Содержание:
- § 1 Теорема о площади треугольника
- § 2 Следствия теоремы о площади треугольника
§ 1 Теорема о площади треугольника
В этом уроке познакомимся с теоремой о площади треугольника, запишем формулы и рассмотрим решение задачи на вычисление площади треугольника.
Начертим треугольник АВС, из точки С проведем перпендикуляр СH к стороне АВ.
Сторону АВ будем называть основанием, а перпендикуляр СН – высотой треугольника.
Рассмотрим теорему о площади треугольника:
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Докажем это утверждение.
Дан треугольник АВС, АВ – основание, СН – высота.
Нужно доказать:
Доказательство:
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.
Треугольники АВС и DСВ равны по третьему признаку равенства треугольников (у них сторона ВС является общей, АВ = СD и АС = ВD как противоположные стороны параллелограмма), поэтому площади треугольников АВС и DСВ равны.
Следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВDС, а площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, значит, площадь S треугольника АВС равна 1/2 АВ*СН. Что и требовалось доказать.
У рассмотренной теоремы о площади треугольника есть два следствия.
§ 2 Следствия теоремы о площади треугольника
Одно касается площади прямоугольного треугольника, а второе – отношения площадей треугольников.
Следствие 1:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Таким образом, для вычисления площади прямоугольного треугольника применяют следующую формулу:
Следствие 2:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
В геометрии есть еще одно утверждение относительно отношения площадей треугольников – это следующая теорема:
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Решим задачу:
В треугольнике АВС угол С равен 45°, высота АD делит сторону СВ на отрезки СD = 8 см, DВ = 6 см.
Найдите площадь треугольника.
Для вычисления площади треугольника АВС необходимо знать длину высоты АD. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD.
Он равнобедренный, поскольку его углы САD и DСА при основании АС равны. Действительно, угол САD как и угол DСА, он же угол С, тоже равен 45°=180° – (угол АDС + угол С)=180° – (90°+45°).
Так как треугольник АСD равнобедренный, то АD = СD = 8 см.
Площадь S треугольника АВС равна ½ ВС*АD, а ВС = СD + DВ = 8 + 6 = 14 см.
Подставив найденные величины в формулу, получим: площадь треугольника равна 14*8/2=56 см2.
Иногда в геометрии встречаются задачи на вычисление площади треугольника, где даны все три его стороны.
При решении таких задач используют формулу Герона.
Герон Александрийский (I-II вв. н. э.) – древнегреческий инженер, физик, механик, математик, изобретатель.
При вычислении площади равностороннего треугольника используют формулу:
Итак, на этом уроке Вы познакомились с теоремой о площади треугольника и её следствиями, с утверждениями об отношении площадей треугольников, записали формулы нахождения площади треугольников и решили соответствующую задачу.
Список использованной литературы:
- Л.С. Атанасян. Учебник 8 класс.
- Н.Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии 8 класс. – Москва: «Вако», 2005.
- Л.С. Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва: «Просвещение», 2001.
- Д.А. Мальцева. Математика 9 класс. ГИА 2014. – Москва: Народное образование, 2013.
- О.В. Белицкая. Геометрия 8 класс. Тесты. – Саратов: «Лицей», 2009.
- С.П. Бабенко, И.С. Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва: «Аркти», 2014.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Геометрия. Урок 3. Треугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение треугольника
- Виды треугольников
- Отрезки в треугольнике
Определение треугольника
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .
Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .
Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .
Виды треугольников
Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.
Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .
Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.
Основные свойства треугольника:
- Против большей стороны лежит больший угол.
- Против равных сторон лежат равные углы.
- Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
- Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .
Отрезки в треугольнике
Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Свойства биссектрис треугольника:
- Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медиан треугольника:
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.
Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.
Площадь треугольника
Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:
-
Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Свойства равноберенного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.
Равносторонний треугольник
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4
Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .
Свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
- Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
- Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika
[/spoiler]
ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ ВИДЫ. Видеоурок | МАТЕМАТИКА 5 класс
КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс
ПЛОЩАДЬ. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА. Видеоурок | МАТЕМАТИКА 5 класс
В этом онлайн уроке рассказывается о том, как найти площадь треугольника ABC (прямоугольного, с тупым углом, остроугольного), формула. Начинается обучение с нахождения площади прямоугольного треугольника, т.е. треугольника, в котором один угол равен 90 градусов. Площадь в этом случае вычисляется по очень простой формуле. Она равна половина произведения длин катетов, т.е. двух сторон прилегающих к прямому углу. Справедливость данной формулы объясняется тем, что любой прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, добавив точно такой же треугольник. А площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину, которые являются катетами составляющих его прямоугольных треугольников. Затем в видео уроке объясняется то, как найти площадь треугольника ABC с тупым и с острым углом. Площадь любого треугольника равна половине его основания умноженное на высоту. Эта формула легко доказывается, основываясь на формулу нахождения площади прямоугольного треугольника Видео урок «Как найти площадь треугольника ABC (прямоугольного, с тупым углом, остроугольного), формула» вы можете смотреть онлайн в любое удобное время совершенно бесплатно. Успехов!
- Длительность: 11:02
- Рейтинг: 3.9/21
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.
