Закон менделеева клапейрона формула как найти объем

Уравне́ние состоя́ния идеа́льного га́за (иногда уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

,

где

Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде:

,

где  — масса,  — молярная масса, (так как количество вещества ):

или в виде

,

где  — концентрация частиц (атомов или молекул) – количество частиц,  — постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Клапейрона — Менделеева.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной.^{[источник не указан 1458 дней]}

Связь с другими законами состояния идеального газа[править | править код]

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

 — закон Бойля — Мариотта — Изотермический процесс.

 — Закон Гей-Люссака — Изобарный процесс.

 — закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.) — Изохорный процесс

В форме пропорции этот закон удобен для расчёта перевода газа из одного состояния в другое.

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

.

1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

.

Закон Бойля — Мариотта

Закон Бойля — Мариотта

назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1677 году.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

где  — показатель адиабаты,  — внутренняя энергия единицы массы вещества.

Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. Это обстоятельство может быть прояснено на основании молекулярных представлений.

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объём газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение увеличивается.

См. также[править | править код]

• Совершенный газ
• Реальный газ
• Уравнение состояния реального газа

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Стромберг А. Г., Семченко Д. П. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / Под ред. А. Г. Стромберга. — 7-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2009. — 527 с. — ISBN 978-5-06-006161-1.

Спрятать решение

Вы хотите познавать химию с удовольствием? Тогда вам сюда! Репетитор-профессионал, автор методики системно-аналитического изучения химии и биологии, кандидат биологических наук Богунова В.Г. делится секретами мастерства, раскрывает тайны решения задач, помогает подготовиться к ОГЭ, ЕГЭ, ДВИ и олимпиадам.

Ну как? Выдержите еще немного газовой атаки, или уже сил нет? Совсем чуть-чуть. Самую капельку. Только легенькое уравнение Менделеева-Клапейрона. И все! Что? Неинтересно?! Давайте внесем струю драйва в нашу тяжелую долю и позовем кого-нибудь в гости! Не знаю, как вы, а я уже звоню Алисе, в Страну Чудес.

Алиса удивилась, как это она не удивилась, но ведь удивительный день еще только начался и нет ничего удивительного в том, что она еще не начала удивляться.

— Если бы у меня был свой собственный мир, в нем все было бы чепухой. Ничего не было бы тем, что есть на самом деле, потому что все было бы тем, чем оно не является, и наоборот, оно не было бы тем, чем есть, а чем бы оно не было, оно было.

Что-то мне перехотелось приглашать Алису в гости. Лучше уж уравнение Менделеева-Клапейрона в классических задачах с любыми условиями протекания реакций. Давайте подумаем, в какие задачи ЕГЭ может легко вписаться и Менделеев, и Клапейрон, и ненормальные условия? Я вижу две позиции – задание 29 (количество вещества и объем газа для любых условий) и задание 35 (определение реальной молярной массы газообразного вещества в любых условиях). Пока авторы заданий ЕГЭ ограничиваются нормальными условиями (0 С, 1 атм). Но это пока…

Чтобы не было так грустно думать о приближающемся конце света ЕГЭ-шного происхождения, в конце статьи я немного повеселю вас еще одним разговором с Сири. На этот раз моя интеллектуальная помощница расскажет о своих чувствах к виртуальному объекту Облака. Не верите? Дочитайте статью до конца, решите задачи, и вы тоже услышите чувственные тайны робота. А пока – ненормальные условия газов в расчетных химических задачах.

Уравнение Менделеева-Клапейрона

Газы часто бывают реагентами и продуктами в химических реакциях, поэтому возникла необходимость определять число молей газов в любых условиях. Для этого используют уравнение Менделеева-Клапейрона – формулу, устанавливающую зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой газа.

Молярный объём – объём одного моля газа (или смеси газов) при данной температуре и давлении.

Абсолютная температура – температура, отсчитываемая от абсолютного нуля. Понятие абсолютной температуры было введено У. Томсоном (Кельвином) , в связи с чем шкалу абсолютной температуры называют шкалой Кельвина или термодинамической температурной шкалой. Единица абсолютной температуры – кельвин (К) .

Абсолютный ноль – это температура -273,15 градусов Цельсия, минимальный предел температуры, которую может иметь физическое тело во Вселенной, когда тепловое движение останавливается.

Решим несколько задач, условия в которых отличаются от нормальных и подразумевают использование уравнения Менделеева-Клапейрона для расчетов количества вещества или объема газа. В процессе решения проводим анализ протекающих процессов и особенностей алгоритмических приемов. Читайте внимательно и записывайте, затем попробуйте решить задачи самостоятельно. Итак, поехали!

