Как найти координаты точки через вектор

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; – 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → – O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → – O A → = x b – x a , y b – y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , – 3 ) , B ( – 4 , – 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , – 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( – 4 – 2 , – 1 – ( – 3 ) ) = ( – 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , – 3 ) , A B → = ( – 6 , – 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b – 3 , y b – 5 , z b – 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b – 3 = 2 y b – 5 = 0 z b – 7 = – 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline$, а единичный вектор $overline$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

Так как векторы $overline$, $overline$ и $overline$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline<δ>$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

Три вектора $overline$, $overline$ и $overline$ будут называться координатными векторами.

Коэффициенты перед векторами $overline$, $overline$ и $overline$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

Линейные операции над векторами

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline<α>=(α_1,α_2,α_3)$, $overline<β>=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектора можно записать следующим образом

$overline<α>=α_1overline+ α_2overline+α_3overline$, $overline<β>=β_1overline+ β_2overline+β_3overline$

$overline<α>+overline<β>=α_1overline+α_2overline+α_3overline+β_1overline+ β_2overline+β_3overline=(α_1+β_1 )overline+(α_2+β_2 )overline+(α_3+β_3)overline$

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $overline<α>=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline<α>=α_1overline+α_2overline+α_3overline$, а

$loverline<α>=l(α_1overline+ α_2overline+α_3overline)=lα_1overline+ lα_2overline+lα_3overline$

Пусть $overline<α>=(3,0,4)$, $overline<β>=(2,-1,1)$. Найти $overline<α>+overline<β>$, $overline<α>-overline<β>$ и $3overline<α>$.

Решение.

$3overline<α>=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 07 2021

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

http://spravochnick.ru/geometriya/metod_koordinat_v_prostranstve/koordinaty_tochki_i_koordinaty_vektora_kak_nayti_koordinaty_vektora/

[/spoiler]

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Линейные операции над векторами

Содержание:

Система координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел (рис. 331). Координаты вы широко использовали для графического представления зависимостей, при решении систем уравнений, а также в геометрии, чтобы геометрическую задачу свести к задаче алгебраической.

Декартова система координат в пространстве

Чтобы ввести декартову систему координат в пространстве, выберем точку

Б) Вы знаете, что по координатам концов и отрезка на плоскости можно определить его длину:

Аналогичная формула выражает длину отрезка в пространстве через координаты его концов и

Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим плоскости, которые проходят через точки и перпендикулярно координатным осям. Получаем, что отрезок по сути является диагональю прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого параллельны координатным осям и имеют длины

и (рис. 334) (если же какие-либо из проведённых плоскостей совпадут, то параллелепипед превратится в прямоугольник или отрезок).

Ранее вы доказывали, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это утверждение остаётся истинным и в случае пространства (см. пример 2 в § 6): если и точка — середина отрезка то

Пример:

На оси ординат найдём точку, равноудалённую от точек и

Решение:

Пусть — искомая точка. Тогда и, поскольку то

или Отсюда

Ответ:

Пример:

Найдём условие, задающее геометрическое место точек, равноудалённых от начала координат и от точки

Решение:

Согласно геометрическим соображениям искомое множество состоит из всех тех точек, размещённых на серединных перпендикулярах к отрезку Такие точки заполняют плоскость, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему. Найдём условие, которому удовлетворяют координаты произвольной точки этой плоскости. Условие означает, что

Ответ: Искомое геометрическое место точек есть плоскость, которая задаётся уравнением

Пример:

Найдём условие, которому удовлетворяют координаты точек плоскости проходящей через точку перпендикулярно прямой где

Решение:

Пусть — произвольная точка плоскости Тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

Поскольку

то

или

Ответ:

Вектор. Действия над векторами

А) С векторами вы встречались в курсе физики девятого класса, когда знакомились с векторными величинами. Физическая величина является векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Такие величины, как сила, скорость и другие, обозначают направленными отрезками. Длина направленного отрезка (стрелки) характеризует числовое значение векторной величины (её модуль).

Особенностью понятия вектор является то, что все основные определения и свойства, связанные с этим понятием, формулируются почти одинаково как в планиметрии, так и в стереометрии.

