Векторы как найти расстояние между двумя точками

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 8

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

3 комментария

найти расстояние между точками с(-2;1;-2) д (-1;2;1) м (-1;0;2) н (1;-1;2) найти 3 вектора сд — 2 вектора мн

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А . Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А .

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О , необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату – 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О ) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = – x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

• x A , если x A > 0 ;

• – x A , если x A 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B : A B = x B – x A .

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B – y A , а, следовательно A B = A y B y = y B – y A .

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B – x A

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B – x A 2 + y B – y A 2 = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = 0 2 + ( y B – y A ) 2 = y B – y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = ( x B – x A ) 2 + 0 2 = x B – x A

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B – x A , A y B y = y B – y A , A z B z = z B – z A

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B – x A 2 + y B – y A 2 + z B – z A 2 = = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 + z B – z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + ( z B – z A ) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A ( 1 – 2 ) и B ( 11 + 2 ) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 – 2 = 2 – 1
2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 – ( 1 – 2 ) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 – 1 , A B = 10 + 2 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A ( 1 , – 1 ) и B ( λ + 1 , 3 ) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = ( x B – x A ) 2 + y B – y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = ( λ + 1 – 1 ) 2 + ( 3 – ( – 1 ) ) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A ( 1 , 2 , 3 ) и B – 7 , – 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + ( z B – z A ) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = ( – 7 – 1 ) 2 + ( – 2 – 2 ) 2 + ( 4 – 3 ) 2 = 81 = 9

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/rasstojanie-mezhdu-tochkami/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

[/spoiler]