Видеоурок как найти корни уравнения

Видеоурок как найти корни уравнения

Содержание:

  • § 1  Что такое уравнение?
  • § 2  Что такое корень уравнения?
  • § 3  Написание и чтение уравнений

§ 1  Что такое уравнение?

В этом уроке Вы познакомитесь с такими понятиями, как уравнение и корень уравнения. Кроме того, узнаете, что значит решить уравнение и каким образом находить неизвестные переменные в нем.

Давайте рассмотрим задачу про грибы:

В корзине лежало несколько грибов. После того, как в нее положили еще 7 грибов, их стало 35. Сколько грибов было в корзине?

Решение:

Обозначим неизвестное число грибов, лежащих в корзине латинской буквой х, после того как в нее добавили еще 7 грибов, стало х + 7 грибов в корзине, то есть 35. Значит должно выполняться равенство х + 7 = 35. Теперь надо найти такое значение х, при котором выполняется данное равенство. По смыслу вычитания, таким значением будет разность чисел 35 минус 7, то есть 28. Или же х = 28. Значит, в корзине было 28 грибов.

Если в равенство входит буква, или правильно говорить переменная, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы, т.е. переменной и неверным при других ее значениях. Например, х + 11 = 24. Это равенство будет верным при х = 13, и неверным при х = 1 или х = 2 и так далее. Так вот, уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Или же уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

§ 2  Что такое корень уравнения?

Значение буквы, или значение переменной при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Вернемся к последнему примеру.

Равенство х + 11 = 24 можно назвать уравнением, так как оно содержит переменную х, значение которой надо найти. Корнем данного уравнения является число 13, так при этом значении уравнение превращается в верное числовое равенство: 13 + 11 = 24.

Что же значит решить уравнение? Это значит, что надо найти все его корни или убедиться, что корней нет, то есть уравнение не имеет ни одного корня.

Например, решите уравнение: х + 22 = 56.

Решение: по смыслу вычитания, неизвестное слагаемое равно разности суммы и известного слагаемого, поэтому х = 56 – 22, то есть х = 34. Число 34 является корнем уравнения х + 22 = 56, так как 34 + 22 = 56. Обратите внимание, как находить корень в таких уравнениях: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Следующий пример, решите уравнение 21 – х = 19.

Решение: по смыслу вычитания, число 21 является суммой х и 19, то есть х + 19 = 21. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое х = 21 – 19, получим х = 2. Число 2 является корнем уравнения 21 – х = 19, так как равенство 21 – 2 = 19 является верным. 

Обратите внимание, чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Рассуждая аналогичным образом, можно сформулировать еще одно правило, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность. Например, решите уравнение: у – 12 = 36. Для нахождения неизвестного уменьшаемого у, необходимо к разности 36 прибавить вычитаемое 12, получится 48. Ответ: корень уравнения у = 48. Действительно, если из 48 вычесть 12, получится 36.

§ 3  Написание и чтение уравнений

Кстати, уравнение принято оформлять в столбик, найденное значение переменной подчеркивать горизонтальной линией, а ниже производить проверку уравнения, подставив полученный корень в исходное равенство.

При чтении уравнений и буквенных выражений помните, что названия латинских букв – переменных Х, Y, Z – мужского рода, а названия остальных латинских букв – среднего рода, например, «х=5», или «y=2» или же «а=7».

Названия букв в математике не склоняются. Например, данное выражение (х + 11 = 30) читается так: сумма х и одиннадцати равна тридцати.

Другой пример, данное уравнение (р – 15 = 47) можно прочитать как разность P и пятнадцати равна сорока семи.

Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с такими понятиями, как уравнение и корень уравнения, а также узнали, что решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет. Кроме того, научились находить неизвестные переменные в уравнении.

Список использованной литературы:

  1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. – М: 2013.
  2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор – Попов М.А. – 2013 год
  3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор – Минаева С.С. – 2014 год
  4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. – 2010 год
  5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы – Попов М.А. – 2012 год
  6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009
Источник

Видеоурок по математике «Уравнение»

В математике принято и очень удобно обозначать неизвестное число буквой, затем составлять равенство и решать это равенство. Иначе говоря, составлять и решать уравнение. В этом уроке мы введём такие понятия, как «уравнение», «корень уравнения», «решение уравнения». Рассмотрим полезные правила для решения некоторых уравнений. А также научимся составлять и решать уравнения. Так что же называют уравнением? И что значит решить уравнение? В этом нам помогут разобраться два друга — Саша и Паша.

Саше по математике задали разгадать ребус, решение которого поможет узнать будущую тему урока. Но беда в том, что Саша совсем не умеет разгадывать ребусы. Его лучший друг Паша вызвался помочь.

Разгадав ребус, мальчишки понимают, что будущая тема урока — «Уравнение». И теперь Саше становится интересно узнать, что же должны уравнивать уравнения. На этот вопрос ребятам поможет найти ответ умный робот Электроша.