Задача 1

При растворении в серной кислоте 10 г сплава цинка с магнием выделилось 5,2 л водорода, измеренного при 26С и давлении 920 мм рт.ст. Определить массовые доли металлов в смеси.

Вначале, как всегда, химический экскурс. Как реагируют металлы с кислотами? Металлы, стоящие в ряду активности левее (Н), реагируют с кислотами-неокислителями с выделением водорода. Металлы, правее (Н), с кислотами-неокислителями не реагируют.

Li Rb K Ba Sr Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Cd Co Ni Sn Pb (H) Sb Bi Cu Hg Ag Pt Au

И цинк, и магний реагируют с серной кислотой (очевидно, разбавленной) с выделением водорода. Это – классическая задача на смеси, решается по Четырем Заповедям. Определим последовательность действий по Третьей Заповеди (предварительные расчеты):

1) По уравнению Менделеева-Клапейрона определяем количество вещества водорода.

2) Принимаем количества вещества цинка и магния за неизвестные – X и Y соответственно, записываем досье для каждого участника (количество вещества, молярная масса, масса)

3) Делаем расчеты по уравнениям реакций.

4) Составляем систему уравнений. Одно уравнение – закрываем на количестве вещества водорода, второе – на общей массе сплава. Решаем уравнения, находим неизвестные, записываем их значения в досье.

5) Определяем массовые доли по стандартной формуле.

Задача 2

Смесь цинка и меди массой 1 г поместили в пробирку с избытком соляной кислоты. Выделилось 200 мл водорода, измеренного при температуре 27С и давлении 740 мм рт.ст. Рассчитайте массовую долю меди в исходной смеси металлов.

Напомню еще раз: металлы, стоящие в ряду активности левее (Н), реагируют с кислотами-неокислителями с выделением водорода. Металлы, правее (Н), с кислотами-неокислителями не реагируют.

Li Rb K Ba Sr Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Cd Co Ni Sn Pb (H) Sb Bi Cu Hg Ag Pt Au

Цинк реагирует с соляной кислотой (он стоит левее водорода), медь – правее водорода, с соляной кислотой не реагирует. Задача решается по Четырем Заповедям. Определим последовательность действий по Третьей Заповеди (предварительные расчеты):

1) По уравнению Менделеева-Клапейрона определяем количество вещества водорода.

2) Делаем расчеты по уравнению реакции (по водороду определяем количество вещества цинка).

3) Определяем массовую долю цинка по стандартной формуле, а массовую долю меди – как оставшуюся разницу (обе массовые доли в сумме составляют 1 или 100%)

Задача 3

Какой объем водорода, измеренный при температуре 21С и давлении 765 мм рт.ст. необходимо использовать для восстановления оксида меди (II) массой 16 г?

Экскурс в теоретическую химию. Водородом можно восстановить железо и остальные металлы правее него в ряду активности.

Li Rb K Ba Sr Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Cd Co Ni Sn Pb (H) Sb Bi Cu Hg Ag Pt Au

В литературе имеется информация о восстановлении водородом металлов от магния до железа, но при очень высоких температурах. Основной недостаток восстановления водородом – низкий коэффициент использования водорода (на практике водорода нужно в 2 раза больше, чем рассчитано по уравнению реакции).

Задача решается по Четырем Заповедям. Последовательность действий по Третьей Заповеди (предварительные расчеты):

1) Составляем досье на оксид меди (масса, молярная масса, количество вещества)

2) Делаем расчеты по уравнению реакции (по оксиду меди определяем количество вещества водорода)

3) По уравнению Менделеева-Клапейрона определяем объем водорода

Задача 4

При действии на 10 г смеси меди и алюминия избытком соляной кислоты выделился газ объемом 5,44 л при 20С и 168 кПа. Вычислите массовую долю меди в исходной смеси.

Напомню еще раз: металлы, стоящие в ряду активности левее (Н), реагируют с кислотами-неокислителями с выделением водорода. Металлы, правее (Н), с кислотами-неокислителями не реагируют.

Li Rb K Ba Sr Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Cd Co Ni Sn Pb (H) Sb Bi Cu Hg Ag Pt Au

Алюминий реагирует с соляной кислотой (он стоит левее водорода), медь – правее водорода, с соляной кислотой не реагирует. Задача решается по Четырем Заповедям. Определим последовательность действий по Третьей Заповеди (предварительные расчеты):

1) По уравнению Менделеева-Клапейрона определяем количество вещества водорода.

