Как найти кос угла в кубе

The cosine cube is defined as the composite of the cube function and cosine function. We use Pythagorean identities to integrate the cosine cubed of x. Cosine cubed function can be represented as cos³. The function cosine cubed (x) can be given as x -> (cos x)³. Use our online calculator to calculate the value of cosine cube of an angle (alpha). In the below cosine cubed calculator, just enter the values for α to know the cosine cube (cos^3(α)).

The cosine cube is defined as the composite of the cube function and cosine function. We use Pythagorean identities to integrate the cosine cubed of x. Cosine cubed function can be represented as cos³. The function cosine cubed (x) can be given as x -> (cos x)³. Use our online calculator to calculate the value of cosine cube of an angle (alpha). In the below cosine cubed calculator, just enter the values for α to know the cosine cube (cos^3(α)).

This cosine cubed calculator, you will find the value of cosine cube which the anti derivative involves sin³ and sin. This will be both anti differentiated, with the new anti derivative involving cos³ and cos.

Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!

Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.

Только корректные расчеты по всем правилам математики!

В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Всё для вашего удобства:

Содержание справки:

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

Инструкция по функциям инженерного калькулятора

Как пользоваться MR MC M+ M- MS

Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

Как возвести в степень

Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:

12 [x y ] 3 [=]

12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]

Как найти корень кубический

Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:

729 [3√x] [=]

729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]

Как найти корень на калькуляторе

Задача: Найти квадратный корень 36.

Решение: всё просто, нажимаем так:

36 [ y √x] 2 [=]

36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]

При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.

Как возвести в квадрат

Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:

[x y ] «икс в степени игрик», [X 2 ] «икс в квадрате»

Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».

Например: 45 [x y ] 6 [=]

Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625

Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов

Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами.

1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.

Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:

В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:

90 [sin] [=]

Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:

60 [cos] [=]

Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.

Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе

[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».

Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:

35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666

Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

1 [log] [=]

Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:

100 [log] [=]

Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].

Как пользоваться памятью на калькуляторе

Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.

MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.

Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:

145 [MR]

После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:

На экране отобразится снова 145.

Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.

Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.

Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

Источник

Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

α (радианы)		π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
cos α (Косинус)	1	√3/2	√2/2	1/2		-1		1

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

Угол в градусах	Cos (Косинус)
0°	1
1°	0.9998
2°	0.9994
3°	0.9986
4°	0.9976
5°	0.9962
6°	0.9945
7°	0.9925
8°	0.9903
9°	0.9877
10°	0.9848
11°	0.9816
12°	0.9781
13°	0.9744
14°	0.9703
15°	0.9659
16°	0.9613
17°	0.9563
18°	0.9511
19°	0.9455
20°	0.9397
21°	0.9336
22°	0.9272
23°	0.9205
24°	0.9135
25°	0.9063
26°	0.8988
27°	0.891
28°	0.8829
29°	0.8746
30°	0.866
31°	0.8572
32°	0.848
33°	0.8387
34°	0.829
35°	0.8192
36°	0.809
37°	0.7986
38°	0.788
39°	0.7771
40°	0.766
41°	0.7547
42°	0.7431
43°	0.7314
44°	0.7193
45°	0.7071
46°	0.6947
47°	0.682
48°	0.6691
49°	0.6561
50°	0.6428
51°	0.6293
52°	0.6157
53°	0.6018
54°	0.5878
55°	0.5736
56°	0.5592
57°	0.5446
58°	0.5299
59°	0.515
60°	0.5
61°	0.4848
62°	0.4695
63°	0.454
64°	0.4384
65°	0.4226
66°	0.4067
67°	0.3907
68°	0.3746
69°	0.3584
70°	0.342
71°	0.3256
72°	0.309
73°	0.2924
74°	0.2756
75°	0.2588
76°	0.2419
77°	0.225
78°	0.2079
79°	0.1908
80°	0.1736
81°	0.1564
82°	0.1392
83°	0.1219
84°	0.1045
85°	0.0872
86°	0.0698
87°	0.0523
88°	0.0349
89°	0.0175
90°

Полная таблица косинусов для углов от 0° до 360°

Угол	cos (Косинус)
91°	-0.0175
92°	-0.0349
93°	-0.0523
94°	-0.0698
95°	-0.0872
96°	-0.1045
97°	-0.1219
98°	-0.1392
99°	-0.1564
100°	-0.1736
101°	-0.1908
102°	-0.2079
103°	-0.225
104°	-0.2419
105°	-0.2588
106°	-0.2756
107°	-0.2924
108°	-0.309
109°	-0.3256
110°	-0.342
111°	-0.3584
112°	-0.3746
113°	-0.3907
114°	-0.4067
115°	-0.4226
116°	-0.4384
117°	-0.454
118°	-0.4695
119°	-0.4848
120°	-0.5
121°	-0.515
122°	-0.5299
123°	-0.5446
124°	-0.5592
125°	-0.5736
126°	-0.5878
127°	-0.6018
128°	-0.6157
129°	-0.6293
130°	-0.6428
131°	-0.6561
132°	-0.6691
133°	-0.682
134°	-0.6947
135°	-0.7071
136°	-0.7193
137°	-0.7314
138°	-0.7431
139°	-0.7547
140°	-0.766
141°	-0.7771
142°	-0.788
143°	-0.7986
144°	-0.809
145°	-0.8192
146°	-0.829
147°	-0.8387
148°	-0.848
149°	-0.8572
150°	-0.866
151°	-0.8746
152°	-0.8829
153°	-0.891
154°	-0.8988
155°	-0.9063
156°	-0.9135
157°	-0.9205
158°	-0.9272
159°	-0.9336
160°	-0.9397
161°	-0.9455
162°	-0.9511
163°	-0.9563
164°	-0.9613
165°	-0.9659
166°	-0.9703
167°	-0.9744
168°	-0.9781
169°	-0.9816
170°	-0.9848
171°	-0.9877
172°	-0.9903
173°	-0.9925
174°	-0.9945
175°	-0.9962
176°	-0.9976
177°	-0.9986
178°	-0.9994
179°	-0.9998
180°	-1