Умный робот Электроша с радостью расскажет, что называют уравнением. При этом он не забудет показать, как составляют и решают уравнения, да ещё и познакомит ребят с таким важным понятием, как «корень уравнения».

Чтобы мальчишки ещё лучше научились решать уравнения, Электроша познакомит их с полезными правилами решения некоторых уравнений.

А затем Электроша предложит ребятам выполнить несколько заданий на закрепление новых знаний.

Источник

Видеоурок найти корень уравнения

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | Видеоурок

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | Видеоурок

Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравнения

Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравнения

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Источник
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = – c,
  • разделим обе части на a: x 2 = – c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

    • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

    • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

    • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    где D1 = n 2 – ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 – ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    #115 Урок 1. Квадратные уравнения. Дискриминант. Алгебра 8 класс.

    Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Уравнения с дробями. Как избавиться от всех знаменателей сразу. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

    #116 Урок 2. Неполные квадратные уравнения. Решение через дискриминант. Алгебра 8 класс.Математика.

    Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Какое квадратное уравнение называется неполным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Как решать неполное квадратное уравнение через дискриминант. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением.

    #117 Урок 3. Квадратные уравнения. Текстовые задачи. Алгебра 8 класс.

    Решение текстовых задач составлением квадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

    • Пример 1: Найдите три последовательных целых числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.
    • Пример 2: Найдите четыре последовательных четных числа, если утроенное произведение второго и третьего чисел на 344 больше произведения первого и четвертого.
    • Пример 3: Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 23 дм, а диагональ 37 дм.
    • Пример 4: Сколько сторон имеет многоугольник, если в нем можно провести 77 диагоналей.

    Задачи с объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

    #118 Урок 4 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.

    Квадратные уравнения. Параметры. Алгебра 8 класс. Что такое параметр? Понятие параметра в математике. Определение параметра: Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Пример: 10х2 +4х+b=0; х – переменная; b – параметр; В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Примеры с решением и объяснением.

    • Пример 1: При каком значении а, число 1/3 является корнем уравнения.
    • Пример 2: При каком значении b имеет единственный корень уравнение? Условие единственности корня. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.
    #119 Урок 5. Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.

    Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Квадратные уравнения. Примеры с решением и объяснением.

    • Пример 1: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 фиксированное число.
    • Пример 2: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 записано с использованием параметра.
    #120 Урок 6. Квадратные уравнения с модулем. Алгебра 8 класс. Решить уравнение. Модуль. Математика.

    Решение квадратных уравнений с модулем. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

    • Пример 1: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль по определению.
    • Пример 2: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль, используя свойства модуля.

    Квадратные уравнения с модулем 8 класс; квадратное уравнение под модулем; квадратные уравнения с модулем примеры; решение квадратных уравнений с модулем 8 класс; квадратные уравнения с модулем примеры решения; решение квадратных уравнений содержащих модуль; как раскрыть модуль квадратного уравнения. Как решать квадратное уравнение с модулем. Как раскрыть модуль, используя его определение. Определение модуля. Свойства модуля. Решить квадратное уравнение. Решить через дискриминант. Сделать проверку. Посторонние корни. Как убрать посторонние корни. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.

    #121 Урок 7. Решение квадратных уравнений с использованием свойств функций. Алгебра 8 класс.

    Квадратные уравнения. Использование свойств функций для решения квадратных уравнений. Оценка левой и правой частей уравнения. Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Примеры с решением.

    • Пример 1: Решить иррациональное уравнение, приводящееся к квадратному, используя свойства функций.
    • Пример 2: Решить уравнение, преобразовав условие по формулам сокращенного умножения и оценив левую и правую части уравнения.
    • Пример 3: Решить уравнение с корнем и модулем.

    #122 Урок 8. Решение квадратных уравнений с учетом ОДЗ. Область определения. Алгебра 8 класс.

    Область определения функции, 4 случая: многочлен, дробь, квадратный корень и квадратные корень в знаменателе. ОДЗ дроби. ОДЗ корня. ОДЗ уравнения. Область определения квадратного корня. Область определения квадратного дроби. Область определения квадратного корня в знаменателе. Что такое область определения. Область определения теория. Область определения, табличка. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Решить квадратное уравнение с учетом ОДЗ. ОДЗ квадратного уравнения; как найти одз в квадратном уравнении; одз корня квадратного уравнения; 2 квадратных уравнения; решение квадратных уравнений; произведение квадратных уравнений; 3 квадратных уравнения. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.

    #62 Урок 9. Решение квадратных и кубических уравнений разложением на множители.

    Как решить квадратное или кубическое уравнение, разложив его на множители?

    1. Разложить на множители (вынести общий множитель за скобки, посмотреть формулы, посмотреть способ группировки).
    2. Приравнять каждый множитель к нулю.
    3. Решить полученные уравнения.

