Как найти среднее квадратическое отклонение признака – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Среднеквадрати́ческое отклонение (среднеквадрати́чное отклонение, стандартное отклонение^[1]) — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.

В литературе обычно обозначают греческой буквой $sigma$ (сигма). В статистике принято два обозначения: $sigma$ — для генеральной совокупности и ${displaystyle sd}$ (с англ. standard deviation — стандартное отклонение) — для выборки.

Варианты определения[править | править код]

Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: ${displaystyle sigma ={sqrt {D[X]}}}$ . Измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если $x_{i}$ — $i$ -й элемент выборки, $n$ — объём выборки, ${bar {x}}$ — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математического ожидания величины):

${displaystyle {bar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}={frac {1}{n}}(x_{1}+ldots +x_{n})}$ ,

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией^[2]):

${displaystyle S={sqrt {{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}}$ .

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии^[2], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

${displaystyle S_{0}={sqrt {{frac {n}{n-1}}S^{2}}}={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}.}$

Само по себе, однако, $S_{0}$ не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными^[2].

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки^[3]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения^[3]^[]:

${displaystyle S_{bar {x}}=S_{0}/{sqrt {n}}={sqrt {{frac {1}{n(n-1)}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}.}$

Правило трёх сигм[править | править код]

Правило трёх сигм ( ${displaystyle 3sigma }$ ) гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на ${displaystyle 3sigma }$ :

${displaystyle P(|xi -Exi mid <3sigma )geqslant {frac {8}{9}}}$ .

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале ${displaystyle left(mu -3sigma ;mu +3sigma right)}$ , где ${displaystyle mu =Exi }$ — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Интерпретация[править | править код]

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, для у всех трёх числовых множеств: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение[править | править код]

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы[править | править код]

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля $sigma ={sqrt {D[X]}}$ отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Оценка рисков и критика[править | править код]

Среднеквадратическое отклонение широко распространено в финансовой сфере в качестве критерия оценки инвестиционного риска. По мнению американского экономиста Нассима Талеба, этого делать не следует. Так, по теории около двух третей изменений должны укладываться в определённые рамки (среднеквадратические отклонения −1 и +1) и что колебания свыше семи стандартных отклонений практически невозможны. Однако в реальной жизни, по мнению Талеба, всё иначе — скачки отдельных показателей могут превышать 10, 20, а иногда и 30 стандартных отклонений. Талеб считает, что риск-менеджерам следует избегать использования средств и методов, связанных со стандартными отклонениями, таких как регрессионные модели, коэффициент детерминации (R-квадрат) и бета-факторы. Кроме того, по мнению Талеба, среднеквадратическое отклонение — слишком сложный для понимания метод. Он считает, что тот, кто пытается оценить риск с помощью единственного показателя, обречён на неудачу^[4].

Климат[править | править код]

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт[править | править код]

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Пример[править | править код]

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

${displaystyle 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}$ .

Тогда средняя оценка равна:

${displaystyle mu ={frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}$ .

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

${displaystyle {begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\end{array}}}$

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4}$

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

${displaystyle sigma ={sqrt {4}}=2}$

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{7}}approx 4{,}57}$

и стандартное отклонение равнялось бы:

${displaystyle sigma ={sqrt {4{,}57}}approx 2{,}14}$

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

Примечания[править | править код]

↑ Встречаются также различные синонимы: среднее квадратическое отклонение, стандартный разброс, стандартная неопределённость; термин «среднее квадратическое» означает «среднее степени 2»
↑ ¹ ² ³ Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Введение в математическую статистику. — М. : Издательство ЛКИ, 2010. — §2.2. Выборочные моменты: точная и асимптотическая теория. — ISBN 978-5-382-01013-7.
↑ ¹ ² C. Patrignani et al. (Particle Data Group). 39. STATISTICS. — В: Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2016. — Vol. 40. — P. 100001. — doi:10.1088/1674-1137/40/10/100001.
↑ Талеб, Гольдштейн, Шпицнагель, 2022, с. 46.

Литература[править | править код]

Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..
Нассим Талеб, Дениэл Гольдштейн, Марк Шпицнагель. Шесть ошибок руководителей компаний при управлении рисками // Управление рисками (Серия «Harvard Business Review: 10 лучших статей») = On Managing Risk / Коллектив авторов. — М.: Альпина Паблишер, 2022. — С. 41—50. — 206 с. — ISBN 978-5-9614-8186-0.

Источник

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее $=frac{600+470+170+430+300}{5} = 394$ мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

$[ begin{array}{l} 1: 600-394 = 206 \ 2: 470-394 = 76 \ 3: 170-394 = -224\ 4: 430-394 = 36\ 5: 300-394 = -94 end{array} ]$

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия $= frac{206^2+76^2+(-224)^2+36^2+(-94)^2}{5} = 21704$ мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = $frac{108520}{4}=27130$ мм².

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

$frac{4+4-4-4}{4}=0$ .

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

$frac{4+4+|-4|+|-4|}{4} = frac{4+4+4+4}{4}=4$ .

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

$frac{7+1+|-6|+|-2|}{4} = frac{7+1+6+2}{4}=4$ .

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

$sqrt{frac{4^2+4^2+(-4)^2+(-4)^2}{4}}=4$ .

Для второго примера получится:

$sqrt{frac{7^2+1^2+(-6)^2+(-2)^2}{4}}=4.74$ .

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Дисперсия
– это средняя арифметическая квадратов
отклонений каждого значения признака
от общей средней. Дисперсия обычно
называется средним квадратом отклонений.
В зависимости от исходных данных
дисперсия может вычисляться по средней
арифметической простой или взвешенной:

Для
не сгруппированных данных σ²
=,

Для
вариационного ряда σ²
=
.

Среднее
квадратическое
отклонение
представляет собой корень квадратный
из дисперсии:

Для
не сгруппированных данных σ =
,

Для
вариационного ряда σ =
.

Среднее
квадратическое отклонение – это
обобщающая характеристика абсолютных
размеров вариации признака в совокупности.
Выражается оно в тех же единицах
измерения, что и признак (в метрах,
тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Вычислению
среднего квадратического отклонения
предшествует расчёт дисперсии.

Определение
дисперсии и среднего квадратического
отклонения по индивидуальным значениям

Порядок
расчета:

по
значениям признака исчисляется средняя
арифметическая простая

;

определяются
отклонения каждой варианты от средней
;
полученные
отклонения возводят в квадрат ()²;
рассчитывается
сумма квадратов отклонений вариантов
от общей средней Σ()²;
сумма
квадратов отклонений вариантов от
общей средней делится на число значений
вариантов Σ()²/ n

Задание
3. По примеру
двух бригад (задание 1) определите
дисперсию и среднее квалратическое
отклонение производительности труда.

Методика
решения:

Определение
дисперсии и среднего квадратического
отклонения в дискретных и интервальных
рядах распределения

Порядок
расчета:

вычисляется
средняя арифметическая взвешенная
;
определяются
отклонения каждой варианты от средней
;
полученные
отклонения возводят в квадрат ()²;
квадраты
отклонений вариантов от общей средней
взвешиваются по частотам ()²f
;
рассчитывается
сумма взвешенных квадратов отклонений
вариантов от общей средней Σ()²f;
сумма
взвешенных квадратов отклонений
вариантов от общей средней делится на
сумму частот Σ()²f/ Σ f
.

Задание
4. Рассчитайте
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение по данным типовой задачи.
Сделайте вывод.

Произведено продукции 1 рабочим, шт. (х варианта)	Число рабочих	хƒ
8	7
9	10
10	15
11	12
12	6
Итого

Методика
решения:

Вывод:

Если
исходные данные представлены в виде
интервального ряда распределения, то
сначала надо определить дискретное
значение признака, а далее применить
тот же метод, что изложен выше.

Задание
5. Рассчитайте
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение для интервального ряда по
данным распределения посевной площади
хозяйства по урожайности пшеницы:

Урожайность пшеницы, цга	Посевная площадь, га	х	хƒ
14-16	100
16-18	300
18-20	400
20-22	200
Итого

Методика
решения:

Вывод:

Расчет
дисперсии упрощенным способом.

Применение
приведенной формулы расчета дисперсии
не всегда удобно, хотя она хорошо отражает
суть показателя. Поэтому необходимо
знать другую формулу упрощенного способа
расчета, вытекающую из приведенной
выше:

где
–
средняя величина квадратов вариантов;

–
квадрат средней арифметической.

Порядок
расчета (если данные несгруппированы):

Задание
6. Имеются
данные о производительности труда
рабочих.Вычислить дисперсию упрощенным
способом.

№ рабочего	Произведена продукция за смену, шт.
1	12
2	16
3	11
4	18
5	13
Итого

Методика
решения:

Вывод:

Порядок
расчета (если данные сгруппированы):

Задание
7. Имеются
данные о распределении сельскохозяйственных
предприятий по наличию основных фондов.
Вычислить дисперсию упрощенным способом.

Группы предприятий по наличию основных фондов, млн. руб.	Число предприятий
2-4	11
4-6	16
6-8	16
8-10	7
Итого

Методика
решения:

Вывод:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Загрузить PDF

Вычислив среднеквадратическое отклонение, вы найдете разброс значений в выборке данных.^[1] Но сначала вам придется вычислить некоторые величины: среднее значение и дисперсию выборки. Дисперсия – мера разброса данных вокруг среднего значения.^[2] Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии выборки. Эта статья расскажет вам, как найти среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

1
Возьмите наборе данных. Среднее значение – это важная величина в статистических расчетах.^[3]
- Определите количество чисел в наборе данных.
- Числа в наборе сильно отличаются друг от друга или они очень близки (отличаются на дробные доли)?
- Что представляют числа в наборе данных? Тестовые оценки, показания пульса, роста, веса и так далее.
- Например, набор тестовых оценок: 10, 8, 10, 8, 8, 4.
2
Для вычисления среднего значения понадобятся все числа данного набора данных.^[4]
- Среднее значение – это усредненное значение всех чисел в наборе данных.
- Для вычисления среднего значения сложите все числа вашего набора данных и разделите полученное значение на общее количество чисел в наборе (n).
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
3
Сложите все числа вашего набора данных.^[5]
- В нашем примере даны числа: 10, 8, 10, 8, 8 и 4.
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Это сумма всех чисел в наборе данных.
- Сложите числа еще раз, чтобы проверить ответ.
4
Разделите сумму чисел на количество чисел (n) в выборке. Вы найдете среднее значение.^[6]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8 и 4) n = 6.
- В нашем примере сумма чисел равна 48. Таким образом, разделите 48 на n.
- 48/6 = 8
- Среднее значение данной выборки равно 8.
Реклама

1
Вычислите дисперсию. Это мера разброса данных вокруг среднего значения.^[7]
- Эта величина даст вам представление о том, как разбросаны данные выборки.
- Выборка с малой дисперсией включает данные, которые ненамного отличаются от среднего значения.
- Выборка с высокой дисперсией включает данные, которые сильно отличаются от среднего значения.
- Дисперсию часто используют для того, чтобы сравнить распределение двух наборов данных.
2
Вычтите среднее значение из каждого числа в наборе данных. Вы узнаете, насколько каждая величина в наборе данных отличается от среднего значения.^[8]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) среднее значение равно 8.
- 10 – 8 = 2; 8 – 8 = 0, 10 – 2 = 8, 8 – 8 = 0, 8 – 8 = 0, и 4 – 8 = -4.
- Проделайте вычитания еще раз, чтобы проверить каждый ответ. Это очень важно, так как полученные значения понадобятся при вычислениях других величин.
3
Возведите в квадрат каждое значение, полученное вами в предыдущем шаге.^[9]
- При вычитании среднего значения (8) из каждого числа данной выборки (10, 8, 10, 8, 8 и 4) вы получили следующие значения: 2, 0, 2, 0, 0 и -4.
- Возведите эти значения в квадрат: 2², 0², 2², 0², 0², и (-4)² = 4, 0, 4, 0, 0, и 16.
- Проверьте ответы, прежде чем приступить к следующему шагу.
4
Сложите квадраты значений, то есть найдите сумму квадратов.^[10]
- В нашем примере квадраты значений: 4, 0, 4, 0, 0 и 16.
- Напомним, что значения получены путем вычитания среднего значения из каждого числа выборки: (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-2)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
- Сумма квадратов равна 24.
5
Разделите сумму квадратов на (n-1). Помните, что n – это количество данных (чисел) в вашей выборке. Таким образом, вы получите дисперсию.^[11]
- В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
- n-1 = 5.
- В нашем примере сумма квадратов равна 24.
- 24/5 = 4,8
- Дисперсия данной выборки равна 4,8.
Реклама

1
Найдите дисперсию, чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение.^[12]
- Помните, что дисперсия – это мера разброса данных вокруг среднего значения.
- Среднеквадратическое отклонение – это аналогичная величина, описывающая характер распределения данных в выборке.
- В нашем примере дисперсия равна 4,8.
2
Извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы найти среднеквадратическое отклонение.^[13]
- Как правило, 68% всех данных расположены в пределах одного среднеквадратического отклонения от среднего значения.
- В нашем примере дисперсия равна 4,8.
- √4,8 = 2,19. Среднеквадратическое отклонение данной выборки равно 2,19.
- 5 из 6 чисел (83%) данной выборки (10, 8, 10, 8, 8, 4) находится в пределах одного среднеквадратического отклонения (2,19) от среднего значения (8).
3
Проверьте правильность вычисления среднего значения, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Это позволит вам проверить ваш ответ.^[14]
- Обязательно записывайте вычисления.
- Если в процессе проверки вычислений вы получили другое значение, проверьте все вычисления с самого начала.
- Если вы не можете найти, где сделали ошибку, проделайте вычисления с самого начала.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 64 646 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Дисперсия и формула для ее вычисления

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

от

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии
на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины

и
квадратом ее математического ожидания.

Свойство 2.

Дисперсия константы
равна нулю:

Свойство 3.

Постоянный множитель
выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4.

Дисперсия суммы
случайных величин:

где

–
ковариация случайных величин

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Следствия из свойств дисперсии.

В частности, если

независимы, то

Прибавление константы

в
случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Стандартное (среднее
квадратичное) отклонение случайной величины

определяется
как корень из дисперсии и обозначается

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X – в квадратных метрах.

Смежные темы решебника:

Математическое ожидание и его свойства
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

В коробке 20 конфет, из которых 4 с
вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти
дисперсию случайной величины Х.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Случайная
величина

– число конфет с вареньем, может принимать
значения 0,1,2

Найдем
соответствующие вероятности:

Проверка:

Получаем
следующий закон распределения СВ

Математическое
ожидание:

Дисперсию
можно вычислить по формуле:

Искомая
дисперсия:

Пример 2

Даны
законы распределения независимых случайных величин X и Y:

Найти
закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Распределение суммы

Окончательно получаем:

	2	3	4	Итого
	0.2	0.5	0.3	1

Вычислим математические ожидания:

Вычислим
дисперсии:

Проверим
равенство

Равенство
выполняется.

Пример 3

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором
станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое
ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

– числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

– числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия
числа бракованных деталей:

Ответ:

;

Пример 4

Случайные
величины X,Y распределены по закону
Пуассона. Найдите M{(X+Y)²}, если M(X)=40 и
M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Поскольку
случайные величины

распределены по закону Пуассона и известны их
математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

Пользуясь
свойствами математического ожидания и дисперсии:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами:

x	2.3	2.5	2.7	2.9
p	0.4	0.3	0.2	0.1

Укажите
законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их
математическое ожидание и дисперсию.

Задача 2

Найти
дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X,
заданной законом распределения.

x	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Написать F(x) и построить ее график.

Задача 3

Случайная
величина X имеет плотность вероятности

Требуется
найти дисперсию D_x.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Вероятность
того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов
из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.

Задача 5

Случайные
величины X и Y независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.

Задача 6

Найти
дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа
элемента в каждом опыте равна 0,9.

Задача 7

Дискретная
случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₂>x₁. Вероятность того, что X
примет значение x₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если
математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.

Задача 8

Закон
распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ	-1	2	3	5
P	1/4	1/2	1/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины ξ,
вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.

Задача 9

Дискретная
случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3
она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной
величины D(X)=6. Найти математическое
ожидание случайной величины.

Задача 10

Найти
дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X,
заданному плотностью вероятности

при

в остальных точках.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Варианты определения[править | править код]

Правило трёх сигм[править | править код]

Интерпретация[править | править код]

Практическое применение[править | править код]

Экономика и финансы[править | править код]

Оценка рисков и критика[править | править код]

Климат[править | править код]

Спорт[править | править код]

Пример[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Что такое дисперсия

Что такое стандартное отклонение

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Краткая теория

Дисперсия и формула для ее вычисления

Свойства дисперсии

Среднеквадратическое отклонение

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Вам также может понравиться

Как найти точку безубыточности продукта

Как найти долю в интервале

Как найти швейную мастерскую

Добавить комментарий Отменить ответ

Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение