Кубическое уравнение – уравнение вида [{large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},]
где (ane 0, b, c, d) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень (x_1).
Значит, всегда выполнено: (ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)), где (m, n) – некоторые числа.
({color{red}{I.}}) Кубические уравнения вида [x^3=a]
для любого числа (a) имеют единственный корень
[x=sqrt[3]a]
Пример.
Решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]{-8}=-2).
({color{red}{II.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.
Пример.
Решить уравнение (5x^3-x^2-20x+4=0).
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: [(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 quad Leftrightarrow quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 quad
Leftrightarrow quad (x^2-4)(5x-1)=0]
Тогда корнями данного уравнения являются (x_1=-2, x_2=2,
x_3=frac15).
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
[begin{aligned}
&(xpm y)^3=x^3pm3x^2y+3xy^2pm y^3\
&x^3pm y^3=(xpm y)(x^2mp xy+y^2) end{aligned}]
({color{red}{III.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.
Для этого можно использовать следующие утверждения:
(blacktriangleright) Если сумма (a+b+c+d=0), то корнем уравнения является число (1).
(blacktriangleright) Если (b+d=a+c), то корнем уравнения является число (-1).
(blacktriangleright) Пусть (a,b,c,d) – ({color{blue}{text{целые}}}) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень (large{dfrac{p}{q}}), то для него будет выполнено:
(d) делится нацело на (p); (a) делится нацело на (q).
Пример.
1. У уравнения (7x^3+3x^2-x-9=0) сумма коэффициентов равна (7+3-1-9=0), значит, (x=1) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.
2. У уравнения (4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0) выполнено: (4,5-0,5=-3+7), значит, (x=-1) является корнем этого уравнения.
3. У уравнения (2x^3+5x^2+3x-3=0) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена (-3) : (pm 1, pm 3); делители старшего коэффициента (2): (pm1, pm2). Значит, возможные комбинации рациональных корней: [pm 1, pmdfrac12, pm 3, pm dfrac32]
Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что (x=frac12) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):
[2cdot left(frac12right)^3+5cdot left(frac12right)^2+3cdot
frac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]
Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение (frac12x^3+frac16x+2=0) после умножения на (6) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: (3x^3+x+12=0).
Рада приветствовать всех на своем канале!
Сегодня поговорим о важной теме – кубических уравнениях и способах их решений. В школах им несправедливо уделяется куда меньшее внимание по сравнению с другими типами уравнений (конечно же, я намекаю на линейные и квадратные ;)). Однако на экзаменах и олимпиадах без навыка решения кубических уравнений обойтись практически невозможно.
На ОГЭ, например, уравнения данного типа периодически встречаются в самом первом номере второй части. На ЕГЭ умение раскладывать кубический многочлен на множители может понадобиться в номерах 13, 15 или 18. Про олимпиады и говорить нечего: навык решения уравнений третьей степени просто необходим всем, кто хочет быть в призерах!
Ну что, начнём???
Кубическое уравнение имеет общий вид:
Рассмотрим 3 возможных способа его решения.
1-й способ – группировка
В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.
Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.
Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,
так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.
Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.
Более универсальный 2-й способ
- Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_1. Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.
- Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x_1),
где x_1 – корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь). - В ответ записываем корень x_1 и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.
Пример:
подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y_1=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−1 и получаем квадратичную функцию
Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня. В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:
Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!
А как быть, если первый корень не находится подбором?
В этом случае помочь может только одно…
3-й способ – формула Кардано
Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус… Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение 🙂
Если не испугались, то делюсь полезной ссылкой, по которой Вы сможете подробно ознакомиться с формулой Кардано, её выводом и примерами использования.
Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя – никаких калькуляторов и прочих чудес техники…
В заключении статьи хочу предложить Вам проверить свои силы и закрепить пройденный материл. Для этого я приготовила три кубических уравнения. Попробуйте решить их разными способами 😉 Ответы жду в комментариях!
До скорых встреч!
P.s. На канале есть и другие публикации, которые могут быть Вам интересны:
Простые советы для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Разбираем самое “опасное” уравнение из первой части ЕГЭ по математике.