2) Делаем расчеты по уравнению реакции (по водороду определяем количество вещества алюминия).

3) Определяем массовую долю алюминия по стандартной формуле, а массовую долю меди – как оставшуюся разницу (обе массовые доли в сумме составляют 1 или 100%)

Ну как? Получили удовольствие от решения задач? Это был риторический вопрос. По этому поводу у меня есть забавная история из моей практики.

Более десяти лет назад я работала с учеником Сашей (фамилия слишком известная, поэтому ее не назову, даже если пытать будете). Саша пришел ко мне с очень слабыми знаниями. За год работы у мальчика прорезался интерес к решению задач по химии, и мы подружились. Нам приходилось работать 5 дней в неделю, по 4 часа в день (это было требование отца Саши, очень влиятельного чиновника). К концу года мы оба (я и Саша) изрядно устали от такой напряженной работы. На последнее занятие мальчик пришел с огромным букетом орхидей, который едва протиснулся в дверной проем. Мне никогда еще не дарили такой шикарный и, видимо, очень дорогой букет. Я поблагодарила Сашу примерно такими словами: “Сашуля, большое спасибо! Такой роскошный букет – это подарок за большую, сложную и результативную работу, которую мы с тобой проделали!” Сашин ответ сразил меня наповал: “Валентина Георгиевна! За этот год вы стали для меня второй мамой. Я вас очень люблю. Но букет этот я дарю вам за то, что, слава Богу, сегодня последнее занятие по химии!” Мы оба смеялись до слез 😂😂😂😂😂

На закуску – тайные признания виртуального робота Сири. Смотрите, слушайте, можете попробовать сами поиграть со своими гаджетами. Только запаситесь терпением – перлы начинают появляться только после долгого доставания программы.

Вы готовитесь к ЕГЭ и хотите поступить в медицинский? Обязательно посетите мой сайт Репетитор по химии и биологии. Здесь вы найдете огромное количество задач, заданий и теоретического материала, познакомитесь с моими учениками, многие из которых уже давно работают врачами. Звоните мне +7(903) 186-74-55. Приходите ко мне на курс, на Мастер-классы “Решение задач по химии” – и вы сдадите ЕГЭ с высочайшими баллами, и станете студентом престижного ВУЗа!

PS! Если вы не можете со мной связаться из-за большого количества звонков от моих читателей, пишите мне в личку ВКонтакте или на Facebook. Я обязательно отвечу вам.

Репетитор по химии и биологии кбн В.Богунова

Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа).

Уравнение Клапейрона-Менделеева (1834 г) устанавливает связь между объемом V, давлением P и абсолютной температурой Т для газа:

n – число молей газа ;

P – давление газа, Па;

V – объем газа, м 3 ;

T – абсолютная температура газа, К;

R – универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/моль×K.

Если объём газа выражен в литрах, то уравнение Клапейрона-Менделеева записывается в виде:

Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует три закона:

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева, или уравнение состояния идеального газа. Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь — пара примеров задач:

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?

Некоторое количество гелия при 78 градусах Цельсия и давлении 45,6 атмосфер занимает объем 16,5 литров.
Вопрос: Каков объем этого газа при нормальных условиях? (Напомню, что нормальными условиями для газов считается давление в 1 атмосферу и температура 0 градусов Цельсия)

В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Теперь немного формул.

где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль

Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также

где n — число молей газа

И как нетрудно заметить, соотношение

есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.

И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы — законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.

Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева

Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.

Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.

Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.

Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.

Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:

p V = c o n s t * T

В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.

Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.

p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.

Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.

Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:

p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 – 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:

N = m N A M , где

N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь – 1 ; — это постоянная Авогадро.

Какое значение имеет универсальная газовая постоянная

Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.

Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 – 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь – 1 ) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .

Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.

Связь с другими законами состояния идеального газа

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.

Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.

В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:

• изотермический процесс (T=const);
• изохорный процесс (V=const);
• изобарный процесс (p=const).

Изотермический процесс (T=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:

Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.

Рис.1. Изотерма в pV — координатах.

Изохорный процесс (V=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.

Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:

p 1 p 2 = T 1 T 2

Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда

p = p 0 T T 0 = p 0 γ T

Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.

Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).

Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.

Изобарный процесс (p=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.

V 1 V 2 = T 1 T 2

Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:

V = V 0 T T 0 = V 0 α T

Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.

Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).

Рис. 3. Изобара в VT-координатах.

