Как найти длины сторон с помощью координат

Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин? Какая формула должна использоваться? Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам: Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 4 года назад  Периметр по координатам Периметр фигуры – это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2): Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр. Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться. Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4. Рассмотрим несколько примеров. 1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1). P(ABC) = AB + AC + BC. AB = √(0 + 2²) = √4 = 2. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24. Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24. 2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1). P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD). AB = √(0 + 3²) = √9 = 3. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8. ** Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка. Порядок действий такой: Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат. Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями. Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения. Sadne­ss [5.6K] 4 года назад  Так как координаты вершин нам известны, то, для нахождения периметра, остаётся просто вычислить длину каждой стороны и сложить их. Длина отрезка вычисляется так: l=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2); Важно: вычитаем всегда начало из конца. Нахождение на примере: Найдём длины всех трёх сторон и сложим. AB=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((12 – 1)^2 + ((-5) – 8)^2)=sqrt(121 + 169)=sqrt(290); BC=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((-2 – 12)^2 + (1 – -(5))^2)=sqrt(196 + 36)=sqrt(232); CA=sqrt((1 – (-2))^2 + (8 – 1)^2)=sqrt(9 + 49)=sqrt(58); Далее просто складываем полученные результаты: P=AB+BC+CA; Ну вот и всё, так просто находится периметр по заданным координатам(для любой фигуры). P.s извиняюсь за плохо подобранные координаты. Давайте сначала вспомним, что такое периметр фигуры и как его вычислить. Периметром называется сумма длин всех сторон данной фигуры. Таким образом, для вычисления периметра какой-либо фигуры нужно знать длину всех ее сторон. Затем дело останется за малым – просто сложить длины. По сути, сторона любого многоугольника ( треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее ) представляется собой отрезок. Для вычисления длины отрезка по координатом его концов используется следующая формула: , где х1 и х2 – координаты концов отрезка по оси х, а y1 и y2 – координаты по оси у. Подставляем в формулу значения, проводим вычисления. Находим длину каждой из сторон. Суммируем все длины. Hamst­er133­7 [28.6K] 2 года назад  Периметр геометрических фигур по координатам вершин можно найти при помощи формулы Где x1,x2 это первая координата, y1,y2 это вторая координата. Данную формулу нужно применять к каждой паре соседних вершин многоугольника. После обхода и суммирования всех длин будет получен периметр. Алиса в Стран­е [363K] 3 года назад  Любая геометрическая фигура это совокупность отрезков, составляющих ее стороны, и вершин а ее периметр – сумма длин этих отрезков, сумма сторон, поэтому если мы найдем длины всех сторон и сложим их, то получим как раз периметр фигуры. Для того, чтобы найти длину отрезка АВ, зная его координаты, есть такая вот формула: где точка А имеет координаты (x1; y1), а точка В – координаты (x2; y2). Итак, длину отрезка мы находить научились. Допустим теперь, что у нас есть треугольник АВС, мы знаем координаты его вершин, по указанной выше формуле мы находим длины отрезков АВ, ВС, АС и складываем их, получая периметр этого треугольника АВС: АВ + ВС + АС. габба­с [215K] 4 года назад  Периметр любого многоугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. Значит задача сводится к нахождению длины отрезка по координатам его концов. А это известная формула из курса геометрии основной школы. Итак, длина отрезка d = sqrt(x2^2 – x1^2) + (y2^2 – y1^2), х1 и у1 координаты начала, х2,у2 – координаты конца отрезка. Таким образом находим длины всех сторон многоугольника и суммируем эти значения. Лара Изюми­нка [59.8K] 3 года назад  Во-первых, вспомним, что такое периметр – это сумма длин сторон. То есть нам нужны длины сторон многоугольника. Чтобы их найти, зная координаты точек, воспользуемся формулой из геометрии для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости: AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2. То есть нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов разницы координат по х и по у. Если фигура в пространстве, то добавится еще разница координат по z. AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2 Когда длины всех отрезков найдем остается их только сложить. Периметром фигуры зовется сумма длин всех сторон. Для поиска длинны сторон воспользуйтесь формулой длинны отрезка согласно координатам, которые заданы. (x1; y1) и (x2; y2): Так, если вы последовательно сложите значения, которые получите, то сможете получить периметр. Что касается примеров, при условии наличия координат по точкам А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Следует сложить – получить. Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Если геометрическая фигура находится в системе координат и координаты ее вершин известны, то длину сторон будем искать по такой формуле: У нас есть треугольник. Координаты его точек- А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Находим длины отрезков АВ, ВС и АС по формуле. Складываем полученные результаты и получаем периметр. Барха­тные лапки [382K] 3 года назад  Существует формула, по которой можно вычислить длину отрезка, если известны координаты. Делим нашу геометрическую фигуру на отрезки, считаем длину каждого отрезка и затем все значения длин складываем. Таким образом мы получаем периметр. Знаете ответ?