Лиге чемпионов посвящается. Подборка задач из ЕГЭ по математике с футбольным сюжетом.
Всё ли Вы знаете о ЕГЭ по математике?
ЕГЭ по математике 2020. Как это было. Подводим итоги.
Топ-5 отличий потенциального СТОбалльника ЕГЭ от обычного школьника
ЕГЭ 2021. Что год грядущий нам готовит.
Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:
Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.
*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.
Мы знаем, что:
Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):
Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?
1. Это кубы чисел кратных десяти:
Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.
2. Это свойство чисел при произведении.
Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?
Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.
13 = 1, 113 = 1331, 213 = 9261, 313 = 26791, 413 = 68921 …
То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.
При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.
Покажем соответствие в табличке для всех чисел:
Знания представленных двух моментов вполне достаточно.
Рассмотрим примеры:
Извлечь кубический корень из 21952.
Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.
Извлечь кубический корень из 54852.
Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.
Извлечь кубический корень из 571787.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.
Извлечь кубический корень из 614125.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.
Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.
Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.
После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉
На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.
Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.
-
1
Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.[1]
- Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
- Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
- Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.
-
2
-
3
Найдите первую цифру ответа. Выберите куб целого числа, который ближе всего, но меньше первой группы из трех цифр.[2]
-
4
Найдите следующую цифру ответа. К первому остатку припишите вторую группу из трех цифр, а слева от полученного числа проведите вертикальную черту. С помощью полученного числа вы найдете вторую цифру ответа. В нашем примере к первому остатку (2) нужно приписать вторую группу из трех цифр (000), чтобы получить число 2000.[3]
- Слева от вертикальной линии вы напишите три числа, сумма которых равна некоему первому множителю. Оставьте пустые пространства для этих чисел, а между ними поставьте знаки «плюс».
-
5
Найдите первое слагаемое (из трех). В первом пустом пространстве запишите результат умножения числа 300 на квадрат первой цифры ответа (она записана над знаком корня). В нашем примере первой цифрой ответа является 2, поэтому 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Напишите 1200 в первом пустом пространстве. Первым слагаемым является число 1200 (плюс еще два числа, которые нужно найти).[4]
-
6
Найдите вторую цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 1200, чтобы результат был близок, но не превышал 2000. Таким числом может быть только 1, так как 2*1200 = 2400, что больше 2000. Напишите 1 (вторая цифра ответа) после 2 и десятичной запятой над знаком корня.[5]
-
7
Найдите второе и третье слагаемые (из трех). Множитель состоит из трех чисел (слагаемых), первое из которых вы уже нашли (1200). Теперь нужно найти оставшиеся два слагаемых.[6]
- Умножьте 3 на 10 и на каждую цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: 3*10*2*1 = 60. Прибавьте этот результат к 1200 и получите 1260.
- Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 1, поэтому 1^2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.
-
8
Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).
-
9
Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.[7]
- Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
- Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.
-
10
Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.[8]
-
11
Умножьте последнюю цифру ответа на второй множитель. После того как вы нашли второй множитель и третью цифру ответа, действуйте следующим образом:
- Умножьте последнюю цифру ответа на найденный множитель: 135475*5 = 677375.
- Вычтите: 739000-677375 = 61625.
- Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Для этого возведите его в куб: .
-
12
Запишите ответ. Результат, записанный над знаком корня, является ответом с точностью до двух цифр после запятой. В нашем примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте ответ, возведя его в куб: 2,15^3 = 9,94, что приблизительно равно 10. Если вам нужна большая точность, продолжите вычисления (как описано выше).
Реклама
-
1
Используйте кубы чисел, чтобы определить верхний и нижний пределы. Если нужно извлечь кубический корень практически из любого числа, найдите кубы (некоторых чисел), которые близки к данному числу.
-
2
Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.
- В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
-
3
Оцените полученное число, возведя его в куб. Сделайте это, чтобы проверить, что куб близок, но не больше исходного числа.
- В нашем примере:
- В нашем примере:
-
4
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.
-
5
Оцените следующее число, чтобы повысить точность ответа. К каждому числу, которое вы оценили последним, приписывайте цифру от 0 до 9 до тех пор, пока не получите точный ответ. В каждом оценочном раунде нужно найти верхний и нижний пределы, между которыми находится исходное число.
