Как найти двугранные углы в призме - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Источник

Рис. (1). Ноутбук.

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Рис. (2). Две пересекающиеся плоскости.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Рис. (3). Двугранный угол.

Полуплоскости

, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая (a) этих граней называется ребром двугранного угла.

Выберем на ребре (a) двугранного угла произвольную точку (C) и проведём две пересекающиеся прямые

AC⊥a

BC⊥a

, а через эти прямые — плоскость

перпендикулярно ребру (a).

Рис. (4). Линейный угол двугранного угла.

Линии пересечения (AC) и (BC) полуплоскостей

с плоскостью

образуют некоторый угол

∠ACB

. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки (C) на ребре (a).

Обрати внимание!

Величина двугранного угла (0° <)

∠ACB

(< 180°).

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен (0°) по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет (90°), то три остальных угла — тоже (90°). Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.

Рис. (5). Трёхгранный угол.

Рис. (6). Четырёхгранный угол.

Рис. (7). Пятигранный угол.

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше (360°).

Источники:

Рисунки 2-7. Плоскости, углы, © ЯКласс.

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.

(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):

Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);

Шаг 2: проведем (FGperp pi);

Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);

Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).

Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).

Задание
1

#2875

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).

Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]

Ответ: -2

Задание
2

#2876

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).

Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).

Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]

Ответ: 0,2

Задание
3

#2877

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).

Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]

Ответ: 3

Задание
4

#2910

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).

Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]

Ответ: 1,25

Задание
5

#2911

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.

Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.

Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]

Ответ: 60

Задание
6

#1854

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).

Ответ: 45

Задание
7

#1855

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Материал урока.

Мы уже знакомились с
призмами. Сегодня мы повторим основные понятия, которые связаны с ними.

Давайте вспомним, какой
многогранник мы назвали призмой.

Рассмотрим два равных
многоугольника A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях. Причем расположены
эти многоугольники так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. A₁A₂ и B₁B₂, A₂A₃ и B₂B₃ … A_nA₁ и BnB₁, были параллельными.

Теперь проведем отрезки A₁B₁, A₂B₂,
A₃B₃…A_nB_n. В итоге,
получим n четырехугольников A₁B₁B₂A₂,
A₂B₂B₃A₃…A_nB_nB₁A₁.

Указанные
четырехугольники являются параллелограммами. Рассмотрим например,
четырехугольник A₁B₁B₂A₂. Его противоположные стороны A₁A₂ и B₁B₂ равны и параллельны по построению. Следовательно, и
стороны A₁B₁ и A₂B₂ тоже равны и параллельны. Напомню, что
четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны,
называется параллелограммом. Значит, рассматриваемый нами
четырехугольник A₁B₁B₂A₂ – параллелограмм.

Построенный многогранник
A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n, называется n-угольной призмой.

Равные n-угольники
называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями
призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы,
называются боковыми ребрами призмы.

На рисунке, A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n – n-угольная призма. А₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n – основания призмы, параллелограммы A₁A₂B₂B₁,…, A_nA₁B₁B_n– боковые грани. А стороны A₁B₁,…, A_nB_n –
боковые ребра призмы. Все они равны и параллельны друг другу, как стороны
параллелограммов.

Отрезок, соединяющий две
вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B₁A₃, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от
того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в
основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если
четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной
призмой.

Теперь узнаем, что
называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и
проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и
пересекающую ее в точке B. Отрезок, AB называется высотой призмы.

В зависимости от того
перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и
наклонные.

Если все боковые ребра
призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой.
Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной.
На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у
прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а у наклонной призмы –
параллелограммы.

Прямая призма,
основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Объединение боковых
граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней
называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой
поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной
поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Это все нам известно с
курса геометрии базовой школы.

Сегодня мы выведем
новую формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Сформулируем и докажем теорему.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы.

Доказательство.

Выше мы уже вспоминали,
что все боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих
прямоугольников – стороны основания призмы. А высоты этих прямоугольников равны
высоте призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме
площадей каждой из боковых граней, то есть в случае прямой призмы это будет
сумма произведений сторон основания на высоту призмы.

Вынесем множитель р за
скобки, тогда в скобках получим сумму сторон основания призмы, другими словами
– в скобках мы получим периметр основания.

Тогда можно записать,
что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты на
периметр основания.

Решим несколько задач.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная
трапеция с основаниями, которые равны и .
Высота призмы равна .
Найти площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Решение.

Поскольку призма
прямая, то воспользуемся только что доказанной формулой.

Ответ. 400 см².

Решим еще одну задачу.

Задача. В правильной треугольной призме сторона основания
равна , а
высота призмы равна .
Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение.

Поскольку по условию
призма правильная, значит, она прямая. Применим только что доказанную формулу.

Запишем формулу для вычисления площади полной
поверхности призмы.

Ответ. 450 см²,
см²

Решим еще одну задачу.

Задача. Доказать, что площадь боковой поверхности наклонной
призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство.

В качестве примера, мы
возьмем треугольную призму, для других призм это утверждение доказывается
аналогично.

Перпендикулярным сечением
называется пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Для построения
перпендикулярного сечения выберем, например, на ребре BB₁ произвольно точку К. В плоскости грани AA₁B₁B через точку К проведем прямую KL перпендикулярную к ребру BB₁. Эта прямая будет
перпендикулярна к ребру AA₁,
поскольку ребра AA₁ и BB₁ параллельны.

Теперь через точку К в
плоскости грани BB₁C₁C
проведем прямую КМ перпендикулярную ребру BB₁. Тогда из того, что BB₁ перпендикулярно пересекающимся прямым KL и
КМ плоскости KLM следует, что BB₁ перпендикулярно плоскости KLM.

То есть построенное
сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. А значит, это и есть
перпендикулярное сечение призмы.

Тогда надо доказать,
что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру
треугольника KLM и бокового ребра BB₁.

Любая боковая грань
призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань ABB₁A₁. КL – это высота параллелограмма ABB₁A₁. Поэтому для нахождения площади этой грани можно
применить формулу:

В качестве основания мы
берем сторону BB₁, так как
высота проводилась к этой стороне.

Аналогично можно
записать:

Запишем формулу для
вычисления площади боковой поверхности. Заменим площадь каждой грани полученной
формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно . Перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Воспользуемся только
что доказанным утверждением.

Решим еще одну задачу.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная
трапеция с основаниями , и высотой .
Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Решение.

Для определения
двугранных углов, нам необходимо найти соответствующие линейные углы.

Ответ. 45°, 135°.

Подведем итоги
урока.

Сегодня на уроке мы
вспомнили, какая фигура называется призмой, основные элементы призмы. Виды
призм. Вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и
наклонных призм. Решили несколько конкретных задач.

Источник

Подумала уже сама))

ABCD – трапеция, АВ = DC.
Найдем двугранный угол между плоскостями ВВ₁С₁С и пл. поэтому– линейный угол искомого двугранного угла.
ВК=МС, КМ= 9 см.
ВК + МС = 25 – 9 = 16 см, ВК = МС = 8 см.
ΔАВК = ΔDCM, они прямоугольные и равнобедренные,
.
– линейный угол двугранного угла передней и боковой грани, = 135°.
Ответ: 45°, 135°, 45°, 135°.