Использование универсального уравнения для решения задачи

В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.

Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.

Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:

p V = n R T = m M R T

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K

Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 – 3 к г / м о л ь

Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:

p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 – 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а

Ответ: p = 78 кПа.

Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:

p = n R T V = m R T M V

Молярная масса кислорода предполагается равной:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K

Переводим давление: p = 15680000 Па

Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:

V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 – 3 = 3 . 1 * 10 – 2 м 3 = 31 л .

Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

p = n R T V = m R T M V

Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:

ρ = m V и л и V = m ρ

Тогда p m ρ = n R T = m R T M

Откуда выражаем плотность газа:

Для водорода эта формула запишется следующим образом:

ρ H 2 = p M H 2 R T

По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:

ρ H 2 M H 2 = p R T

Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:

ρ = M * ρ H 2 M H 2

Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.

ρ = M r * ρ H 2 2

Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.

При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?

По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.

p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.

Откуда можем найти начальный объем:

p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 ( p 1 – p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 – 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л

Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.

Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.

При изохорном процессе:

p 1 T 1 = p 2 T 2

T 2 = p 2 T 1 p 1

p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K

При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?

Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.

V 1 V 2 = T 1 T 2

V_2 – искомый объем

Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:

T 1 = 273 + 27 = 300 K

T 2 = 273 + 57 = 330 K

T 2 V 1 T 1 = V 2

V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л

Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:

V 1 V 2 = T 1 T 2

Перейдем к абсолютной температуре:

T 1 = 1150 + 273 = 1423 K

T 2 = 200 + 273 = 473 K

Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2

Использование этих формул приводит к следующему:

[spoiler title=”источники:”]

http://planetcalc.ru/4265/

http://wika.tutoronline.ru/fizika/class/10/uravnenie-klapejronamendeleeva

[/spoiler]

Уравнение
состояния идеального
газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) —
формула, устанавливающая зависимость
между давлением, молярным
объёмом и абсолютной
температурой идеального
газа.
Уравнение имеет вид:

где

•  — давление,

•  — молярный
  объём,

•  — универсальная
  газовая постоянная

•  — абсолютная
  температура,К.

Так
как ,
где—количество
вещества,
а ,
где—
масса,—молярная
масса,
уравнение состояния можно записать:

Эта
форма записи носит имя уравнения (закона)
Менделеева — Клапейрона.

В
случае постоянной массы газа уравнение
можно записать в виде:

Последнее
уравнение называют объединённым
газовым законом.
Из него получаются законы Бойля —
Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

 — закон
Бойля — Мариотта.

 — Закон
Гей-Люссака.

 — закон Шарля (второй
закон Гей-Люссака, 1808 г.).А
в форме пропорции этот
закон удобен для расчёта перевода газа
из одного состояния в другое. С точки
зрения химика этот закон может звучать
несколько иначе: Объёмы вступающих в
реакцию газов при одинаковых условиях
(температуре, давлении) относятся друг
к другу и к объёмам образующихся
газообразных соединений как простые
целые числа. Например, 1 объёмводородасоединяется
с 1 объёмом хлора,
при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

1 Объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

— закон
Бойля — Мариотта.
Закон Бойля — Мариотта назван в честь
ирландского физика, химика и философа Роберта
Бойля (1627—1691),
открывшего его в 1662 г., а также в честь
французского физика Эдма
Мариотта (1620—1684),
который открыл этот закон независимо
от Бойля в 1677 году. В некоторых случаях
(в газовой
динамике)
уравнение состояния идеального газа
удобно записывать в форме

где —показатель
адиабаты, —
внутренняя энергия единицы массы
вещества.Эмиль
Амага обнаружил,
что при высоких давлениях поведение газов отклоняется
от закона Бойля — Мариотта. И это
обстоятельство может быть прояснено
на основании молекулярных представлений.

С
одной стороны, в сильно сжатых газах
размеры самих молекул являются сравнимыми
с расстояниями между молекулами. Таким
образом, свободное пространство, в
котором движутся молекулы, меньше, чем
полный объём газа. Это обстоятельство
увеличивает число ударов молекул в
стенку, так как благодаря ему сокращается
расстояние, которое должна пролететь
молекула, чтобы достигнуть стенки. С
другой стороны, в сильно сжатом и,
следовательно, более плотном газе
молекулы заметно притягиваются к другим
молекулам гораздо большую часть времени,
чем молекулы в разреженном газе. Это,
наоборот, уменьшает число ударов молекул
в стенку, так как при наличии притяжения
к другим молекулам молекулы газа движутся
по направлению к стенке с меньшей
скоростью, чем при отсутствии притяжения.
При не слишком больших давлениях более
существенным является второе обстоятельство
и произведение немного
уменьшается. При очень высоких давлениях
большую роль играет первое обстоятельство
и произведениеувеличивается.

