Высота конуса как найти через основание

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус – фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось – это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

V = 1/3 × S × h.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

h = 3 × V × 1/S.

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр – это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r². Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r² × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число “пи”, радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R² + Rr + r²), где: r -радиус нижнего основания, R – верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Зная площадь основания конуса, можно рассчитать радиус, диаметр и периметр основания конуса, преобразовав стандартные формулы.
r=√(S_(осн.)/π)
d=2√(S_(осн.)/π)
P=2πr=2√(πS_(осн.) )

Высота, образующая и радиус конуса соединяются в прямоугольный треугольник, из которого по теореме Пифагора можно найти любое значение, зная остальные два. Угол наклона конуса можно найти из этого же треугольника через отношение тангенса, а уже через него во втором, равнобедренном треугольнике вычислить угол раствора конуса. (рис.40.1,40.2)
l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+S_(осн.)/π)
tan⁡β=h/r
α=180°-2β

Вычислить площадь боковой поверхности конуса через площадь основания и высоту можно, заменив радиус и образующую конуса в формуле на соответствующие выражения. Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, следует поступить аналогично.
S_(б.п.)=πrl=√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) )
S_(п.п.)=S_(осн.)+√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) )

Объем конуса в стандартном виде представляет собой отношение произведения высоты и площади основания к трем, поэтому его можно вычислить сразу через площадь основания и высоту, заданные в условии.
V=1/3 hS_(осн.)

Чтобы найти радиус сферы, вписанной в конус, нужно умножить высоту на выражение, найденное для радиуса, и разделить это на сумму образующей и радиуса. Радиус сферы, описанной около конуса, будет равен образующей во второй степени, деленной на удвоенную высоту. (рис. 40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=(h√(S_(осн.)/π))/(√(h^2+S_(осн.)/π)+√(S_(осн.)/π))
R=(h^2+r^2)/2h=(h^2+S_(осн.)/π)/2h

Длина отрезка линии опушенной перпендикулярно плоскости основания из вершины конуса является его высотой. Найти не сложно. Для этого нужно знать величину конуса. Если конус велик и внутри его полость, то достаточно опустить из вершины нитку с грузом до основания и измерить длину нитки. Если конус мал и умещается в руках, то достаточно измерить боковую сторону и ширину основания. Половина основания – это один катет. Боковая сторона гипотенуза. А высотой окажется другой катет воображаемого прямоугольного треугольника. К сожалению тут нарисовать не где. Далее, зная значения катета и гипотенузы по теореме Пифагора находим другой катет – высоту конуса. Если конус не симметричный и вершина сдвинута относительно середины, то для расчетов нужно знать угол между плоскостью основания и боковой стороной в месте их измерения. Далее геометрия… Формулы есть в любом справочнике. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 5 лет назад  Высота конуса Это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на основание. Чтобы найти высоту конуса можно воспользоваться несколькими способами. 1) Если известно, чему равен объём конуса, то высоту можно вычислить по формуле: V = 1/3 Sосн * h -> h = 3V / Sосн. При этом для нахождения площади основания (площади круга) нам нужно знать радиус. 2) Образующая конуса, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Поэтому если известна образующая (гипотенуза) и радиус (катет), то высоту можно выразить с помощью теоремы Пифагора. a² = c² – b², a = √(c² – b²). a – высота, b – радиус, c – образующая. Например: Радиус основания = 15 см, длина образующей – 17 см. Высота конуса будет равна √(17² – 15²) = √64 = 8 см. -Irink­a- [281K] 4 года назад  Для того, чтобы найти высоту конуса, необходимо иметь для решения какие-то вводные. Допустим, что мы знаем длина образующей конуса, она равна 10 см. и диаметр его основания равный 12 см. Находим радиус конуса R=D/2= 6 см. Вот наш конус, чертим нужные нам линии. Используем теорему Пифагора, получаем h²=a²-R², где а – длина образующей конуса (10 см), h искомая высота. h² = 100 – 36 = 64 h = √64 = 8 сантиметров Alexg­roovy [14.6K] 5 лет назад  Для поиска высоты конуса нужны входные данные. В качестве таких данных выступает радиус (или диаметр основания) и длина образующей конуса. На рисунке длина образующей обозначена буквой l, а диаметр основания как d. Например, по условию задачи l = 100, d = 56. Решение задачи будет следующим: 88Sky­Walke­r88 [428K] 5 лет назад  Начертим конус, проведем его высоту и основание: Нам известна величина l – это образующая. Она равна 16. Угол между основанием и образующий будет равняться 30 градусам. У нас получился прямоугольный треугольник, в котором образующая (l) – это гипотенуза, а высота (h), которую нам необходимо найти, это катет. Так как нам известен угол, мы можем найти его синус. sin 30° = ½ Известно, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, можно составить такую формулу: sin 30° = h/l = ½ Из этой формулы мы выводим h, высоту конуса. Получается формула и решение: h = sin 30°*l = ½ * 16 = 8. Чосик [208K] более года назад  Зависит от данных, которые мы получили изначально. Для того, чтобы узнать высоту, необходимо знать радиус и апофему. В таком случае мы получим прямоугольный треугольник, где высота и радиус играют роль катетов, а апофема – гипотенузы. Если же мы знает площадь основания и объем конуса, то высота равна h = 3V/S. владс­андро­вич [766K] более года назад  Высоту конуса можно найти разными формулами, тут все зависит от того, что вам известно. В частности если известны площадь его основания и объем самого конуса, то тогда все просто, так как данные значения надо подставить под формулу h = 3V/S и просто посчитать. JuliG­or [3.2K] 9 лет назад  Если известны объем и площадь конуса, то высоту легко найти, так как объем конуса равен одной трети площади основания умноженная на высоту конуса. Также высоту конуса можно найти по теореме Пифагора, но это по-моему гораздо сложнее) morel­juba [62.5K] 5 лет назад  Высоту конуса мы можем выразить из формулы, по которой мы определяем объём конуса: Так вот высота конуса из данной формулы будет равна: Высота конуса = 3 * объём конуса / пи * радиус основания в квадрате. Знаете ответ?

