Как найти десятичную дробь
Представление о дробях учащиеся школ получают еще на начальном этапе обучения. Не забывают про дроби и в старших классах, но вычислять их разрешается на калькуляторе, а потому забывается сам принцип возникновения дроби. На практике решать задачи при помощи основного свойства дробей проще, чем наугад набирать кнопки на калькуляторе
Вам понадобится
- – Учебник математики за 5ый класс.
Инструкция
Итак, давайте разберемся, с определением части от целого. Для этого сделайте рисунок квадрата или прямоугольника, лучше всего на листке в клеточку. Разделите квадрат по клеточкам, это будут доли, равные части одного целого.
Дроби бывают разными, например, обыкновенные – 1/2, 3/7, 1/4, смешанные – 1 ½, 2 ½
5 ¼ , десятичные дроби – 0,25, 0,5, 0,7.
Все дроби зависят от основного свойства дробей – сокращенные дроби, решайте задачи без калькулятора.
Дроби можно переводить из одного вида в другой. Например, дробь 25/100 можно записать как 0,25. Дробь можно сократить, получится ¼. Бывает, что десятичную дробь не нужно сокращать. Например, 0,3 так и останется 3/10 – эта дробь не сокращается. Но учтите, не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичных. Не найти десятичную дробь из 1/3, 6/7, 1/7, и таких не переводимых дробей много.
Попробуйте найти десятичную дробь из 3/20. Для начала разложите знаменатель этой дроби на простые множители, например 5*2*2. Запишите пример так: 3/20 = 3/20*5/5=15/100=0,15.
Таким образом, чтобы найти десятичную дробь, разложите знаменатель обыкновенной дроби на множители, уравняйте количество пятерок и двоек, выберите единственный множитель. Закрепите знание – найдите десятичную дробь из 3/50. Разложите знаменатель на множители 50=2*5*5, значит, двойку нужно представлять в виде дроби 2/2. 3/50*2/2=6/100=0,06.
Чтобы найти десятичную дробь из обыкновенной дроби разделите её числитель на знаменатель. Например, возьмите 5/8, разделите 5 на 8, получите 0,625. Десятичная дробь может быть бесконечной. Например, 18/7 в точную десятичную дробь превратить нельзя, потому что если 18 разделить на семь получится бесконечное число.
Видео по теме
Обратите внимание
Бесконечные дроби можно округлить, но это значение будет не точным.
Полезный совет
Если вы задумались над решением примера со смешанными дробями – (3/4+0,5)*(1 1/5–0,7). Найдите десятичные дроби из ¾ -0,75 и из 1 1/5 -1,2, решите пример, используя десятичные дроби.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Десятичные дроби и действия с ними
Десятичная дробь – это дробь, имеющая в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д.
Такие дроби принято записывать в строчку, а не как обыкновенную дробь.
ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:
-
Сначала выделяют целую часть, ставят запятую, а потом записывают числитель дробной части.
Например:
(7frac{38}{100} = 7,38)
-
Если дробь правильная, то целая часть равна 0:
Например:
(frac{6}{10} = 0,6)
-
После запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей стоит после единицы в знаменателе дроби. Например, если в знаменателе 10, то после запятой будет одна цифра.
-
Если в знаменателе 1000, то после запятой должно быть три цифры. Если в числителе дроби цифр меньше, чем нулей в знаменателе, тогда после запятой ставят нужное количество нулей, а уже потом записывают числитель:
Например:
(frac{56}{1000})
в знаменателе три нуля, а в числителе только две цифры. Чтобы уравнять количество цифр и нулей, представим дробь как
(frac{056}{1000})
Ноль в начале числителя никак на него не влияет, но помогает нам записать дробь в виде десятичной. Получается, что:
(frac{56}{1000} = frac{056}{1000} = 0,056)
ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:
-
Читают десятичные дроби в соответствии с количеством цифр после запятой. Если цифра одна, то знаменатель соответствует числу 10. Тогда мы говорим, что доля десятичная. Если цифры две, то знаменатель соответствует числу 100, доля такой дроби – сотая. Так же называют тысячную долю, десятитысячную, миллионную и так далее.
Например:
(19frac{32}{100} = 19,32) – девятнадцать целых, 32 сотых;
(2frac{9}{1000} = 2frac{009}{1000} = 2,009) – две целых, 9 тысячных;
(frac{3}{10} = 0,3) – три десятых.
-
Если приписать или убрать ноль в конце дроби, то она не изменится.