Вектор в геометрии представляется направленным отрезком (рис. 336), начало которого считается началом вектора, а конец — концом вектора.

Расстояние между началом направленного отрезка и его концом считается длиной вектора.

Направленные отрезки и представляют один вектор, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину (рис. 337). В таком случае говорят, что векторы и равны, и пишут Векторы и равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков и (рис. 338).

Это напоминает ситуацию с дробями: определённое число может представляться разными дробями, например, дроби представляют одно и то же число. Дроби и равны тогда и только тогда, когда

Если вектор изображается направленным отрезком то говорят, что этот вектор отложен от точки Вектор можно, и при этом однозначно, отложить от любой точки.

Вектор, представленный направленным отрезком называют нулевым: Векторы, представленные направленными отрезками и называют противоположными и пишут

Если ненулевые векторы и отложены от одной точки: то угол называется углом между векторами и .

Ненулевые векторы и называют коллинеарными, если прямые и параллельны или совпадают. Нулевой вектор считают кол-линеарным с любым вектором.

Векторы можно складывать и умножать на число. Чтобы сложить векторы и можно один из них заменить таким равным ему вектором, чтобы конец первого направленного отрезка совпадал с началом второго:

и тогда сумма векторов представляется направленным отрезком (рис. 339).

Сложение векторов имеет переместительное свойство, т. е. сочетательное свойство, т. е. кроме того, уравнение всегда имеет единственное решение, которое называют разностью векторов и (рис. 340).

Произведением вектора на число является такой вектор что, во-первых, векторы и одинаково направлены при и противоположно направлены при и, во-вторых, длины векторов и связаны равенством (рис. 341). Векторы и являются коллинеарными. При этом верно равенство Если то произведением является нулевой вектор.

С действием умножения вектора на число связываются два распределительных свойства— и

Б) Если векторы и коллинеарны, то один из них можно выразить через другой: либо либо при определённых числах и

Для любых двух векторов существует плоскость, которой они параллельны. Векторы, параллельные одной плоскости, называют компланарными. Если векторы и неколлинеарны, то любой вектор компланарный с ними, можно однозначно выразить через векторы и : (рис. 342).

Истинно и обратное утверждение: если векторы и связаны равенством то они компланарны.

Действительно, если векторы и представить направленными отрезками с общим началом (рис. 343), то поэтому точки и находятся в плоскости

Теорема 1. Если векторы и некомпланарны, то для любого вектора существует такая единственная упорядоченная тройка действительных чисел что

Доказательство: Сначала докажем существование нужных чисел. Представим векторы и направленными отрезками с общим началом Через точку проведём прямую параллельно и пусть — точка пересечения прямой с плоскостью (рис. 344). Тогда Поскольку вектор ненулевой и векторы и коллинеарны, то существует такое число что А поскольку векторы и компланарны, а векторы и неколлинеарны, то существуют такие числа и что

Поэтому

Теперь докажем единственность представления. Допустим, что существуют две разные упорядоченные тройки чисел и при которых и Тогда и

Поскольку тройки чисел и различны, то числа на соответствующих местах не могут все совпадать. Пусть, например, В этом случае из последнего равенства можно выразить вектор Последнее равенство означает, что векторы и компланарны. Полученное противоречие с условием означает, что сделанное допущение о существовании двух разных троек чисел неверно.

Следствие 1. Из четырёх любых векторов пространства один может быть выражен через три других.

Действительно, если среди данных четырёх векторов пространства есть три некомпланарных, то четвёртый вектор можно через эти три выразить. Далее, если среди данных четырёх векторов пространства любые три компланарны, то может найтись среди них два неколлинеарных, или любых два вектора коллинеарны. В первом случае через эти два неколлинеарных вектора можно выразить третий и к полученному выражению прибавить четвёртый, умноженный на ноль. Во втором случае один из векторов можно выразить через другой и потом прибавить к этому выражению два оставшихся вектора, умноженных на ноль.

Таким образом, теперь вы знаете, что из двух коллинеарных векторов один может быть выражен через другой, из трёх компланарных векторов один может быть выражен через два других, а из четырёх любых векторов один может быть выражен через три других.