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, разность кубов, квадрат разности.Примеры с решением. Решение кубических уравнений. Уравнение четвертой степени. Как решить уравнение?

    • Пример 1: Решить кубическое уравнение разложением на множители.
    • Пример 2: Решить кубическое уравнение, используя формулы сокращенного умножения.
    • Пример 3: Решить кубическое уравнение, используя способ группировки.
    • Пример 4: Решить уравнение 4-й степени разложением на множители.

    Урок по теме “Решение дробных рациональных уравнений”. 8-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 8

    Цели урока:

    • формирование понятия дробных рационального уравнения;
    • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
    • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
    • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
    • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
    • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
    • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение;
    • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
    • развитие критического мышления;
    • развитие навыков исследовательской работы.
    • воспитание познавательного интереса к предмету;
    • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
    • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

    Тип урока: урок – объяснение нового материала.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

    Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

    2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

    А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

    1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
    2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа – в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
    3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
    4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
    5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
    6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

    3. Объяснение нового материала.

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

    х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

    х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

    Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

    [spoiler title=”источники:”]

    http://math.xfresh.info/index.php/8-klass/algebra-8-klass/38-kvadratnye-uravneniya

    http://urok.1sept.ru/articles/559882

    [/spoiler]

    Источник

    Уравнения — это вид равенств, содержащих в себе одно или несколько неизвестных чисел, которые необходимо найти.

    Эти неизвестные числа, как правило, заменяют прописными латинскими буквами: x, y, z и т.д.

    Таким образом, уравнение, это равенство с переменной, значение которой не задан, а его нужно найти. В свою очередь равенство с переменной — это уравнение с одной или несколькими неизвестными. Например: x + 3 = 6 * x + 7.

    Корень уравнения — это то число, которое может принимать переменная и при этом оставлять данное выражение математически верным. Для лучшего усвоения материала покажем наглядно: 2х = 6, где х = 3. Это и будет являться корнем уравнения.

    Если говорить о том, что предполагает под собой решение уравнения, то это поиск всех возможных корней или доказательство того, что их нет.

    Теперь перейдем к основным свойствам, которыми можно пользоваться при решении рассматриваемого математического выражения:

    1. Если уравнение содержит в себе скобки или же подобные слагаемые, то их можно преобразовать и тем самым упростить запись;
    2. Члены уравнения при необходимости можно перемещать из левой стороны в правую и наоборот. Но важно помнить, что в этом случае знак перед переносимым элементом меняется на противоположный;
    3. С целью упрощения выражения обе его части можно делить и умножать на одно и то же число. При этом у нас получится пример, равный исходному. Исключением в этом случае будет 0.

    Линейное уравнение — это уравнение, обладающее следующей буквенной формой: ax + b = 0, где a и b — действительные числа.

    Здесь же отметим, что выражения, которые с помощью различных математических свойств сводятся к виду ax = b, имеют название уравнений, сводящихся к линейным. Под различными математическими свойствами подразумевается приведение подобных слагаемых, умножение и деление обеих сторон примера на одно и то же число, перенос чисел из одной стороны в другую и прочее.

    В зависимости от того, какое значение свойственно a и b, можно узнать сколько корней в линейном уравнении:

    • a не равняется 0, b обладает любым значением, в таком случае ax = b будет иметь всего один корень, который можно найти с помощью формулы x = b / a.  Для наглядности опять же приведем пример: 3x = 3, тогда x = 3 / 3, x = 1;
    • a = 0, b не равняется 0, тогда ax = b не имеет решений и, следовательно, корней тоже. Так посмотрим на выражение 0 * x = 5. Здесь нет таких значений, при которых умножение на 0 могло бы дать значение 5;
    • a = 0, b = 0, в этом случае ax = b имеет неограниченное количество корней. Это понятно из выражения: 0 * x = 0. Любое число при умножении на 0 дает 0.

    Алгоритм решения линейных уравнений

    Чтобы не запутаться при вычислении корней, необходимо все делать согласно плану:

    1. Раскрываем все скобки, которые присутствуют в решаемом нами выражении;
    2. Затем мы делим все члены на две части: с неизвестными и все остальные. Первая группа должна находится в левой стороне уравнений, а вторая в правой;
    3. Далее мы сокращаем, складываем и производим всевозможные действия с подобными членами;
    4. Если есть возможность избавиться от лишних коэффициентах при неизвестных, то делаем это путем деления или умножения всего уравнения на одно и то же число. 

    При делении или умножении обеих частей уравнения на одно и то же число мы получаем эквивалентное выражение, т.е. уравнение, для решения которого понадобятся те же корни, что и для исходного. Например: x + 1 = 4, значит x = 3; x — 1 = 2, тогда x = 3. Таким образом два этих примера равносильны.

    Примечательно, что не имеющие корней выражения также можно назвать равносильными.

    Поделиться статьей в соцсетях

    Источник

    Добавить комментарий