Например:
(0,80 = 0,8) (80 сотых = 8 десятых);
(0,0780 = 0,078) (780 десятитысячных = 78 тысячных).
СРАВНЕНИЕ ДСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Чтобы сравнить дроби, их нужно привести к одинаковому количеству знаков после запятой.
Например:
Сравним 0,07 и 0,5.
У первой дроби после запятой две цифры, у второй только одна. Значит второй дроби нужно ее добавить так, чтобы дробь не изменилась. Мы можем приписать ноль в конце дроби.
Получим 0,07 и 0,50. Теперь мы сравниваем две дроби со знаменателем 100. Становится понятно, что 7<50, значит 0,07<0,50, значит 0,07<0,5.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Сложим две десятичные дроби:
(1,8 + 3,062)
СПОСОБ 1:
-
Чтобы найти сумму или разность десятичных дробей, можно представить их как обыкновенные.
(1frac{8}{10} + 3frac{62}{1000})
-
Если дроби имеют разные знаменатели, приведем их к одному. Проще всего приписать к одной дроби (и к числителю, и к знаменателю) одинаковое количество недостающих нулей:
(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000})
-
Теперь сложим дроби как смешанные:
(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000} = 4frac{800 + 62}{1000} = 4frac{862}{1000})
-
Переведем дробь обратно в десятичную:
(4frac{862}{1000} = 4,862)
СПОСОБ 2:
-
Сумму или разность десятичных дробей можно найти столбиком. Запишем одно число под другим так, чтобы запятая одной дроби находилась по запятой другой:
-
Уравняем количество знаков (чисел) после запятой:
-
Сложим числа в столбик не обращая внимание на запятую.
-
Поставим запятую суммы под запятыми слагаемых:
СПОСОБ 3:
Можно воспользоваться тем фактом, что число состоит из целой и дробной частей и сложить сначала одно, потом другое.
-
Представим дроби в ином виде:
(1,8 = 1 + 0,8)
(3,062 = 3 + 0,062)
-
Сложим целые части:
(1 + 3 = 4)
-
Сложим дробные части:
(0,8 + 0,062 = 0,862)
-
Сложим полученные значения:
(4 + 0,862 = 4,862)
УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Умножение десятичной дроби на натуральное число:
Например:
(1,81 bullet 3)
1. Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:
2. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько отделено у дроби:
Умножение десятичной дроби на десятичную дробь:
Например:
(1,81 bullet 0,03)
-
Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:
-
В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько в сумме отделено у множителей:
Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:
Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Например:
(2,34 bullet 10 = 23,4)
(0,687 bullet 1000 = 687)
(7,095 bullet 100 = 709,5)
Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:
Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе:
(183,7 bullet 0,01 = 1,837)
(0,22 bullet 0,1 = 0,022)
(619 bullet 0,001 = 0,619)
ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Деление десятичной дроби на число:
Например:
(2,52 : 4)
-
Найдем частное в столбик, не обращая внимание на запятую:
-
В полученном частном отделим запятой столько знаков справа, сколько отделяется в делимом:
Деление десятичной дроби на десятичную дробь:
Например:
(0,252 : 0,4)
-
В делителе и делимом перенести вправо запятую на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
(0,252 : 0,4 = 2,52 : 4)
-
Выполнить деление на натуральное число.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:
Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе.
-
Разделить на 10 = умножить на 0,1
-
Разделить на 100 = умножить на 0,01
-
Разделить на 1000 = умножить на 0,001
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:
Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
-
Разделить на (0,1 =) умножить на 10
-
Разделить на( 0,01 =) умножить 100
-
Разделить на (0,001 = )умножить на 1000
История открытия десятичных дробей полна неожиданностей. Ученые разных стран приходили к сходных выводам и расчетам независимо друг от друга, что свидетельствует о важности дробей не только для математического познания, но и для практических нужд людей.
Немного истории
Впервые десятичные дроби появились в Древнем Китае в III веке до нашей эры. Эти знания были неизвестны в арабском и европейском мире. Только в ХV веке самаркандский астроном Джемшид аль-Каши изложил правила действия с десятичными дробями в сочинении «Ключ к арифметике». В Европе сведения о дробях появились еще позже, в ХVI веке, благодаря труду голландского ученого С. Стевина «Десятая». В то время десятичные дроби записывались не так, как сейчас. Для указания дробной части использовалось число 0, обведенное кружком. В Англии и США вместо запятой использовалась точка, запятая стала применяться только в начале ХVII века. В России впервые учение о десятичных дробях изложил Л. Ф. Магницкий в книге «Арифметика» в 1703 года.