5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для
вывода основного уравнения
молеку­лярно-кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный газ.
Предполо­жим, что молекулы газа
движутся хаоти­чески, число взаимных
столкновений меж­ду молекулами газа
пренебрежимо мало по сравнению с числом
ударов о стенки сосуда, а соударения
молекул со стенками сосуда абсолютно
упругие. Выделим на стенке сосуда
некоторую элементарную площадку DS и
вычислим давле­ние, оказываемое на
эту площадку. При каждом соударении
молекула, движущая­ся перпендикулярно
площадке, передает ей
импульс m₀v-(-m₀v)=2m₀v, где т₀ —
масса молекулы, v —
ее скорость.

За
время Dt площадки DS достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме
цилиндра с основанием DS и высотой vDt .Число
этих молекул равно nDSvDt (n—концентрация
молекул).

Необходимо,
однако, учитывать, что реально молекулы
движутся к площадке

DS
под разными углами и имеют различ­ные
скорости, причем скорость молекул при
каждом соударении меняется. Для упрощения
расчетов хаотическое движе­ние молекул
заменяют движением вдоль трех взаимно
перпендикулярных направ­лений, так
что в любой момент времени вдоль каждого
из них движется ¹/₃ моле­кул,
причем половина молекул (¹/₆)
дви­жется вдоль данного направления
в одну сторону, половина — в противоположную.
Тогда число ударов молекул, движущихся
в заданном направлении, о площадку DS
будет ¹/₆nDSvDt.
При столкновении с пло­щадкой эти
молекулы передадут ей им­пульс

DР =
2m₀v•¹/₆nDSvDt=¹/₃nm₀v²DSDt.

Тогда
давление газа, оказываемое им на стенку
сосуда,

p=DP/(DtDS)=¹/₃nm₀v².
(3.1)

Если
газ в объеме V содержит N молекул,

движущихся
со скоростями v₁, v₂, …, v_N,
то

целесообразно
рассматривать среднюю
квадратичную скорость

характеризующую
всю совокупность моле­кул газа.

Уравнение
(3.1) с учетом (3.2) при­мет вид

р
= ¹/₃пт₀ <v_кв>².
(3.3)

Выражение
(3.3) называется основ­ным
уравнением молекулярно-кинетической
теории идеальных газов. Точный
рас­чет с учетом движения молекул по
все-

возможным
направлениям дает ту же формулу.

Учитывая,
что n = N/V, получим

где Е —
суммарная кинетическая энергия
поступательного движения всех молекул
газа.

Так
как масса газа m =Nm₀,
то урав­нение (3.4) можно переписать в
виде

pV=¹/₃m<v_кв>².

Для
одного моля газа т
= М (М — моляр­ная
масса), поэтому

pV_m=¹/₃M<v_кв>²,

где V_m —
молярный объем. С другой сто­роны, по
уравнению Клапейрона —
Мен­делеева, pV_m=RT. Таким
образом,

RT=¹/₃М
<v_кв>²,
откуда

Так
как М = m₀N_A,
где m₀—масса
од­ной молекулы, а N_А —
постоянная Авогад­ро, то из уравнения
(3.6) следует, что

где k = R/N_A—постоянная
Больцмана. Отсюда найдем, что при
комнатной темпе­ратуре молекулы
кислорода имеют сред­нюю квадратичную
скорость 480 м/с, во­дорода — 1900 м/с. При
температуре жид­кого гелия те же
скорости будут соответ­ственно 40 и
160 м/с.

Средняя
кинетическая энергия посту­пательного
движения одной молекулы иде­ального
газа

<e₀)
=E/N = m₀ <v_кв>)²/2
= ³/₂kT(43.8)

(использовали
формулы (3.5) и (3.7)) пропорциональна
термодинамической тем­пературе и
зависит только от нее. Из этого уравнения
следует, что при T=0 <e₀>
=0,,т. е. при 0 К прекращается поступательное
движение молекул газа, а следовательно,
его давление равно нулю. Таким образом,
термодинамическая температура является
мерой средней кинетической энергии
по­ступательного движения молекул
идеаль­ного газа и формула (3.8) раскрывает
молекулярно-кинетическое толкование
температуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #