Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Как найти высоту треугольника через векторы
И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.
Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости
I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»
Нужно найти не длину, а уравнение CH.
II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB
Нужно найти не длину, а уравнение CH. – Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.
Так? – Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.
Формулы для нахождения высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
[spoiler title=”источники:”]
http://diary.ru/~eek/p183898406_uravnenie-vysoty-treugolnika-v-prostranstve.htm
[/spoiler]
Высота, проведенная к стороне АС, перпендикулярна к стороне АС по определению. Значит вектор высоты, обозначим его Х (х1,х2), должен быть перпендикулярным к вектору АС.
В качестве вектора высоты Х можно взять вектор
Х (с2-а2, -с1+а1). Чтобы проверить, что этот вектор перпендикулярен к вектору АС, надо посчитать скалярное произведение.
Получаем:
(с1-а1)*(с2-а2) + (с2-а2)*(-с1+а1) = 0
Раз скалярное произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны, что нам и нужно.
вектор a(2, -1, 1) вектор b (0, 4, 1)
задан 27 Янв ’14 18:40
Длины векторов легко находятся. Далее через скалярное произведение выражаем косинус угла. Зная косинус, находим синус. Через синус и длины выражаем площадь. Длина разности векторов — это противолежащая сторона. Поделив на неё удвоенную площадь, находим длину высоты.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.
Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости
I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»
Нужно найти не длину, а уравнение CH.
II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB
Нужно найти не длину, а уравнение CH. — Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.
Так? — Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.
Тема: Векторная алгебра. Нужно вычислить длину высоты в треугольнике (Прочитано 15617 раз)
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
Всем здрасте! Прошу помощи в решении этой задачи. Нужно вычислить длину высоты опущенной из вершины треугольника А на сторону ВС, если известны все его вершины:А(5;-6;3)В(1;-1;3)С(1;3;0)
Думаю, что есть какая-то формула. но не знаю какая точно.
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:02:37 от Asix »
1. составляйте уравнение стороны BC
2. используя уравнение расстояния от точки до прямой, найдете искомую высоту
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:02:44 от Asix »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
но там ведь только с х и у без z….не подскажете как с z будут выглядеть эти формулы?
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:03:15 от Asix »
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:03:27 от Asix »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
Для начала
1. Находите координаты вектора BC
2. Через точку (например B) и вектор BC строите прямую
( overrightarrow{BC} {l,m,n} )
( B(x_0,y_0) )
тогда уравнение прямой
( frac{x-x_0}{l}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{n} )
« Последнее редактирование: 16 Января 2011, 21:07:07 от Dlacier »
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
а то, что l=0 не играет роль? ведь на 0 вроде как делить нельзя….
Вы какую-нибудь литературу читали??
Как выглядит каноническое уравнение прямой?
Что такое в уравнении ( l,m,n )?
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
у=kx+b? координаты направляющего вектора…
у=kx+b? координаты направляющего вектора…
Это уравнение прямой в декартовой система координат – 2D, а вам надо в 3D.
Dlacier Вам до этого писала каноническое уравнение прямой в 3D.
Если записали уравнение в каноническом виде, дальше нужно делать следующее:
записать уравнение прямой в параметрическом виде и вспомнить/впервые услышать, что
“В пространстве расстояние от точки ( (x_1,;y_1,;z_1) ) до прямой, заданной параметрическим уравнением:
( begin{cases}x=x_0+t l, \
y=y_0+tm, \
z=z_0+tn,
end{cases} )
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ( t ) этой точки может быть найден по формуле:
( t_{min}=dfrac{l(x_1-x_0)+m(y_1-y_0)+n(z_1-z_0)}{l^2+m^2+n^2}. )
“
Дальше все просто, подставляете найденное ( t ) в параметрическое уравнение прямой, т.о. получите координаты точки. А затем останется найти расстояние между двумя точками.
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.
Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек
Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Инструкция
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
- даны точки найти площадь треугольника
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