Что такое десятичная дробь
Десятичные дроби – это результат преобразования обыкновенной дроби: деления числителя на знаменатель. Например: 1 : 2 = 1/2 = 0,5.
Десятичные дроби – такие дроби, которые записываются в строчку через запятую. Они бывают конечные и бесконечные. В конечной десятичной дроби количество цифр после запятой точно определено. В бесконечной десятичной дроби число цифр после запятой бесконечно. Для удобства эти цифры обычно округляют до 1, 2, 3 после запятой.
Полезная информация о десятичных дробях
| Метрология | Зарождение и развитие учения о десятичных дробях в странах Азии было связано с метрологией – наукой о мерах длины, веса и объема. |
| Шестидесятиричные дроби | До появления десятичных дробей в арабских государствах существовали шестидесятиричные дроби. |
| «Попасть в дроби» | Учение о дробях считается самым трудным разделом арифметики. До настоящего времени у немцев осталась поговорка «попасть в дроби», то есть «оказаться в затруднительном положении». |
Свойства десятичной дроби
Главным свойством десятичной дроби является следующее: величина десятичной дроби не изменится, если слева или справа добавить или удалить любое количество нулей.
6,15 = 6,1500 = 006,15
Поскольку десятичные дроби тесно связаны с обыкновенными дробями, существуют свойства, их объединяющие.
- Если числитель обыкновенной дроби меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби меньше нуля.
2/3 = 0,67 - Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби.
3 2/5 = 3,4 - Количество цифр после запятой в десятичной дроби зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби: если одна цифра, то делитель – 10, если две цифры, то делитель – 100.
4/5 = 0,8 и 4/55 = 0,07
Простые числа
Что важно знать о простых числах и их особенностях
подробнее
Разряды десятичной дроби
В десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции Названия разрядов в десятичной дроби до запятой совпадают с названиями разрядов в натуральных числах (единицы, десятки, сотни и так далее). Первая цифра после запятой означает количество десятых долей. Вторая цифра после запятой – число сотых долей. Третья цифра – число тысячных долей.
Десятичные дроби можно также раскладывать по разрядам натуральных чисел.
36,85 = 30 + 6 + 0,8 + 0,05
или
36,85 = 36 + 0,85
Умножение десятичных дробей
Умножать десятичные дроби следует так же, как и другие числа, главное – правильно поставить запятую в ответе.
Если нужно перемножить дроби с разными знаками, действует общее правило: плюс на плюс дает плюс, минус на плюс дает минус, минус на минус дает плюс.
Чтобы умножить десятичные дроби в столбик, следует умножить их друг на друга как целые числа, сложить количество знаков после запятой у каждой дроби, отсчитать полученное количество знаков справа налево и поставить запятую.
Умножение десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и умножение между десятичными дробями. Если нужно умножить на 10 или 100, переносим запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится во втором множителе. При умножении на 0,1 или 0,01 переносим запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей во втором множителе.
Если нужно умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, можно действовать двумя способами: перевести десятичную дробь в обыкновенную и затем перемножить или перевести обыкновенную дробь в десятичную и выполнить действие.
Примеры
Умножение десятичной дроби в столбик
Умножение десятичной дроби на натуральное число
3,21
х
16
+1926
321
51,36
Умножение десятичной дроби на 10 и 100
1,26 х 10 = 12,6
5,8 х 100 = 580
Умножение десятичной дроби на 0,1 и 0,01
28,56 х 0,1 = 2,856
159,1 х 0,01 = 1,591
Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь
- 2/7 х 0,5 = 2/7 х 1/2 = 2/14 = 0,14
- 2/7 х 0,5 = 0,28 х 0,5 = 0,14
Умножение дробей
Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби
подробнее
Деление десятичных дробей
Десятичные дроби, как и натуральные числа, можно делить столбиком. Для того чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, необходимо сначала разделить целую часть, а затем дробную. Запятая в ответе ставится после деления целой части. Результатом деления может быть либо конечная, либо бесконечная десятичная дробь.
Также столбиком можно делить одну десятичную дробь на другую. Предварительно делитель следует превратить в натуральное число. Для этого переносим запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков. Если в делимом не хватает знаков, добавляем в него нули с правой стороны.
При делении десятичной дроби на 10 или 100 просто переносим запятую влево на одну или две цифры. Соответственно, деление на 0,1 или 0,01 сопровождается переносом запятой вправо на одну или две цифры.
Если нужно разделить смешанную либо обыкновенную дробь на десятичную или наоборот, превращаем обе дроби в десятичные либо обыкновенные, и совершаем деление по рассмотренным выше правилам.
Примеры
Деление десятичной дроби на натуральное число
Деление одной десятичной дроби на другую
Разделить 36,24 на 1,2:
Деление десятичной дроби на 10 и 100
526,8 : 10 = 52,68
42,76 : 100 = 0,4276
Деление десятичной дроби на 0,1 и 0,01
3,28 : 0,1 = 32,8
9,34 : 0,01 = 934
Деление смешанной или обыкновенной дроби на десятичную дробь
31/5 : 0,8 = 3,2 : 0,8 = 4
Популярные вопросы и ответы
Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
Почему десятичные дроби начинают изучать в 5 классе?
Десятичные дроби являются логическим продолжением темы «Обыкновенные дроби», которые начинают изучать в 5 классе, так как выпускники начальной школы уже умеют совершать все действия, необходимые для усвоения дробей.
Как записать десятичную дробь?
Десятичная дробь записывается с запятой, которая отделяет целую и дробную части. Слева направо, до запятой – это целая часть, а после запятой – дробная.
Как читать десятичную дробь?
Если после запятой один знак, например 15,2, это читается как «пятнадцать целых две десятых». Если два знака в дробной части, например 40,35, читается как «сорок целых тридцать пять сотых» и так далее. Дробная часть может читаться как тысячные, десятитысячные и так далее. Все, как несложно понять, зависит от количества знаков после запятой. Очень важно научиться правильно называть десятичную дробь, чтобы в голове выстраивалась четкая связь с обыкновенными дробями. Потому что в рамках школьных заданий и экзаменов очень часто приходится переводить дроби из одного вида в другой и обратно.
Десятичные дроби — для чайников
Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.
Все это здесь.
Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.
Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))
3. Свойства десятичных дробей
- Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
- Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
- Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
- Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Деление десятичных дробей друг на друга
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
( displaystyle frac{8}{10}=0,8)
( displaystyle frac{13}{100}=0,13)
( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)
Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
- Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
- Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».
А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:
- ( 0,05;)
- ( 0,4;)
- ( 0,27;)
- ( 0,245)
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.
Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.
В общем, смотри:
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Попробуй перевести:
- ( 0,136)
- ( 0,2436)
- ( 0,0456)
- ( 0,21)
Сравним ответы:
- ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
- ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
- ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
- ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
- ( displaystyle frac{2}{10})
- ( displaystyle frac{3}{100})
- ( displaystyle frac{4}{1000})
- ( displaystyle frac{4562}{100})
А вот и ответы:
- ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
- ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
- ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
- Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
- После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
- Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
- ( displaystyle frac{26}{10})
- ( displaystyle frac{43}{100})
- ( displaystyle frac{99}{1000})
- ( displaystyle frac{3562}{100})
А теперь ответы:
- ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
- ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
- ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
- ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)
Виды десятичных дробей
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).
Поговорим сначала о конечных дробях.
Конечная десятичная дробь
Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:
( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)
То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
- ( displaystyle frac{1}{5})
- ( displaystyle frac{1}{8})
- ( displaystyle frac{3}{5})
- ( displaystyle frac{1}{16})
Сравним наши ответы:
- ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
- ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
- ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)
Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.
Бесконечная десятичная дробь
Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )
Таким образом:
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?
( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)
Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))
( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).
Свойства десятичных дробей
Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули
( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
( 0,014330000=0,01433)
ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!
( 0,014330000ne 0,1433)
3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)
4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)
Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- ( 0,0125+0,141)
- ( 2,4225+0,34)
- ( 122,4355+1,34)
- ( 2,435+12,3)
Сравним ответы:
- ( 0,0125+0,141=0,1535)
- ( 2,4225+0,34=2,7625)
- ( 122,4355+1,34=123,7755)
- ( 2,435+12,3=14,735)
Как вычитать десятичные дроби
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.
Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.
Посмотрим подробно на примере:
Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:
- ( 0,0125-0,141)
- ( 2,4225-0,34)
- ( 122,4355-1,34)
- ( 12,435-12,3)
Сравним полученные ответы:
- ( 0,0125-0,141=-0,1285)
- ( 2,4225-0,34=2,0825)
- ( 122,4355-1,34=121,0955)
- ( 12,435-12,3=0,135)
Как умножать десятичные дроби
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.
Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.
Непонятно? Смотри:
Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.
Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.
Не веришь? Смотри:
Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.
Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).
Проиллюстрируем данное правило:
Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.
Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).
А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.
Как делить десятичные дроби
Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.
Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.
Итак. Мы рассмотрим два вида деления:
- деление десятичной дроби на натуральное число;
- деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Важно!!!
Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?
Рассмотрим на конкретном примере:
Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:
- ( 135,2:5)
- ( 16,4:2)
- ( 158,14:4)
- ( 2,456:2)
- ( 0,626:2)
Сравним наши ответы:
- ( 135,2:5=27,04)
- ( 16,4:2=8,2)
- ( 158,14:4=39,535)
- ( 2,456:2=1,228)
- ( 0,626:2=0,313)
Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.
Например: ( 135,2:10=13,52).
А теперь попробуй самостоятельно:
- ( 135,2:100)
- ( 16,4:10)
- ( 158,14:1000)
- ( 2,456:10)
Перенес? Смотри, что у меня получилось:
- ( 135,2:100=1,352)
- ( 16,4:10=1,64)
- ( 158,14:1000=0,15814)
- ( 2,456:10=0,2456)
Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.
Деление десятичных дробей друг на друга
Итак, для того чтобы это делать существует три правила:
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
- Делим числа как натуральные.
ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)
В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!
Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).
Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)
Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).
А теперь делим в столбик:
Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.
Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!
Как сравнивать десятичные дроби
Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.
Способ первый – поразрядно.
Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)
1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)
Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)
2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.
Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:
( 5,365 > 5,360)
Способ второй – с помощью умножения.
Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:
( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)
( 5365 V 5360)
Эти числа ты сравнишь без проблем:
( 5365 > 5360)
Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:
- ( 21,34 V 20,34)
- ( 0,34 V 0,341)
- ( 120,15 V 1210,16)
- ( 10,565 V 10,465)
Справился? Смотри что вышло:
- ( 21,34 > 20,34)
- ( 0,34 < 0,341)
- ( 120,15 < 1210,16)
- ( 10,565 > 10,465)
Вот теперь ты усвоил дроби полностью!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Как перевести обычную дробь в десятичную
Два способа, которые помогут вам выполнить преобразование.
1. Превратите знаменатель в 10, 100 или 1 000
Этот способ очень простой, но он подходит не для каждой дроби.
Для начала умножьте числитель и знаменатель на такое число, которое преобразует нижнюю часть дроби в 10 или 100, 1 000 и так далее.
Допустим, нам нужно перевести дробь с числителем 7 и знаменателем 25. Мы можем получить в нижней части 100: достаточно умножить 25 на 4. Про верхнюю часть тоже не забываем: получаем 28.
Запишите числитель отдельно. Отсчитайте справа в нём столько же знаков, сколько нолей вы получили в знаменателе после умножения, и поставьте запятую. Это и будет искомая десятичная дробь.
В нашем примере в знаменателе 100, значит отсчитываем в числителе два знака и ставим запятую. Получаем 0,28.
Если такой множитель подобрать не удаётся, текущий способ не подходит. Воспользуйтесь следующим.
2. Поделите числитель на знаменатель
Чтобы преобразовать обычную дробь в десятичную, достаточно поделить её верхнюю часть на нижнюю. Проще всего это сделать, конечно же, на калькуляторе.
Если для вас принципиально важно обойтись без вспомогательных устройств, просто поделите числитель на знаменатель столбиком.
Для примера переведём дробь с числителем 7 и знаменателем 25. Поделив 7 на 25 столбиком, получим 0,28.
Важный момент. При делении столбиком вы можете обнаружить, что процесс идёт по кругу и после запятой в результат попадают повторяющиеся цифры. В таком случае эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную. Вместо неё у вас получится периодическая дробь. Чтобы записать результат, возьмите повторяющееся число в скобки.
Допустим, нужно перевести дробь с числителем 1 и знаменателем 3. Поделив 1 на 3 столбиком, мы получим бесконечную десятичную дробь 0,333333333… Приведём её к краткому виду 0,(3) — это и будет результат. Читается как «ноль целых и три в периоде».
Читайте также 📕📐✂️
- Как научить ребёнка считать играючи
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- 9 логических задач, которые по зубам только настоящим интеллектуалам
- 3 логические задачи, которые решат только самые сообразительные
- 11 книг, которые прокачают математическое мышление