Как найти высоту конуса. Теория и формулы

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус – фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось – это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр – это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r 2 . Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r 2 × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число “пи”, радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R 2 + Rr + r 2 ), где: r -радиус нижнего основания, R – верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Радиус и высота конуса

Свойства

Через радиус конуса можно найти все параметры конуса, связанные с основанием, а значение высоты позволяет вычислить площади, объемы и все остальные объемные параметры конуса. Так, диаметр конуса равен удвоенному радиусу, периметр окружности в основании вычисляется по стандартной формуле через радиус, равно как и площадь основания. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса, связывает эти три значения теоремой Пифагора, по которой можно вычислить неизвестную образующую, а также угол между образующей и основанием. Тем временем, угол α рассчитывается из равнобедренного треугольника, сформированного двумя образующими и диаметром из того принципа, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.40.1, 40.2) l=√(h^2+r^2 ) tan⁡β=h/r α=180°-2β

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, необходимо умножить радиус и апофему на число π. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади его основания и площади боковой поверхности. В обеих формулах вместо апофемы нужно подставить квадратный корень через высоту и радиус, полученный по теореме Пифагора. S_(б.п.)=πrl=πr√(h^2+r^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)=πr(√(h^2+r^2 )+r)

Чтобы найти объем конуса, достаточно знать значения радиуса и высоты, тогда формула объема выглядит как произведение числа π на квадрат радиуса и высоту, деленное на три. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, зависит не только от радиуса основания конуса и его высоты, но и от образующей, поэтому чтобы вычислить радиус вписанной сферы конуса через радиус конуса и высоту, нужно вместо образующей подставить полученное для нее выше выражение. Радиус описанной сферы может быть представлен сразу формулой только с переменными радиуса и высоты. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=rh/(√(h^2+r^2 )+r) R=(h^2+r^2)/2h

Как найти высоту конуса если известен объем

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус – фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось – это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр – это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r 2 . Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r 2 × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число “пи”, радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R 2 + Rr + r 2 ), где: r -радиус нижнего основания, R – верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Конус — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной

точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением

всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае

называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание).

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем конуса, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого

отрезка), называется высотой конуса.

• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине

конуса, внутри конуса).

• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и

ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то

конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется

осью конуса.

• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не

совпадает с его центром симметрии.

• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением

прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось

• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно

эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный

• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся

между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Объем конуса вычисляется по формуле:

где R — радиус основания конуса,

Усеченный конус.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело

ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

h – высота конуса

r – радиус верхнего основания

R – радиус нижнего основания

или по формуле объема усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового):

S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Конус — это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра — высоту (h) и радиус основания (r).

Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.

Нахождение объема конуса, формула объема конуса

Подставив значения в формулу, можно легко найти объем:

[spoiler title=”источники:”]

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cone/radius_and_height

http://4systems.ru/inf/kak-najti-vysotu-konusa-esli-izvesten-obem/

[/spoiler]

Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.

Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.

Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.

Радиус конуса – это радиус его основания.

Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.

Формула образующей конуса

Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:

L = √H² + R²

Формула площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:

S_{бок.пов} = πRL

Формула площади основания конуса

Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:

S_осн = πR²

Формула площади конуса

Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:

S = S_{бок.пов} + S_осн = πRL + πR²

Формула объема конуса

Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:

V = 1/3 ⋅ S_осн ⋅ H = 1/3πR²H