Пример №1

На кронштейне, состоящем из подкоса и растяжки подвешен груз. Кронштейн прикреплён к вертикальной стене растяжка занимает горизонтальное положение (рис. 345). Найдём силы, действующие на подкос и растяжку, если угол между ними равен a масса груза равна

Решение:

Сила тяжести выражается вектором направленным вниз по вертикали. Выразим его суммой векторов, которые коллинеарны векторам и Для этого построим параллелограмм с диагональю стороны которого расположены на прямых и (рис. 346).

Поскольку углы и являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых и и секущей то в прямоугольном треугольнике угол равен и катет равен Поэтому

и

Ответ. Под воздействием груза подкос сжимается с силой а растяжка растягивается с силой

Пример №2

В правильной четырёхугольной пирамиде точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость, проходящая через точки и параллельно прямой пересекает прямую в точке (рис. 347). Найдём отношение

Решение:

Поскольку то векторы и полностью определяют пирамиду. Поскольку векторы и коллинеарны, то вектор можно выразить через при определённом числе Вектор можно выразить через векторы и используя то, что точка находится в плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой Вектор компланарен с векторами и поэтому при определённых множителях и Выразим векторы и через векторы и

Имеем:

Поэтому

Учтём теперь то, что через некомпланарные векторы и каждый вектор пространства, в том числе и вектор выражается единственным образом. Поэтому должны одновременно выполняться условия: Отсюда получаем, что А поскольку то

В) Пусть в пространстве выбрана декартова система координат С каждой точкой пространства можно связать вектор Это соответствие между точками пространства и векторами является взаимно однозначным: различным точкам соответствуют различные векторы с началом и концами в этих точках, и различным векторам соответствуют различные точки пространства.

Будем говорить, что вектор имеет координаты в декартовой системе координат если и точка имеет координаты Это будем записывать:

Теорема 2. Если то

Доказательство: Пусть задана декартова система координат и Пусть также и Нужно доказать, что и

Поскольку то середины отрезков и совпадают.

Середина отрезка имеет координаты а середина отрезка — координаты Получаем:

Отсюда:

и

Теорема 3. Если то

Доказательство: Пусть задана декартова система координат и (рис. 348). Поскольку

то По теореме 2 получаем:

и

Поэтому

и

Значит, вектор имеет координаты

Докажем второе утверждение теоремы 3. Пусть сначала и Сравним одноимённые, например первые, координаты векторов и Для этого через точки и проведём плоскости, параллельные плоскости (рис. 349), которые пересекают ось в точках и Из подобия треугольников и следует, что Аналогично получается, что и

Если же то аналогичные рассуждения проводятся для рисунка 350. Векторы называют единичными координатными векторами.

Следствие 2. Если то

Пример №3

Дан параллелепипед Точки и — середины отрезков и соответственно (рис. 351). Выразим:

а) векторы и через векторы и

б) векторы и через векторы и

Решение:

а) Имеем:

б) Будем рассматривать полученные равенства –

как систему условий, из которой нужно найти и Из первого условия выразим

и исключим из двух других:

Теперь из последнего равенства выразим и исключим из предыдущего:

Далее можно последовательно выразить и через векторы

и

Пример №4

Через диагональ грани треугольной призмы проведена плоскость так, что она пересекает диагонали и граней в точках и соответственно (рис. 352). Найдём отношение учитывая, что

Решение:

Векторы и некомпланарны, поэтому через них можно выразить векторы и

Учтём, что и коллинеарны. Значит, существует такое число что

Аналогично, существует такое число что Кроме того,

и

Значит,

Из условия следует, что векторы и коллинеарны. Поэтому при определённом

Поскольку и учитывая однозначность разложения вектора по трём некомпланарным векторам, получаем, что Отсюда находим

Ответ:

Скалярное произведение векторов

А) Скалярным произведением векторов и называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов имеет переместительное свойство распределительное свойство кроме того, множитель можно выносить за знак скалярного произведения С помощью скалярного произведения можно находить длины векторов и косинусы углов между ними:

У нулевого вектора направление не определено, поэтому удобно считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому другому вектору.