Ответ

Проверено экспертом

1)периметр треугольника равен AB + BC + AC. Нам надо найти длину каждой стороны по координатам их концов. Длина отрезка по координатам его концов рассчитывается по формуле

d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²), где d — расчитываемый отрезок, x1,x2 — абсциссы начала и конца отрезка, y1,y2 — ординаты начала и конца отрезка.

Подставляя в эту формулу абсциисы и ординаты точек из условия, последовательно нахожу каждую сторону:

Тогда периметр равен √5 + √17 + √10

2)Далее, найду медиану AM. Можно пойти разными путями, но найду её длину методом координат.

Мы знаем, что в этом случае M — середина BC. Нам надо найти координаты точки M, иначе говоря, нам надо найти координаты середины отрезка. Далее, координаты точки A нам известны, значит, можно под первую формулу подогнать. Итак, как же вычислить координаты середины отрезка? Это можно сделать по формуле

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2, где x,y — координаты середины отрезка, x1,x2 — абсциссы концов отрезка, y1,y2 — ординаты концов отрезка. Подставляем исходные координаты в формулу и получаем

x = (3-1)/2 = 2/2 = 1; y = (3+4)/2 = 7/2 = 3.5

Значит, M(1;3.5), A(2;5)

Теперь найдём длину AM по нашей старой формуле:

AM = √(1-2)²+(3.5 — 5)² = √1+2.25 = √3.25

3)Теперь вычислю углы треугольника. Давайте подумаем, как их найти. Я вижу, что нам даны три стороны треугольника(точнее, мы их нашли). Так что, вполне вероятно, что здесь надо воспользоваться теоремой косинусов.(квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними). математически её можно записать так:

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8447 — | 7339 — или читать все.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Уравнение длины сторон треугольника – по координатам и сторонам

Уравнение длин сторон треугольника – это первые вкрапления высшей математики в математику школьного курса. Понимание данной тематики приближает ученика к университетскому уровню, вместе с тем делая более понятной тему функции.

Функция

Что такое функция? Это зависимость одной величины от другой. В математической функции чаще всего две неизвестных: независимая и зависимая или х и у соответственно.

Что это значит? Это значит, что х может принимать абсолютно любое значение, а у будет под него подстраиваться, меняясь в соответствии с коэффициентами функции.

Существуют ситуации, когда функция имеет несколько переменных. Зависимая у всегда 1, но факторов, которые влияют на неё может быть несколько. Не всегда такую функцию получается отразить на графике. В лучшем случае графически можно отобразить зависимость у от 2 переменных.

Как проще всего представить зависимость у(х)?

Да очень просто. Представьте себе избалованного ребенка и богатую любящую мать. Они вместе приходят в магазин и начинают клянчить конфеты. Кто знает, сколько конфет мальчик потребует сегодня?

Никто, но в зависимости от количества конфет увеличится сумма, которую мама оплатит на кассе. В этом случае, зависимой величиной является сумма в чеке, а независимой – количество конфет, которое захочет мальчик сегодня.

Очень важно понимать, что одному значению функции у, всегда соответствует 1 значение аргумента х. Но, как и с корнями квадратного уравнения, эти значения могут совпадать.

Уравнение прямой линии

Зачем нам нужно уравнение прямой, если мы говорим об уравнении длин сторон треугольника?

Да затем, что каждая из сторон треугольника это отрезок. А отрезок это ограниченная часть прямой. То есть мы можем задать уравнения прямых. А в точках их пересечения ограничить линии, тем самым обрезав прямые и превратив их в отрезки.

Уравнение прямой выглядит следующим образом:

Уравнение сторон треугольника

Необходимо найти уравнение длин сторон треугольника с вершинами в точках А(3,7) ; В(5,3); С(12;9)

Все координаты положительны, значит, треугольник будет расположен в 1 координатной четверти.

Поочередно составим уравнения каждой из линий треугольника.

• Первой будет линия АВ. Координаты точек подставим в уравнение прямой на место х и у. Таким образом мы получим систему из двух линейных уравнений. Решив ее можно найти значение коэффициентов для функции:

Из первого уравнения выразим b и подставим во второе.

Расчет треугольника по координатам вершин

Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.

Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:

Обозначения треугольника

• длину стороны a – стороны, противолежащей вершине А
• длину стороны b – стороны, противолежащей вершине B
• длину стороны c – стороны, противолежащей вершине C
• значение угла α при вершине A
• значение угла β при вершине B
• значение угла γ при вершине C
• периметр треугольника
• площадь треугольника

Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.

[spoiler title=”источники:”]

http://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/14561-yravnenie-dliny-storon-treygolnika-po-koordinatam-i-storonam.html

http://planetcalc.ru/9423/

[/spoiler]

Была ли эта статья полезной?