рычаг с вагоном и контейнером, параллельны наклонной плоскости. Трос, связывающий верхний конец рычага с наклонной плоскостью, удерживает рычаг в заданном положении. Найти усилия в тросах и опорные реакции шарнира. В каком тросе и при каких условиях усилие будет наибольшим?
Рис. 3.40. Вагон с контейнером на наклонной плоскости.
Составим для данного технического объекта физическую схему исследования. Выдвинем гипотезы и сделаем соответствующие допущения.
1. Будем считать наклонную плоскость, вагон и контейнер сочлененной системой материальных тел, касающихся друг друга своими поверхностями.
2. Примем, что вагон и контейнер представляют собой блоки Б1 и Б2 соответственно, которые соприкасаются гладкими поверхностями и располагаются на гладкой наклонной плоскости (рис. 3.41).
3. Трением в тросах будем пренебрегать.
Чтобы составить физическую схему, необходимо:
· выделить твердое тело, равновесие которого мы изучаем;
· определить активные силы;
· рассмотреть равновесие несвободного тела как свободного, находящегося под действием активных сил и реакций связей;
· записать уравнения равновесия в соответствии с действующими силовыми факторами, что приведет нас к математическому описанию задачи.
В данной задаче мы будем изучать равновесие блоков Б1 и Б2, которые удерживаются в равновесии на наклонной плоскости натяжением троса, связывающего верхний конец рычага и наклонную плоскость. Тросы, связывающие рычаг с блоками, параллельны наклонной плоскости.
Рис. 3.41. Физическая расчетная схема системы двух блоков и рычага на наклонной плоскости.
Силовые факторы и геометрические характеристики исследуемой системы указаны на рис. 3.41.
и веса блоков Б1 и Б2 соответственно;
, И – усилия в соответствующих тросах;
W – угол наклона плоскости к горизонту;
A – угол, образуемый тросом, связывающим рычаг с наклонной плоскостью.
Примем, что ;;.
Обозначим для простоты:
;;;;;;.
При рассмотрении всей системы твердых тел реакции связей между этими телами не должны учитываться. Эти реакции не входят в уравнения равновесия, ибо являются внутренне взаимно уравновешивающими силами. Однако при рассмотрении равновесия каждого из тел по отдельности или группы тел, входящих в систему, соответствующие реакции связей, которые были мысленно расчленены, становятся внешними силами и должны входить в уравнение равновесия.
|
Рис. 3.42. Физическая расчетная схема блока Б1. |
Рис. 3.43. Физическая расчетная схема блока Б2. |
Рис. 3.44. Физическая расчетная схема рычага. |
Для исследования равновесия блоков рычага рассмотрим дополнительно три механические расчетные схемы (рис. 3.42-3.44), приняв следующие обозначения:
– реакция наклонной плоскости;
– реакция блока Б1;
и – составляющие реакции шарнира W в направлениях рычага и наклонной плоскости.
При математическом описании данных физических расчетных схем примем за основу утверждение о том, что для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил оси прямоугольной декартовой системы координат и сумма моментов относительно произвольно выбранной точки равнялась нулю.
Рассмотрим равновесие каждого блока в отдельности и равновесие рычага. Выберем систему координат Так, как это указано на рис. 3.41. В этом случае силы , , и будут параллельны соответствующим координатным осям, что облегчает нахождение их проекций на координатные оси.
Блок Б2 находится в равновесии под действием трех сил: веса , натяжения , реакции блока Б1, равной (рис. 3.43). Уравнения равновесия запишутся в виде:
где ;;. Отсюда получаем:
Блок Б1 находится в равновесии под действием четырех сил: веса , натяжения , реакции блока Б2, равной , и реакции наклонной плоскости (рис. 3.42). Уравнения равновесия запишутся в виде:
Где ;;.
Используя найденное значение , получим в результате решения системы:
Рассмотрим теперь равновесие рычага (рис. 3.44) под действием сил , и – и реакции шарнира , которую мы представили в виде ее проекций и . В систему уравнений равновесия включим два уравнения проекций сил на координатные оси и уравнение их моментов относительно точки :
,
Где ; ; , а .