-
6
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.
-
7
Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее. Обратите внимание, что каждая дополнительная цифра после десятичной запятой повышает точность ответа.
- В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.
Реклама
- В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что
-
1
-
2
-
3
Уясните алгоритм деления в столбик. Обратите внимание, что описанный здесь метод извлечения кубического корня очень напоминает деление в столбик. При делении в столбик нужно найти число (частное), при умножении которого на делитель получится делимое. В описанном методе в качестве частного выступает результат извлечения кубического корня (он записывается над знаком корня). То есть результат извлечения кубического корня можно представить как бином (10A + B). Точные значения А и В на данном этапе не важны: просто запомните, что результат можно записать в виде двучлена.[12]
-
4
Посмотрите на биноминальный ряд. Он представляет собой сумму четырех одночленов, благодаря которым можно понять принцип действия алгоритма извлечения кубического корня. Обратите внимание, что множитель каждого этапа извлечения корня равен сумме четырех слагаемых, которые нужно вычислить и сложить.[13]
- Множителем первого члена является число 1000. Чтобы вычислить первую цифру ответа, сначала вы находите куб целого числа, который ближе всего, но меньше некоторого числа (а именно первой группы из трех цифр). Это определяет член 1000A^3 биноминального ряда.
- Множителем второго члена биноминального ряда является число 300 ( = 300). Напомним, что на каждом этапе извлечения кубического корня соответствующая цифра(ы) ответа умножалась на 300.
- Второе слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется третьим членом биномиального ряда, который равен 30AB^2.
- Третье слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется четвертым членом биномиального ряда, который равен B^3.
-
5
Обратите внимание на увеличение точности ответа. Чем больше этапов извлечения корня вы пройдете, тем точнее будет ответ. Например, в этой статье нужно было извлечь кубический корень из 10. На первом этапе ответ равен 2, так как
= 8, что близко, но меньше 10. На втором этапе ответ равен 2,1, потому что , что гораздо ближе к 10. На третьем этапе ответ равен 2,15, так как . Можно продолжить вычисления, используя группы из трех цифр, чтобы повысить точность ответа.[14]
Реклама
Советы
- Практикуйтесь, чтобы освоить описанные методы. Чем больше практики, тем быстрее вы справитесь с вычислениями.
Реклама
Предупреждения
- В процессе вычисления довольно легко сделать ошибку. Поэтому обязательно проверьте ответ.
Реклама
Что вам понадобится
- Ручка или карандаш
- Лист бумаги
- Линейка
- Ластик
Об этой статье
Эту страницу просматривали 141 807 раз.
Была ли эта статья полезной?
Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.
Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0
Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что
x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0
Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен – x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.
Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.
Решение
Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
2×3-3=0x3-32=0
Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0
Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.
Ответ: x=3326.
Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0
Вид квадратного уравнения – Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что
Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A
Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.
Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.
Решение
Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что
5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0
Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:
5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910
Ответ:
x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1
Решение кубических уравнений с рациональными корнями
Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.
Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.
Решение
Упростим выражение.
3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0
Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что
D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.
Ответ: х=0.
Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:
Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2
Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.
Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
Решение
Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что
2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0
Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:
±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36
Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида
13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0
Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.
Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:
| xi | Коэффициенты многочлена | |||
|---|---|---|---|---|
| 2 | -11 | 12 | 9 | |
| -0.5 | 2 | -11+2·(-0.5)=-12 | 12-12·(-0.5)=18 | 9+18·(-0.5)=0 |
Имеем, что
2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9
После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.
Ответ: x1=-12, x2,3=3.
Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.
Решение кубических уравнений по формуле Кардано
Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.
После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.
Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273
Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.
Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
Решение
Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.
Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.
Отсюда следует, что
p=-B123+B2=–11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327–112·63+92=343108
Производим подстановку в формулу Кордано и получим
y=-q2+q24+p3273+-q2–q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163
-3432163 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.
-3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2
Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32
Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76
Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32
Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.
Тогда получим пары: 7612+i·32 и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.
Преобразуем при помощи формулы Кордано:
y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76
Значит,
x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3
Ответ: x1=-12, x2,3=3
При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