С учётом этого получается следующее полезное утверждение: два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты в декартовой системе

равенством

Доказательство: Поскольку то

Находим далее:

Аналогично,

Поэтому

Пример №5

Найдём длину вектора

Имеем: Поэтому

Пример №6

Найдём угол между векторами и

Имеем:

Поэтому:

Пример №7

Найдём длину вектора равного учитывая, что векторы и перпендикулярны вектору а между собой образуют угол 60° и

Имеем:

Поскольку

Поэтому

Б) Вы знаете, что плоскость в пространстве можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой. Поскольку существует единственная плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно данной прямой, то плоскость можно задавать указанием одной из её точек и вектора, ей перпендикулярного.

Теорема 2. Если плоскость проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору то координаты любой точки этой плоскости удовлетворяют уравнению

Доказательство: Если — произвольная точка плоскости,

проходящей через точку перпендикулярно вектору

то векторы и перпендикулярны, а потому их скалярное произведение равно нулю:

Истинно и обратное утверждение.

Теорема 3. Уравнению в котором коэффициенты не равны нулю одновременно, удовлетворяет любая точка некоторой плоскости. Этой плоскости перпендикулярен вектор

Доказательство: Если есть уравнение и числа не равны нулю одновременно, то можно найти упорядоченную тройку чисел удовлетворяющую этому уравнению. Например, если то можно, взяв и найти значение переменной так, чтобы тройка чисел удовлетворяла уравнению

Поскольку то условия и равносильны. Получили, что исходное уравнение равносильно уравнению которому удовлетворяют координаты любой точки расположенной на прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору т. е. любой точки плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пример №8

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 1; 3), В(4; 1, 2) и С(5; 2; 1).

Решение:

Найдём координаты векторов и Поскольку координаты (2; 0; -1) и (3; 1; -2) этих векторов не пропорциональны, то сами векторы не коллинеарны, и, значит, точки и не лежат на одной прямой, они задают единственную плоскость.

Чтобы записать уравнение плоскости используя теорему 2, найдём вектор перпендикулярный этой плоскости. Поскольку и то и Из этих условий получаем: Таким образом, в качестве искомого вектора можно взять вектор с координатами (1; 1; 2).

Теперь можно записать уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно найденному вектору

или

В) Теорема 4. Если плоскость имеет уравнение то расстояние до неё от точки равно

Доказательство: Пусть из точки на данную плоскость опущен перпендикуляр основание которого — точка — имеет координаты

Тогда вектор коллинеарен с

вектором Поскольку угол между этими векторами равен 0°

или 180°, то откуда

Находим

поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости. Далее: А поскольку искомое расстояние равно длине вектора то требуемое утверждение обосновано.

Пример №9

Найдём расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

Решение:

Используя теорему 4, получаем:

Ответ: 5.

Применение векторов и координат

А) В ряде задач условие содержит сведения о параллельности некоторых прямых или об их точках пересечения, об отношениях длин параллельных отрезков. Для решения таких задач может быть полезным применение векторов, как это было при решении примера 3 из параграфа 12. При решении таких задач достаточно использовать действия сложения векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим ещё один пример.

Пример №10

Пусть и — параллелограммы в пространстве, — середины отрезков соответственно. Докажем, что середины отрезков и совпадают.

Решение. Выберем в пространстве точку Тогда положение каждой точки полностью характеризуется соответствующим вектором. Из условия

следует, что и Точки определяются

векторами

Чтобы доказать, что середины отрезков и совпадают, докажем, что

Находим:

А поскольку

и

то выражения в двух последних скобках принимают одинаковые значения. Требуемое утверждение доказано.

Б) При решении других задач целесообразно пользоваться скалярным умножением векторов. Такими являются задачи, в которых нужно использовать или определять некоторые расстояния или углы.

Пример №11

Найдём угол между скрещивающимися диагоналями соседних боковых граней правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты.

Решение:

Пусть нужно найти угол между прямыми и (рис. 370). Искомый угол может совпадать с углом между векторами, параллельными данным прямым, или дополнять его до 180°. Поэтому косинус искомого угла совпадает с модулем косинуса угла между векторами и

Выразим векторы и через некомпланарные векторы и Примем длину ребра призмы за а и найдём скалярное произведение векторов:

А поскольку

то

Ответ:

Скалярное произведение векторов можно использовать и для нахождения угла между плоскостями. Как и при определении угла между прямыми, так и при определении угла между плоскостями можно использовать векторы и только перпендикулярные рассматриваемым плоскостям:

Пример №12

У правильной шестиугольной призмы все рёбра имеют длину 1 (рис. 371). Найдём угол между плоскостями и

Решение:

Для получения ответа нужно определить векторы и перпендикулярные плоскостям и соответственно. Они должны удовлетворять условиям и

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре основания и точки и имеют координаты и соответственно. Тогда точки и будут иметь координаты и соответственно. Найдём координаты векторов и по координатам их концевых точек:

Поскольку то координаты вектора

удовлетворяют условиям и Этим условиям удовлетворяют числа Поэтому в качестве вектора, перпендикулярного плоскости можно взять вектор

Для нахождения вектора действовать будем аналогично. Координаты вектора перпендикулярного плоскости удовлетворяют условиям и удовлетворяют числа Поэтому

Используем равенство Поскольку угол между векторами и или совпадает с углом между плоскостями и

или дополняет его до 180°, то

Находим:

Ответ:

Для нахождения угла между прямой и плоскостью также можно использовать векторы, из которых один параллелен прямой, а другой перпендикулярен плоскости. Угол между этими векторами связан с углом между прямой и плоскостью равенством (рис. 372).

Пример №13

На рёбрах и куба отмечены точки и так, что (рис. 373). Найдём угол между прямой и плоскостью

Решение:

Примем точку за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам куба, взяв рёбра за единичные отрезки. Тогда определятся координаты нужных точек:

и

По теореме 3 из параграфа 13 уравнение плоскости имеет вид а поскольку координаты точек и удовлетворяют уравнению то это уравнение и есть уравнение плоскости а вектор этой плоскости перпендикулярен.

Прямой параллелен вектор Находим:

и

Ответ:

В) В предыдущем параграфе обсуждалось использование координат для вычисления расстояния от точки до прямой. Рассмотрим решение ещё двух задач на нахождение расстояний: от точки до прямой и расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пример №14

В правильной шестиугольной пирамиде все рёбра основания имеют длину 3, они вдвое короче боковых рёбер. На рёбрах и отмечены точки и так, что Найдём расстояние от точки до прямой

Решение:

Пусть — центр основания Поскольку и то из прямоугольного треугольника находим:

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре основания оси абсцисс и аппликат проходят через точки и соответственно и точка имеет неотрицательные координаты (рис. 374). Точки и имеют координаты и . Тогда точки и будут иметь координаты

и соответственно. Найдем координаты векторов и по координатам их концевых точек:

Искомое расстояние есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и равна высоте треугольника проведённой из точки Для её нахождения можно использовать формулу Поскольку

и

то

Теперь находим:

Ответ:

Пример №15

Измерения и прямоугольного параллелепипеда равны соответственно 5, 4 и 4. Точки и на рёбрах и выбраны так, что (рис. 375). Найдём расстояние между прямыми и

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми и можно найти как расстояние от какой-либо точки прямой до плоскости проходящей через прямую параллельно

Примем точку за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам параллелепипеда так, чтобы точки и имели координаты соответственно. Тогда Чтобы записать уравнение плоскости найдём координаты вектора перпендикулярного как вектору так и вектору Поскольку то координаты вектора должны удовлетворять равенствам и например

Теперь запишем уравнение плоскости используя координаты точки Для нахождения расстояния используем теорему 4 из параграфа 13:

Ответ:

Векторы в пространстве

Это интересно!

Основоположниками аналитической геометрии являются знаменитые ученые Декарт и Ферма. Однако Декарт свои исследования опубликовал первым. А исследования Ферма увидели свет намного позже, после его смерти. Интересно, что подойдя к проблеме с разных сторон, они пришли к одинаковым выводам. Декарт искал уравнение исследуемой кривой, а Ферма для заданного уравнения искал соответствующую кривую.

Применение правил алгебры к геометрии привело к возникновению аналитической геометрии. В последствии аналитическая геометрия была усовершенствована основателем математического анализа Исааком Ньютоном, который писал ” … я смог пойти дальше Декарта, только потому, что стоял на плечах гигантов”

Прямоугольная система координат в пространстве

Пусть мяч ударился о пол и отскочил вертикально вверх. Координаты мяча в точке на полу можно определить относительно длины и ширины комнаты двумя значениями. Однако когда мяч отскочил от пола, то его положение уже невозможно определить двумя координатами. Если положение мяча на полу определяется как то после поднятия на высоту 2,5 м его положение в пространстве задается уже гремя координатами

Прямоугольная система координат в пространстве. В пространстве возьмем произвольную точку и проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые линии. Примем точку за начало координат и, выбрав на этих прямых положительное направление и единичный отрезок, назовем эти прямые координатными осями Начало координат делит каждую ось на две полуоси (положительную и отрицательную). Пересекаясь попарно, три координатные оси образуют координатные плоскости. Плоскость берется но горизонтали, положительное направление оси проводится по направлению вверх. Трехмерная система координат, образованная по данному правилу, называется еще системой правой руки. Если согнуть пальцы правой руки от положительного направления оси вдоль положительного направления оси то большой палец будет направлен вдоль положительного направления оси

• начало координат
• координатные оси
• координатные плоскости

Координатные плоскости обозначаются как и

Каждая координатная плоскость делит пространство на два полупространства и, таким образом, три координатные плоскости вместе делят пространство на восемь частей, каждая из которых называется октантом:

Пусть точка произвольная точка в пространстве. Параллельно плоскостям и через точку проведем плоскости, которые пересекают соответствующие координатные оси в точках и Получим три плоскости:

Координаты точки в пространстве

1) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

2) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

3) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

Значит, каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка и наоборот:

Упорядоченная тройка в прямоугольной системе координат называется координатами точки и декартовыми координатами. Расстояние от точки до плоскостей и соответствует абсолютным значениям координат Числа соответственно называются абсциссой, ординатой и аппликатой точки и это записывается так:

1) Начало координат:

2) Точка, расположенная на оси

Точка, расположенная на оси

Точка, расположенная на оси

3) Точка, расположенная на плоскости

Точка, расположенная на плоскости

Точка, расположенная на плоскости

Точка в пространстве расположена в I октанте, точка расположена на отрицательной полуоси точка расположена на плоскости точка расположена в III октанте.

Знаки координат точки

Знак координаты точки зависит от того, в каком октанте расположена точка. В следующей таблице показаны знаки координат точек в различных октантах.

В первом октанте все знаки координат положительны, в седьмом октанте все знаки отрицательны.

Пример №16

В прямоугольной системе координат в пространстве постройте точки:

Решение: а) для построения точки от начала координат но оси в положительном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 4-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку

b) для построения точки от начала координат по оси в отрицательном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку от точки вдоль отрицательного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку

Пример №17

От точки к осям координат проведены перпендикуляры. Запишите координаты оснований перпендикуляров, соответствующих точкам и

Решение: для точки основания перпендикуляра, проведенного из точки на ось координаты и равны нулю. Значит, координаты точки – Аналогично, координаты остальных точек – и

Пример №18

От точки к плоскостям и проведены перпендикуляры. Запишите координаты точек и которые являются основаниями перпендикуляров.

Решение: координата точки основания перпендикуляра, опущенного от точки на плоскость равна нулю. Значит, точка имеет координаты Аналогично находят координаты других точек: и

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между точками и вычисляется но формуле

Доказательство. Пусть диагональ параллелепипеда с ребрами и которые параллельны координатным осям Из прямоугольного треугольника прямой) имеем: Из прямоугольного треугольника прямой) имеем:

Учитывая, что

получаем,

Расстояние от начала координат

В прямоугольной системе координат в пространстве расстояние от точки начала координат до любой точки вычисляется по формуле:

Пример №19

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками.

Докажите, что точки и являются коллинеарными точками, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Решение:

Так как то точки и расположены на одной прямой, т. е. они коллинеарны.