Решая эту систему уравнений, находим:
,
,
.
Полученные результаты позволяют провести исследование усилий в тросах.
Найдите диапазон допустимых значений параметров, и исследуйте зависимость искомых величин последовательно от каждого из этих параметров. Составьте алгоритм решения этой задачи ЭВМ.
Следует подчеркнуть, что гипотезы, принятые в задаче, требуют обоснования. Это не всегда просто. Так, в частности, вагон представляет собой довольно сложную механическую систему, и когда встает проблема расчета элементов его конструкции, приходится учитывать огромное многообразие действующих силовых факторов. Не вдаваясь в детали, покажем лишь расчетную схему вагона с одинарным рессорным подвешиванием (рис. 3.45), приведенную в книге С. В. Вершинского, В. Н. Данилова, И. И. Челнокова «Динамика вагонов».
Рис. 3.45. Расчетная схема вагона с одинарным рессорным подвешиванием.
«Механическая система, состоящая из четырехосного вагона с жестким кузовом на рессорах одинарного центрального подвешивания и части верхнего строения пути, обладающей приведенной массой на упругом основании, при обычных связях (пятники, направляющие устройства) между ее элементами имеет 15 степеней свободы и в общем случае может иметь соответствующее количество видов колебаний: подпрыгивание, боковой относ, боковую качку, галопирование и влияние кузова (пять степеней свободы); подпрыгивание, боковую качку и галопирование тележек совместно с приведенной массой части верхнего строения пути (шесть степеней свободы); боковой относ и влияние тележек (четыре степени свободы)».
Пользуясь векторной алгеброй, можно доказать интересные свойства прямоугольных треугольников: если а и b – катеты, с – гипотенуза, A и B – произвольные константы, то
Действительно, рассмотрим векторы и .
Тогда
Или
Это свойство можно обобщить: если даны два прямоугольных треугольника (с катетами аi и bi и гипотенузой сi, i=1,2), то
Докажите это обобщение.
Вероятно, многие известные соотношения, имеющие место для других геометрических фигур, также можно обобщить или видоизменить, пользуясь аналогичными рассуждениями. Аппарат векторной алгебры применим к доказательству многих геометрических и алгебраических неравенств, исследованию геометрических мест точек, он является основой построения аналитической геометрии. Векторная алгебра находит неожиданные области применения в математическом анализе при изучении свойств функциональных зависимостей, систем уравнений. С отдельными вопросами из этого спектра проблем мы познакомимся в дальнейшем.
Красивые задачи, видимо, можно коллекционировать, как марки, и даже обмениваться ими. Приводимые ниже задачи, связанные с применением векторной алгебры, способны украсить любую коллекцию. Они взяты из книги З. А.Скопеца «Геометрические миниатюры».
1. Доказать, что для всякого треугольника АВС выполняется:
2. Доказать, что для всякого треугольника имеют место неравенства:
Где , , , R – радиус описанной вокруг треугольника окружности.
3. Вокруг окружности описан четырехугольник ABCD; противоположные стороны AB и CD, BC и AD лежат на прямых, пересекающихся в точках M и N. Доказать, что
4. Доказать, что для всякого треугольника АВС выполняются неравенства:
5. Доказать, что для любого четырехугольника со сторонами а1, а2, а3, а4 имеет место неравенство:
6. Даны треугольник АВС и точка М. Доказать, что , где , , , , , .
7. Доказать, что для каждого треугольника АВС выполняется неравенство , где R – радиус описанной окружности, а r – радиус вписанной окружности.
8. Доказать, что если угол С треугольника АВС тупой, то .
9. Даны четыре точки A, B, С, D. Доказать, что
10. Дана плоская уравновешенная система сил И (рис. 3.46.)
Рис. 3.46. Заданная плоская система сил.
Доказать, что .
11. Даны прямые, расположенные в пространстве так (рис. 3.47), что
Рис. 3.47. Взаимное расположение в пространстве
заданных прямых
Пользуясь векторной алгеброй, доказать, что
.
Найдите некоторые возможные области применения этой формулы на практике.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|