Пример
1. Найти оригинал для изображения
Решение.
Преобразуем
на основании теоремы смещения:имеем
Тогда,
Пример
2. Найти оригинал для изображения
Решение.
Пример
3. Найти оригинал для изображения
Решение.
Пример
4. Найти оригинал для изображения
Решение.
Пример
5. Найти оригинал для изображения
Решение.
Пример 6. Найти
оригинал для изображения
Решение.
Пример 7. Найти
оригинал для изображения
Решение.
Пример 8. Найти
оригинал для изображения
Отсюда следует
равенство
Для
нахождения
используем метод частных значений.
При:
поэтому
Пример 9. Найти
оригинал для изображения
Решение.
Отсюда следует
равенство:
При:
Приравнивая
коэффициенты приполучим:
Тогда
Пример
10. Найти оригинал для
Пример
11. .Найти оригинал для .
Решение.
Так
как
,,
то по теореме Бореля
Пример
12. Найти оригинал для изображения
Решение.
Так
как
,,
то используя интеграл Дюамеля, получим
Вычислим:
Отсюда:
Этот пример можно
решить иначе.
Отсюда следует
равенство:
Тогда:
2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
Будемпредполагать,
что
функция аналитическая во всей комплексной
плоскостиp,
за исключением,
конечного числа особых точек
и удовлетворяет условию
,
а также предполагается аналитичностьв бесконечно удаленной точке. Для
вычисленияпоступим следующим образом. Возьмем
контур Г, состоящий из дугиBA
окружности
и отрезкаAB
(рис.7.2).
Радиус
R
выберем таким большим, чтобы все особые
точки попали в область, ограниченную
контуром Г, тогда:
Особый
интерес представляет собой случай,
когда
приисчезает.
Лемма
Жордана.
Если
настремится к нулю приравномерно относительно,
то для любого
Итак,
при
и выполнении условия леммы Жордана
имеем
откуда
по формуле обращения получим:
(7.2)
Формулу
(7.2) называют второй теоремой разложения.
Она позволяет в самом общем случае найти
оригинал по его изображению. Но очень
часто F(p)
представляет собой дробно-рациональную
функцию, что позволяет упростить
вычисления оригиналов.
Пусть
,
где
А(р)
и В(р)–
многочлены степени m
и n,
соответственно, причем m<n.
1.Случай
простых полюсов.
Применяя
формулу для нахождения вычета относительно
простого полюса от функции представимой
в виде частного двух выражений, получим:
(7.3)
Здесь
простые полюса.
2.Случай
кратных полюсов.
Пусть
–
полюсы кратностии таких различных полюсов будетl,
тогда
(7.4)
3.Случай
комплексно – сопряженных полюсов:
Пусть
имеет простые комплексно – сопряженные
корнии.
Мы знаем, что комплексно- сопряженные
корни появляются парами, а т.к. мы
рассматриваем полиномыА(р)
и В(р)
с действительными коэффициентами, то
после подстановки корней получим
сопряженные выражения т.е.
Теперь
после подстановки корней в (7.3) мы получим,
что выражение от пары комплексно-
сопряженных корней дают:
.
В результате
получим формулу для данного случая
(7.5)
Рассмотрим примеры
нахождения оригиналов.
Пример 1. Найти
оригинал для изображения
.
Решение.
Пример 2. Найти
оригинал для изображения
Решение.
Пример 3. Найти
оригинал для изображения
Решение.
Так как изолированные особые точки
иполюса второго порядка являются
комплексно сопряженными, то
Пример
4. Найти оригинал, если дано изображение
Решение.
1 способ
Преобразуем
,
и воспользуемся теоремой интегрирования
оригинала:
Так
как
то
2 способ
Преобразуем
.
тогда
.
3 способ
Так
как
имеет две изолированные особые точки:– простой полюс и– полюс третьего порядка, то
Найдем:
4 способ
Так
как
аипо теореме Бореля
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)
Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.
Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:
$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$
Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Как найти изображение функции
Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению
$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$
Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.
Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $
Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).
Как найти оригинал функции
Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где
$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$
Задача 6. Найти оригинал изображения
$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$
Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов
$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$
Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом
$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$
Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления
$$x”+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$
Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$
Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка
$$x”’+x”-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x”(0)=2.$$
Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$
Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения
$$x”’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x”(0)=0.$$
Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа
$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$
Как решить интегральное уравнение
Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения
$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$
Задача 16. Решить интегральное уравнение
$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$
Как найти свертку функций
Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа
Дополнительная информация
- Онлайн-помощь по математическому анализу
- Дифференциальные уравнения – задачи с решениями
- Как решать ДУ с помощью операционного исчисления
Вариант 9
Задание 1.
Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.
.
Решение.
Пусть . Так как .
Найдем
Следовательно
Тогда
.
Это есть алгебраическая форма числа.
Найдем модуль и аргумент числа z.
.
.
Запишем число в показательной и тригонометрической формах.
.
Ответ: .
Задание 2.
Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.
.
Решение.
Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что .
Известно, что .
Обозначим . Получаем уравнение:
,
,
Отсюда
.
Ответ: .
Задание 3.
Определить при каких значениях параметра , функция является мнимой частью некоторой регулярной функции . Восстановить .
Решение.
Определим параметр .
Из условия .
, ,
, .
Тогда согласно условию
Это равенство выполняется при .
Зануляет саму функцию. Рассматриваем .
Тогда .
Восстановим .
Используем условие Коши – Римана
Найдем частные производные функции .
, .
Тогда по условию Коши – Римана
.
.
Снова используем условие Коши – Римана
,
.
Получим .
Ответ: .
Задание 4.
Дана функция и множество .
1) Изобразить множество на комплексной плоскости.
2) Найти образ множества при отображении (описать множество С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.
,
Решение.
1) Изобразим множество
Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.
Второму неравенству соответствует угол между лучами и .
Луч не входит в область, входит.
2)
А)
Область остается неизменной.
Б)
– коэффициент растяжения функции.
Тогда получим область
В). Это есть перенос на (-2+i).
Получим искомую область Е/:
Задание 5.
Дана функция И точка .
1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням . Указать области, в которых справедливы полученные разложения.
2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, .
Решение.
1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е. .
Найдем коэффициенты A, B и С.
,
,
Получили .
У функции три особые точки , И .
Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:
I);
II);
III).
А) Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Используем разложение , .
Значит при и при , т. е. при и При можно получить разложения полученных выражений в ряд:
Аналогично,
.
Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:
.
Б) При и при Полученные ряды расходятся.
Представим функции по-другому:
,
.
Используем разложение , .
Причем полученные ряды сходятся при и при ,т. е. при и при .
Тогда в кольцах и Получим разложение функции В ряд Лорана
.
2) Точка не является изолированной особой точкой функции .
Вычет в этой точке равен 0.
3) Точка является устранимой особой точкой. Вычет в этой точке равен 0.
Задание 6.
Дана функция и дано число .
1) Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .
2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, .
Решение.
1) Функция аналитическая при всех .
В этой области воспользуемся разложением функции .
Тогда
.
2) Точка является существенно особой. Вычет в этой точке равен ∞.
3) Точка не является устранимой особой точкой, так как
Вычет в этой точке равен .
Задание 7.
Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.
, .
Решение.
Функция имеет особые точки .
Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:
Получается, что в круге лежат обе особые точки .
Так как – полюс первого порядка, то интеграл равен
,
Так как – полюс второго порядка, то интеграл равен
Ответ: .
Задание 8.
Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.
, .
Решение.
Рассмотрим функцию .
Она имеет два полюса: и .
Вычислим вычеты:
,
.
Тогда интеграл равен
Ответ: .
Задание 9.
Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области (каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).
, .
Решение.
Пусть , где и .
При , имеем , , т. е. .
По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге .
Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.
Пусть , где и .
При , имеем , , т. е. .
По теореме Руше четыре нуля функции Лежит в круге .
Значит, в области содержится два нуля.
Ответ: 2 нуля.
Задание 10.
С помощью вычетов найти оригинал изображения . Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )
.
Решение.
.
Рассмотрим функцию .
Найдем корни уравнения ,
, , – это особые точки второго порядка для данной функции.
Найдем вычеты в особых точках
,
,
.
Тогда
.
Оригинал равен .
Проверим по таблице основные оригиналы и изображения:
, , .
Тогда
. Следовательно, оригинал найден верно.
Ответ: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|
Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)
Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.
Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:
$$F(p) = int_0^infty f(t) e^<-pt>dt$$
Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.
Как найти изображение функции
Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению
Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.
Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^<-3tau>dtau. $
Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).
Как найти оригинал функции
Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где
Задача 6. Найти оригинал изображения
Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов
Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом
Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления
Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка
Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения
Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа
Как решить интегральное уравнение
Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения
$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$
Задача 16. Решить интегральное уравнение
$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$
Как найти свертку функций
Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Преобразование Лапласа с примерами решения и образцами выполнения
Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье
с ядром K(t, ξ) = .
Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t,
Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения.
Определение:
Функцией-оригиналом будем называть всякую комплекснозначную функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:
- f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном интервале оси t таких точек может быть лишь конечное число;
- функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при t 0 и з такие, что для всех t
Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = s1, то оно будет выполнятся при всяком s2 > s1.
Точная нижняя грань sо всех чисел s, so = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t).
Замечание:
В общем случае неравенство
не имеет места, но справедлива оценка
где ε > 0 — любое. Так, функция f(t) = t, t ≥ 0, имеет показатель роста so =0. Для нее неравенство |t| ≤ М ∀t ≥ 0 не выполняется, но ∀ε > О, ∀t > 0 верно неравенство
Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*).
Пример:
не удовлетворяет условию (*), но условие (1) выполнено при любом s ≥ 1 и М ≥ 1; показатель роста so = 1. Так что f(t) является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция
не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, sо = +∞. Простейшей функцией-оригиналом является
так называемая единичная функция
Если некоторая функция φ(t) удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение f(t) = φ(t) η(t) уже является функцией-оригиналом.
Для простоты записи мы будем, как правило, множитель η(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t) например, о sin t, cos t, e t и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2):
Определение:
Пусть f(t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного р = s + iσ, определяемая формулой
где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции f(t); ядро преобразования K(t, р) = e -pt .
Тот факт, что функция f(x) имеет своим изображением F(p), будем записывать так:
Пример:
Найти изображение единичной функции η(t).
Функция является функцией-оригиналом с показателем роста s0 = 0. В силу формулы (2) изображением функции η(t) будет функция
Если р = s + iσ, то при s > 0 интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим
так что изображением функции η(t) будет функция 1/p. Как мы условились, будем писать, что η(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так:
Теорема:
Для всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста sо изображение F(p) определено в полуплоскости Re p = s > So и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3).
Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при s > so. Используя (3), получаем
что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Re р = s > so
Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим
Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2).
Применяя для F'(p) интегрирование по частям, получаем оценку
откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое — при t → + ∞ имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Re р ≥ S1 > So интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом
не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо.
Поскольку производная F'(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Re p = s > sо является аналитической функцией.
Из неравенства (4) вытекает
Следствие:
Если точка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то
Пример:
Найдем еще изображение функции f(t) =, где а = а + iβ — любое комплексное число.
Показатель роста sо функции f(t) равен а.
Считая Rep = s> а, получим
При а = 0 вновь получаем формулу
Обратим внимание на то, что изображение функции является аналитической функцией аргумента р не только в полуплоскости Re p > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Re p > So функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Re p = So, или на самой этой прямой.
Замечание:
В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции f(t) по Хевисайду, определяемым равенством
и отличаюикмся от шоСражения по Лапласу множителем р.
Свойства преобразования Лапласа
В дальнейшем через f(t), φ(t), … будем обозначать функции-оригиналы, а через F(p), Ф(р), … — их изображения по Лапласу,
Из определения изображения следует, что если f(t) = 9 ∀t, то F(p) = 0.
Теорема единственности:
Теорема:
Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение:
— показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно).
На основании этого свойства получаем
Аналогично находим, что
(4)
Теорема подобия:
Если f(t) — функция-оригинал и F(p) — ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > 0
Полагая at = т, имеем
Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем
Теорема:
О дифференцировании оригинала. Пусть f(t) является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть — также функции-оригиналы, — показатель роста функции (k = 0, 1,…, п). Тогда
Здесь под fk(0) (k = 0,1,… , п — 1) понимается правое предельное значение .
Пусть f(t) = F(p). Найдем изображение f'(t). Имеем
Интегрируя по частям, получаем
Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при t → + ∞, т. к. при Re р = s > имеем
подстановка t = 0 дает -f(0).
Второе слагаемое справа в (10) равно pF(p). Таким образом, соотношение (10) принимаетвид
и формула (8) доказана. В частности, если f(0) = 0, то f'(t) = pF(p). Для отыскания изображения запишем
откуда, интегрируя п раз по частям, получим
Пример:
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin 2 t.
Пусть f(t) = F(p). Тогда
Но f(0) = О, а f'(0) = 2 sin t cos t = sin 2t = . Следовательно, = pF(p), откуда F(p) =
Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р.
Формула включения. Если f(t) и f'(t) являются функциями-оригиналами, то (11)
В самом деле, f'(
Так как функция F(p) в полуплоскости Rep = s > so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем
Последнее как раз и означает, что
Пример:
Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции .
Как известно, 1 = 1/p. Здесь f(t) = 1, F(p) = 1/p. Отсюда (1/p)’= (-t) • 1, или = t. Вновь применяя теорему 6, найдем
Теорема:
Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р: если f(t) = F(p), то
Нетрудно проверить, что если f(t) есть функция-оригинал, то и φ(t) будет функцией-оригиналом, причем φ(0) = 0. Пусть φ(t) = Ф(р). В силу (14)
С другой стороны, f(t) =’ F(p), откуда F(p) = рФ(р), т.е. Ф(р) =.
Последнее равносильно доказываемому соотношению (13).
Пример:
Найти изображение функции
В данном случае f(t) = cos t, так что F(p) = . Поэтому
Теорема:
Интегрирование изображения. Если f(t) = F(p) и интеграл сходится, то он служит изображением функции
Предполагая, что путь интегрирования (р, ∞) лежит в полуплоскости Re p ≥ а> so, мы можем изменить порядок интегрирования (t > 0):
Последнее равенство означает, что является изображением функции .
Пример:
Найти изображение функции .
Как известно, sin t = .
Теорема запаздывания:
Положим ξ = t- τ. Тогда dt = d ξ. При t = τ получаем ξ = 0, при t = + ∞ имеем ξ = + ∞.
Поэтому соотношение (16) принимает вид
Пример:
Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис. 5).
Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде:
Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию f1(t) = η(t) для t ≥ 0 (рис. 6 а) и вычтем из нее функцию
Разность f(t) — h(t) будет равна единице для t ∈ [0,1) и -1 для t ≥ 1 (рис. 6 b). К полученной разности прибавим функцию
В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что
Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем
Теорема смещения:
Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию , например,
Свертка функций. Теорема умножения
Пусть функции f(t) и φ(t) определены и непрерывны для всех t. Сверткой (f *φ)(t) этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством
(если этот интеграл существует).
Для функций-оригиналов f(t) и φ(t) операция свертки всегда выполнима, причем
(17)
В самом деле, произведение функций-оригиналов f( τ ) φ(t — τ), как функция от τ, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка 0 ≤ τ ≤ t). Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу (17).
Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна,
Теорема умножения:
Нетрудно проверить, что свертка (f * φ)(t) функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста s* = mах, где s1, s2
показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно. Найдем изображение свертки,
Воспользовавшись тем, что
Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (при Re р = s > s* такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим
Таким образом, из (18) и (19) находим
— умножению изображений отвечает свертывание оригиналов,
Пример:
Найти изображение функции
Функция ψ(t) есть свертка функций f(y) = t и φ(t) = sin t. В силу теоремы умножения
Задача:
Пусть функция f(t), периодическая с периодом Т, есть функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F[p) дается формулой
Отыскание оригинала по изображению
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию f(t). изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема:
Если аналитическая в полуплоскости Rep = s > so функция F(p)
1) стремится к нулю при |р| —» + ∞ в любой полуплоскости Re р = а > So равномерно относительно arg р;
сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f
Задача:
Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) — дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример:
Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде:
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример:
Найти оригинал для функции
Запишем F(p) в виде
Отсюда f(t) = t — sin t.
Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема обращения:
где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = s > So и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) — кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке [0, а] функция-оригинал-с показателем роста so. Рассмотрим функцию φ(t) = , где s>so — любое.
Функция φ(t) удовлетворяет условиям применимости интегральной формулы Фурье, и, следовательно, справедлива формула обращения преобразования Фурье,
(φ(t) ≡ 0 при t
откуда получаем формулу обращения преобразования Лапласа
Как следствие из теоремы обращения получаем теорему единственности.
Теорема:
Две непрерывные функции f(t) и φ(t), имеющие одно и то же изображение F(p), тождественны.
Непосредственное вычисление интеграла обращения (1) обычно затруднительно. Отыскание оригинала по изображению упрощается при некоторых дополнительных ограничениях на F(p).
Теорема:
Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция с полюсами р1, p2….pп. Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η(t), где
Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция, F(p) = , где А(р), В(р) — многочлены относительно р (взаимно простые), причем степень числителя А(р) меньше степени знаменателя В(р), т. к. для всякого изображения должно выполняться предельное соотношение
Пусть корни знаменателя В(р), являющиеся полюсами изображения F(p), суть р1, р2, …, рп, а их кратности равны r1, r2, …, rп соответственно.
Если число s, фигурирующее в формуле (1), взять большим всех Re pk (k = 1,2,…, п), то по формуле обращения, которая в этих условиях применима, получим
Рассмотрим замкнутый контур ГR (рис.7), состоящий из дуги CR окружности радиуса R с центром в начале координат и стягивающей ее хорды АВ (отрезка прямой Re р = s), и проходимый в положительном направлении, причем радиус R настолько велик, что все полюсы F(p) лежат внутри ГR.
По теореме Коши о вычетах при любом R, удовлетворяющем указанному условию, будем иметь
Второе слагаемое слева в равенстве (5) стремится к нулю при R → ∞. Это следует из леммы Жордана, если в ней заменить р на iz и учесть, что F(p) → 0 при Re p → + ∞. Переходя в равенстве (5) к пределу при R → ∞, мы получим слева
а справа — сумму вычетов по всем полюсам функции F(p)
Замечание:
Воспользовавшись формулой для вычисления вычетов, найдем, что
Если все полюсы p1, р2,…, рn — простые, то
и формула (6) принимает вид
Пример:
Найти оригинал для функции
Функция F(p) имеет простые полюсы р1 = i. p2 = -i. Пользуясь формулой (7), находим
Теорема:
Пусть изображение F(p) является аналитической функцией в бесконечно удаленной точке р = ∞, причем ее разложение в окрестности |р| > R бесконечно удаленной точки имеет вид
Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η
Пример:
Приложения преобразования Лапласа (операционного исчисления)
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(1)
(ао, а1, а2 — действительные числа) и требуется найти решение уравнения (1) для t > 0, удовлетворяющее начальным условиям
Будем считать, что f(t) есть функция-оригинал. Тогда x(t) — также функция-оригинал. Пусть
f(t) = F(p), x(t) = X(p).
По теореме о дифференцировании оригинала имеем
Перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям. Имеем
Это уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно изображения Х(р) искомой функции. Его называют операторным уравнением. Решая его, найдем операторное решение задачи (1)-(2) —
Оригинал для Х(р) будет искомым решением х(t) задачи (1)-(2).
Общий случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами от случая п = 2 принципиально ничем не отличается.
Приведем общую схему решения задачи Коши
Здесь означает применение к 1 преобразование Лапласа, — применение к III обратного преобразования Лапласа.
Пример:
Решить задачу Коши
По теореме о дифференцировании изображения
Формула Дюамеля
В приложениях операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений часто пользуются следствием из теоремы умножения, известным под названием формулы Дюамеля.
Пусть f(t) и φt) — функции-оригиналы, причем функция f(t) непрерывна на [0, + ∞), a φ(t) — непрерывно дифференцируема на [0,+ ∞). Тогда если f(t) = F(p), φ
Нетрудно проверить, что функция ψ(t) непрерывно дифференцируема на [0, + ∞), причем
Отсюда, в силу правила дифференцирования оригиналов, учитывая, что ψ(0) = 0, получаем формулу Дюамеля
(4)
Покажем применение этой формулы.
Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами
при нулевых начальных условиях
(последнее ограничение несущественно: задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями заменой искомой функции).
Если известно решение x(t) дифференциального уравнения с той же левой частью и правой частью, равной единице,
L[x(t)] = l (7)
при нулевых начальных условиях
то формула Дюамеля (4) позволяет сразу получить решение исходной задачи (5)-(6).
В самом деле, операторные уравнения, отвечающие задачам (5)-(6) и (7)-(8), имеют соответственно вид
где F(p) — изображение функции f(t). Из (9) и (10) легко находи
Отсюда по формуле Дюамеля
или, поскольку x1(0) = 0, (11)
Пример:
Решить задачу Коши
Рассмотрим вспомогательную задачу
Применяя операционный метод, находим
По формуле (11) получаем решение x(t) исходной задачи:
Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Интегрирование систем осуществляется так же, как и решение одного линейного дифференциального уравнения — путем перехода от системы дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений. Решая последнюю как систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, получаем операторное решение системы. Оригинал для негобудетрешением исходной системы дифференциальных уравнений.
Пример:
Найти решение линейной системы
удовлетворяющее начальным условиям х(0) = у(0) = I.
Пусть х(
Решая последнюю относительно Х(р) и У(р), получаем
Решение исходной задачи Коши
Решение интегральных уравнений
Напомним, что интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь уравнение вида (12)
называемое линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K(t — т), зависящим от разности аргументов (уравнение типа свертки). Здесь φ(t) — искомая функция, f(t) и K(t) — заданные функции.
Пусть f(t) и K(t) есть функции-оригиналы, f(t) =’ F(p), K(t) =’ K(p).
Применяя к обеим частям (12) преобразование Лапласа и, пользуясь теоремой умножения, получим
(13)
где Ф(р) = φ(t). Из (13)
Оригинал для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (12).
Пример:
Решить интегральное уравнение
Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14), получим
Функция является решением уравнения (14) (подстановка в уравнение (14) обращает последнее в тождество по t).
Замечание:
Преобразование Лапласа может быть использовано также при решении некоторых задач для уравнений математической физики.
Таблица преобразования Лапласа
Дополнение к преобразованию Лапласа
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Применение преобразования Лапласа к решению
линейных дифференциальных уравнений и систем
1°. Общие сведения о преобразовании Лапласа: оригинал и изображение
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:
2) функция интегрируема на любом конечном интервале оси ;
3) с возрастанием модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа 0″ png;base64,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” /> и такие, что для всех имеем
Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством
при s_0″ png;base64,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” style=”vertical-align: middle;” />. Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).
Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу его изображение , называется преобразованием Лапласа. При этом пишут .
Свойства преобразования Лапласа
Всюду в дальнейшем считаем, что
I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и
II. Теорема подобия. Для любого постоянного 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=” />
III. Дифференцирование оригинала. Если есть оригинал, то
Обобщение: если раз непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал, то
IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на “минус аргумент”, т.е.
V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на
VI. Интегрирование изображения равносильно делению на оригинала:
(предполагаем, что интеграл сходится).
VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа
VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа
IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений и также является изображением, причем
Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций и и обозначается символом
Теорема XI утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов , т.е.
Отыскание оригиналов дробно-рациональных изображений
Для нахождения оригинала по известному изображению , где есть правильная рациональная дробь, применяют следующие приемы.
1) Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и находят для каждой из них оригинал, пользуясь свойствами I–IX преобразования Лапласа.
2) Находят полюсы этой дроби и их кратности . Тогда оригиналом для будет функция
где сумма берется по всем полюсам функции .
В случае, если все полюсы функции простые, т.е. , последняя формула упрощается и принимает вид
Пример 1. Найти оригинал функции , если
Решение. Первый способ. Представим в виде суммы простейших дробей
и найдем неопределенные коэффициенты . Имеем
Полагая в последнем равенстве последовательно , получаем
Находя оригиналы для каждой из простейших дробей и пользуясь свойствам линейности, получаем
Второй способ. Найдем полюсы функции . Они совпадают с нулями знаменателя . Таким образом, изображение имеет четыре простых полюса . Пользуясь формулой (17), получаем оригинал
Пример 2. Найти оригинал , если .
Решение. Данная дробь имеет полюс кратности и полюс кратности . Пользуясь формулой (16), получаем оригинал
2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Будем считать, что функция и решение вместе с его производньь ми до второго порядка включительно являются функциями-оригиналами. Пусть . По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (2) имеем
Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойством линейности преобразования, получаем операторное уравнение
Решая уравнение (20), найдем операторное решение
Находя оригинал для , получаем решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (19).
Аналогично можно решить любое уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и с начальными условиями при .
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение операторным методом
Решение. Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем
Известно, что поэтому, переходя отданной задачи (21)–(22) к операторному уравнению, будем иметь
Легко видеть, что функция удовлетворяет данному уравнению и начальному условию задачи.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид
Отсюда находим операторное решение
Разлагаем правую часть на элементарные дроби:
Переходя к оригиналам, получаем искомое решение .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид
и, следовательно, операторное решение
Разложим правую часть на элементарные дроби:
Переходя к оригиналам, получим решение поставленной задачи
3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти решение системы двух уравнений с постоянными коэффициентами
удовлетворяющее начальным условиям
Будем предполагать, что функции , а также и являются функциями-оригиналами.
По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (24) имеем
Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (23) преобразование Лапласа, получим операторную систему
Эта система является линейной алгебраической системой двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая ее, мы найдем и , а затем, переходя к оригиналам, получим решение системы (23), удовлетворяющее начальным условиям (24). Аналогично решаются линейные системы вида
Пример 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений операторным методом
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Так как и , то операторная система будет иметь вид
Решая систему, получаем
Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные:
Переходя к оригиналам, получим искомое решение
[spoiler title=”источники:”]
http://lfirmal.com/preobrazovanie-laplasa/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=reshenie-du-i-sistem-operatornym-metodom
[/spoiler]
Применение преобразования Лапласа при расчете переходных процессов
7.1.1 Преобразование Лапласа
Спектральный метод анализа позволяет уяснить физические процессы в цепях и в ряде случаев сравнительно прост. Но в некоторых случаях вычисление интеграла Фурье оказывается затруднительным. Кроме того, спектральный метод не является универсальным. Действительно, преобразование Фурье применимо лишь к абсолютно интегрируемым функциям, т.е. удовлетворяющим условию
. (4.1)
Возникают затруднения и при использовании обычного вида этого метода для решения задач, в которых начальные условия отличны от нуля, т.е. когда цель имеет начальный запас энергии.
Спектральный метод становится более универсальными нахождение обратного преобразования Фурье облегчается, если интеграл Фурье распространить на комплексное переменное, т.е. если перейти от вещественного переменного к комплексному переменному .
Пусть функция задана для положительных значений и равна нулю при , причем она может не удовлетворять условию (4.1). Умножая на , где и , получим, пользуясь выражением (3.1):
(4.2)
На основании (3.2) тогда имеем
Рекомендуемые материалы
.
Отсюда видно, что
(4.3)
Вводя комплексную переменную , запишем вместо (4.2)
. (4.4)
Полученное соотношение, преобразующее вещественную функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного , называется преобразованием Лапласа. Функцию называют изображением функции , а саму функцию называют оригиналом. Символически связь между изображением и оригиналом записывается так:
Из изложенного следует, что изображение может быть формально получено из прямого преобразования Фурье заменой комплексным переменным . Функция имеет изображение, если , где и – постоянные числа. В качестве примера функции, не имеющей изображения, можно привести или . Функции, встречающиеся в радиотехнике, обычно имеют изображение.
Теперь в ином виде представим выражение (4.3), переходя к переменной , Так как , то , a пределы интегрирования в (4.3) при изменении от до теперь будут соответственно и .Тогда получаем:
. (4.5)
Это соотношение, которое известно в математике как формула обращения Римана-Моллина, иногда называют обратным преобразованием Лапласа.
В отличие от интеграла Фурье, где функция представлена суммой бесконечно большого числа элементарных гармонических колебаний, здесь функция представлена суммой бесконечно большого числа элементарных колебаний, убывающих по экспоненциальному закону.
В выражении (4.5) интегрирование ведется по прямой, лежащей на плоскости комплексного переменного и отстоящей от оси мнимой величины на расстоянии . В теории функций комплексного переменного*) доказывается, что интегрирование в выражении (4.5) может быть произведено по замкнутому контуру (рис. 4.1). Контур интегрирования должен охватывать все полюсы подинтегралыюй функции, т.е. точки плоскости комплексного переменного, в которых подинтегральная функция выражения (4.5) обращается в бесконечность. Вычисление интеграла при этом сводится к определению суммы вычетов (обозначаемых буквами ) подинтегральной функции в полюсе, т.е.
(4.6)
При вычислении вычетов подинтегральную функцию во многих случаях можно представить в виде отношения двух функций:
Значения комплексного переменного , при которых знаменатель обращается в нуль, а следовательно, подинтегральная функция — в бесконечность, и будут полюсами под интегральной функции. В данном случае полюсы являются корнями уравнения . Число полюсов подинтегральной функции определяется числом корней этого уравнения.
Пусть число полюсов равно . Каждый из них может иметь различный порядок, обозначаемый через . Порядок полюса равен порядку младшей отличной от нуля производной функции по при , т.е. порядку производной
Вычет подинтегралъной функции в полюсе порядка находится по формуле
Если полюс простой, т.е. первого порядка, то вычет в этом полюсе определяется выражением
(4.8)
Для пояснения изложенного рассмотрим простейшие примеры. Пусть задана единичная функция . Изображение этой функции будет
Тогда оригинал по этому изображению находится с помощью (4.5)
или, так как полюс подинтегральной функции , то согласно (4.8) вычет подинтегральной функции в этом полюсе
и на основании (4.6) имеем , т.е. получаем исходную функцию. Символически можно записать:
(4.9)
Пусть теперь задана экспоненциальная функция
Изображение этой функции:
По найденному изображению определим теперь оригинал
Полюсом подинтегральной функции является . Вычет в этом полюсе равен
Таким образом, можем записать:
(4.10)
Легко убедиться, что если задана функция , то оказывается справедливой запись
. (4.11)
Для дельта функции изображение имеет вид:
. (4.12)
Для вычисления оригиналa по известному изображению кроме рассмотренного способа вычетов в ряде случаев удобно применять так называемую теорему разложения, предложенную Хевисайдом.
Пусть изображение является рациональной дробью
,
представляемой через полиномы и , причем степень меньше степени . Тогда можно показать, что если уравнение имеет различных корней, то функция представляется следующей суммой:
. (4.13)
Находя по формуле (4.11) оригинал функции , получим выражение для нахождения по изображению оригинала, т.е. функции :
. (4.14)
Это выражение, являющееся записью теоремы разложения, позволяет представить искомую функцию в виде совокупности экспоненциальных функций. При этом предполагается, что функция тождественно равна нулю при .
Выражению (4.14) можно придать иной вид для случая, если один из корней уравнения равен нулю. Обозначим , где – полином, не имеющий нулевых корней. Выделим в выражении (4.13) слагаемое, соответствуют ее нулевому корню. Так как в принятом обозначении для производной функции имеем , то вместо (4.13) получаем:
.
Учитывая выражения (4.9) и (4.11), получаем для нахождения оригинала по заданному изображению выражение
, (4.15)
где – корни уравнения . Если полином имеет кратные корни, формула для нахождения значительно усложняется и ее рассматривать не будем.
7.1.2 Основные свойства преобразования Лапласа
Рассмотрим теперь некоторые свойства преобразования Лапласа, необходимые для решения многих задач по переходным процессам в радиотехнических цепях.
Если функция , где – постоянная величина, а функция имеет изображение , то
. (4.16)
Если задана сумма функций , то, осуществляя прямое преобразование Лапласа, находим:
, (4.17)
где , .
Если функция имеет изображение ,то для функции, запаздывающей на время , будет иметь место запись
. (4.18)
Изображение производной по времени от функции , т.е. изображение от ; находим, производя преобразование Лапласа:
,
или, так как
является изображением функции ,a , то
(4.19)
При нулевых начальных условиях, т.е. при , получим:
.
Аналогичные вычисления позволяют найти изображение для интеграла от функции :
, (4.20)
где
при .
Если имеем две функции и их изображения, т.е. если дано , а , то функция , образованная по формуле
,
т.е. полученная путем так называемой операции свертки функций и будет на основании прямого преобразования Лапласа иметь изображение , равное
.
Полученное соотношение носит название теоремы свертывания (называемое также теоремой Бореля) и записывается так:
. (4.21)
Это выражение может иметь и другой вид:
(4.22)
При решении задач и выполнении технических расчетов с использованием преобразования Лапласа приходится находить изображение функции по оригиналу и наоборот. Для облегчения расчетов пользуются обычно справочниками, содержащими таблицы функций и их изображения*). В этих справочниках часто приводятся изображения, найденные на основании преобразования Карсона:
, (4.23)
отличающегося от выражения (4.4) множителем . Так, изображение единичной функции , полученное на основании преобразования Карсона, имеет вид . При -необходимости легко осуществить переход от изображения по Карсону к изображению по Лапласу, разделив соответствующее выражение на .
7.1.3 Расчет переходных процессов с помощью преобразования Лапласа.
Преобразования Лапласа и Карсона лежат в основе так называемого операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, а также анализа переходных процессов. Поясним сущность операторного метода на основе преобразования Лапласа.
Рассмотрим уравнение Кирхгофа для последовательного контура, на который действует э.д.с. :
(4.24)
При решении задачи операторным методом от этого уравнения необходимо перейти к равенству, связывающему изображения функций и , преобразуя обе части уравнения (4.24) по Лапласу.
Если известны изображения функций, т.е. и , то на основании рассмотренных выше свойств преобразования Лапласа получаем вместо уравнения (4.24) выражение
. (4.25)
Это линейное алгебраическое уравнение с неизвестной функцией . Значения тока и напряжения на емкости находятся из начальных условий задачи. Таким образом, операторный метод решения задачи уже в исходном уравнении учитывает начальные условия, определяемые исходным энергетическим состоянием цепи.
Из выражения (4.25) находим изображение искомого тока
,
где – импеданс цепи в операторной форме записи. Как видно, операторная форма записи импеданса, или операторное сопротивление цепи. получается из выражения импеданса цепи путем замены на величину . Зная изображение искомой функции, можно найти ее оригинал, т.е. ток .
При нахождении напряжения на элементах цепи пользуются операторной формой записи коэффициента передачи , который называется также передаточной функцией цепи.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов сводится к последовательности следующих вычислений:
1) Составляются уравнения Кирхгофа для исследуемой цепи.
2) Находятся изображения заданных и искомых функций времени.
3) Записывается операторное уравнение, соответствующее исходному.
4) Решается алгебраически операторное уравнение относительно изображения, искомой функции.
5) По изображению искомой функции находится ее оригинал. Для этого применяется способ нахождения вычетов или теорема разложения.
В качестве примера найдем ток в последовательной цепи при подключении к ней постоянного напряжения . Пусть в момент включения, т.е. при в цепи не было запаса энергии, т.е. и .Тогда из (4.25) имеем . Так как в данном случае , а операторное сопротивление цепи , то операторное уравнение будет
,
оригинал найдем с помощью обратного преобразования Лапласа, которое вычислим с помощью вычетов
полюсами подинтегральной функции являются значения , где
, , , .
Вычет в первом полюсе
.
Вычет во втором полюсе
.
Тогда искомый ток в контуре
.
Теперь рассмотрим пример, когда начальные условия задачи не равны нулю (рис.4.2). Предварительно ключ разомкнут и к цепи, состоящей из сопротивления и индуктивности , подключен последовательно источник гармонического напряжения . В момент ключ замыкается и цепь оказывается короткозамкнутой. Тогда для данной цепи при уравнение Кирхгофа имеет вид:
.
Вводя изображение для тока , запишем уравнение в операторной форме
,
откуда
.
Оригинал для изображения , т.е. искомый ток, найдем в данном случае не с помощью вычетов, а при помощи теоремы разложения, пользуясь формулой (4.14).Так как в данном примере, как видно из выражения для , , а , то . Корнем уравнения является . Подставляя полученные значения в формулу (4.14),находим ток
.
Значение находится из выражения для тока, протекающего в цепи под действием напряжения . В момент мгновенное значение тока в индуктивности имеет вид:
,
где
.
Тогда полученное выражение для тока , описывающее переходный процесс в цепи, принимает вид:
.
Переходной процесс в цепи, замкнутой накоротко, обусловлен энергией магнитного поля, имеющегося у катушки индуктивности в момент коммутации (при ).
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта – 2.5 Общие принципы организации.
· *) Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного. М., 1965
· Романовский П.И. Ряды Фурье, теория поля, аналитические и специальные функции, преобразование Лапласа. М., 1961
· Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.-Л., 1948.
*) Диткин В.А., Кузнецов Н.И. Справочник по операционному исчислению. М.-Л., 1951.
Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961.