Пример №20

Найдите координаты точки, расположенной на оси абсцисс и равноудаленной от точек и

Решение: если точка расположена на оси абсцисс, значит ее координаты- Так как точка равноудалена от точек и то или По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Значит, точка расположена на оси абсцисс и равноудалена от точек и

Координаты точки, делящей отрезок в некотором отношении

Координаты точки делящей отрезок с концами в точках

и в отношении находятся как:

Доказательство: пусть точка делит отрезок в заданном отношении. Через точки и к плоскости проведем перпендикуляры и и через точки перпендикуляры и к оси По рисунку видно, что и

На основе теоремы о пропорциональных отрезках имеем:

Аналогично, используя перпендикуляры к осям и можно определить координаты и

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка, соединяющих точки и находятся следующим образом:

Координаты центра тяжести треугольника

Координаты центра тяжести треугольника (точка пересечения медиан) с вершинами в точках и находятся следующим образом:

(проверьте сами)

Пример №21

Даны точки и Найдите

координаты точки которая делит отрезок как

Решение: пусть точка имеет координаты Эта точка делит отрезок в отношении По формуле нахождения координаты

точки, делящей отрезок в заданном отношении, получаем:

Пример №22

Даны координаты двух вершин треугольника и Найдите координаты третьей вершины, если центр тяжести треугольника совпадает с началом координат.

Решение: так как центр тяжести находится в начале координат, то:

Отсюда,

Значит, третьей вершиной треугольника является точка

Векторы в пространстве

Векторной величиной или вектором называется величина, которая определяется не только значением, но и направлением. Изображается вектор направленным отрезком. Длина отрезка, образующего вектор, называется длиной вектора или его модулем.

Вектор можно изобразить в одномерной, двухмерной и трехмерной системе координат.

Вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым вектором. Направление нулевого вектора не определено. Местоположение любой точки (объекта) в пространстве изображается вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой. Например, на рисунке изображен вектор, показывающий положение мяча в пространстве, который брошен на высоту 3 м на игровой площадке, длина которой равна 4 м, а ширина 2 м.

В пространстве вектор, который определяет место (положение, позицию) точки и соединяет начальную и заданную точку, называется позиционным вектором или радиус – вектором. Каждой точке пространства соответствует единственный позиционный вектор. Положение точки в пространственной системе координат определяет вектор – вектор, заданный компонентами.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. Равные векторы, при помощи параллельного переноса, можно расположить друг на друге. Например, на рисунке векторы и равны. Для позиционного вектора можно провести бесконечно много равных по модулю и направлению векторов. В пространстве вектор с началом в точке и концом в точке записывается компонентами как Соответствующие компоненты равных векторов равны и наоборот. Векторы, которые равны по модулю, но имеют противоположные направления, называются противоположными векторами.

В пространстве, как и на плоскости, можно геометрически построить сумму и разность векторов, и произведение вектора на число.

Найти компоненты и длину вектора, а также выполнить действия над векторами в пространственной Декартовой системе координат можно но правилам, аналогичным для прямоугольной системы координат на плоскости.

Длина вектора

Модуль вектора можно найти, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Теорема. Если начало вектора расположено в точке а конец в точке то длина вектора вычисляется по формуле:

Следствие. Длина радиус-вектора равна (находится по формуле нахождения расстояния от начала координат до точки).

Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов: суммой (разностью) векторов и является вектор, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент векторов, т. е. сумма (разность) векторов и равна вектору:

Пример №23

Найдите сумму и разность векторов и

Решение:

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число: произведение вектора на действительное число к определяется как вектор Для произведения вектора на действительное число справедливы следующие правила:

Пример №24

Для вектора и запишите компонентами вектор

Решение:

Коллинеарные векторы

Если направленные отрезки, которыми изображены векторы, параллельны или лежат на одной прямой, то вектора называются коллинеарными. Если векторы и коллинеарны, тогда существует единственное число которое удовлетворяет условию При векторы сонаправленные, при они направлены в противоположные стороны. Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

При это условие запишется как:

Пример №25

Определите, являются ли расположенные в пространстве векторы и коллинеарными.

Решение: так как вектор и коллинеарны и сонаправлены.

Пример №26

Постройте радиус-вектор, равный вектору

Решение: в _соответствии с правилом треугольника Точкам и соответствуют радиус-векторы и

По правилу сложения векторов на плоскости Отсюда,

Пример №27

В трехмерной системе координат задан вектор с началом в точке и концом в точке а) Найдите длину вектора б) Запишите компонентами радиус-вектор, равный вектору

Решение: а)

b) Обозначим вектор, равный вектору через Тогда точке

соответствует радиус-вектор точке соответствует

радиус-вектор

Так как то

Пример №28

Установите справедливость равенства для точек и

Решение:

Из равенства соответствующих компонентов следует

Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными векторами. Например, векторы, расположенные на противолежащих гранях куба, компланарны, а векторы, направленные по трем ребрам выходящим из одной вершины, некомпланарны.

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.

Для любого, отличного от нуля вектора вектор вида является единичным вектором. 1 1

Пример №29

Для вектора а) найдите единичный сонаправленный вектор b) запишите компонентами вектор сонанравленный вектору длина которого равна 10 единицам.

Решение: обозначим единичный вектор через

Проверим, действительно ли длина этого вектора равна единице:

b) чтобы определить вектор, сонаправленный с вектором длиной 10 единиц, надо компоненты единичного вектора, найденного в пункте а, увеличить в 10 раз.

В прямоугольной системе координат в пространстве векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей и определенные как и при

называются орт векторами. Понятно, что векторы

– некомпланарны.

Любой позиционный вектор и на плоскости, и в пространстве, можно выразить через орт вектора. На плоскости точке соответствует позиционный вектор в пространстве точке соответствует вектор Данное выражение называется записью вектора компонентами. Здесь числа координаты точки

Теорема. Любой вектор можно разложить но орт векторам единственным образом, при этом справедливо равенство

Пример №30

Вектор началом которого на плоскости является точка а концом точка выразите через орт вектора.

Решение: зная, что получим

Пример №31

Запишите разложение вектора в пространстве по орт векторам.

Решение: по теореме разложения вектора по орт векторам имеем:

Пример №32

а) Запишите в виде позиционный вектор, соответствующий точке

b) Запишите вектор компонентами в виде

Решение: а) начало позиционного вектора совпадает с началом координат Таким образом вектор имеет вид

Пример №33

Найдите сумму и разность векторов.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов

Тележка переместилась на расстояние по прямой под действием силы направленной под углом наклона Вычислите совершаемую работу: если значение силы равно то На горизонтальном пути работа вертикальной компоненты силы равна нулю. Тогда работа, совершаемая горизонтальной компонентой силы на расстоянии будет:

Работа, совершаемая при перемещении груза на расстояние равна произведению длины вектора перемещения и значения компонента вектора силы направленной вдоль перемещения.

Работа является скалярной величиной, однако ее значение зависит от угла между силой, действующей на тело, и вектором перемещения.

Скалярное произведение двух векторов

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Ясно, что

Скалярное произведение двух ненулевых векторов и равно произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение записывается как:

Значит,

Свойство скалярного произведения

• Для любого вектора справедливо равенство то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Переместительное свойство скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливо равенство

Свойство группировки скалярного произведения. Для любых векторов и и действительного числа справедливо равенство

Распределительное свойство скалярного произведения:

1) Для любых векторов, и действительного числа справедливо следующее равенство 2) Для любых векторов справедливо равенство

В частном случае, для скалярного произведения орт векторов получим:

Пример №34

По данным на рисунке найдите скалярное произведение векторов и

Решение:

Пример №35

Упростите выражение используя свойство скалярного произведения векторов.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов на координатной плоскости можно найти при помощи координат.

Пусть даны векторы и По определению скалярного произведения имеем

Из получаем

По теореме косинусов получаем

а это значит, что

Таким образом, скалярное произведение двух векторов и равно сумме произведений соответствующих компонент.

Аналогичным образом, скалярное произведение двух векторов и в трехмерной, Декартовой системе координат находится как: .

Пример №36

Зная, что найдите скалярное произведение

Решение:

Угол между двумя векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами находится из соотношения , здесь

Пример №37

Найдите косинус угла между векторами и

Решение:

Вывод: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

Пример №38

При каком значении вектора и взаимно перпендикулярны?

Решение: при имеем

Общее уравнение прямой

В системе координат на плоскости уравнение прямой имеет вид Это уравнение называется общим уравнением прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к данной прямой или нормалью. Покажем, что общее уравнение прямой с нормалью имеет вид Пусть заданная точка на прямой, а точка произвольная точка на прямой, отличная от точки а вектор – нормаль к прямой.

Так как векторы и перпендикулярны, то