Таблица косинусов для углов от 91° до 180°

Угол	cos (косинус)
181°	-0.9998
182°	-0.9994
183°	-0.9986
184°	-0.9976
185°	-0.9962
186°	-0.9945
187°	-0.9925
188°	-0.9903
189°	-0.9877
190°	-0.9848
191°	-0.9816
192°	-0.9781
193°	-0.9744
194°	-0.9703
195°	-0.9659
196°	-0.9613
197°	-0.9563
198°	-0.9511
199°	-0.9455
200°	-0.9397
201°	-0.9336
202°	-0.9272
203°	-0.9205
204°	-0.9135
205°	-0.9063
206°	-0.8988
207°	-0.891
208°	-0.8829
209°	-0.8746
210°	-0.866
211°	-0.8572
212°	-0.848
213°	-0.8387
214°	-0.829
215°	-0.8192
216°	-0.809
217°	-0.7986
218°	-0.788
219°	-0.7771
220°	-0.766
221°	-0.7547
222°	-0.7431
223°	-0.7314
224°	-0.7193
225°	-0.7071
226°	-0.6947
227°	-0.682
228°	-0.6691
229°	-0.6561
230°	-0.6428
231°	-0.6293
232°	-0.6157
233°	-0.6018
234°	-0.5878
235°	-0.5736
236°	-0.5592
237°	-0.5446
238°	-0.5299
239°	-0.515
240°	-0.5
241°	-0.4848
242°	-0.4695
243°	-0.454
244°	-0.4384
245°	-0.4226
246°	-0.4067
247°	-0.3907
248°	-0.3746
249°	-0.3584
250°	-0.342
251°	-0.3256
252°	-0.309
253°	-0.2924
254°	-0.2756
255°	-0.2588
256°	-0.2419
257°	-0.225
258°	-0.2079
259°	-0.1908
260°	-0.1736
261°	-0.1564
262°	-0.1392
263°	-0.1219
264°	-0.1045
265°	-0.0872
266°	-0.0698
267°	-0.0523
268°	-0.0349
269°	-0.0175
270°

Таблица косинусов для углов от 180° до 270°

Угол	Cos (Косинус)
271°	0.0175
272°	0.0349
273°	0.0523
274°	0.0698
275°	0.0872
276°	0.1045
277°	0.1219
278°	0.1392
279°	0.1564
280°	0.1736
281°	0.1908
282°	0.2079
283°	0.225
284°	0.2419
285°	0.2588
286°	0.2756
287°	0.2924
288°	0.309
289°	0.3256
290°	0.342
291°	0.3584
292°	0.3746
293°	0.3907
294°	0.4067
295°	0.4226
296°	0.4384
297°	0.454
298°	0.4695
299°	0.4848
300°	0.5
301°	0.515
302°	0.5299
303°	0.5446
304°	0.5592
305°	0.5736
306°	0.5878
307°	0.6018
308°	0.6157
309°	0.6293
310°	0.6428
311°	0.6561
312°	0.6691
313°	0.682
314°	0.6947
315°	0.7071
316°	0.7193
317°	0.7314
318°	0.7431
319°	0.7547
320°	0.766
321°	0.7771
322°	0.788
323°	0.7986
324°	0.809
325°	0.8192
326°	0.829
327°	0.8387
328°	0.848
329°	0.8572
330°	0.866
331°	0.8746
332°	0.8829
333°	0.891
334°	0.8988
335°	0.9063
336°	0.9135
337°	0.9205
338°	0.9272
339°	0.9336
340°	0.9397
341°	0.9455
342°	0.9511
343°	0.9563
344°	0.9613
345°	0.9659
346°	0.9703
347°	0.9744
348°	0.9781
349°	0.9816
350°	0.9848
351°	0.9877
352°	0.9903
353°	0.9925
354°	0.9945
355°	0.9962
356°	0.9976
357°	0.9986
358°	0.9994
359°	0.9998
360°	1

Таблица косинусов для углов от 270° до 360°

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен косинус 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866

Источник

Что такое cos на калькуляторе?

Нажмите кнопку «Cos», которая обычно находится в центре калькулятора. «Cos »- это сокращение от косинус.. На вашем калькуляторе должно отображаться «cos (.». Введите величину угла, для которого вы хотите узнать коэффициент косинуса. Например, 45 градусов.

Кроме того, чему равен cos-1?

Точно так же, как вы выполняете COS 1 на калькуляторе?

Что на самом деле делает Cos?

Арккос равен 1 cos?

Что больше из cos 1 и cos 1 степени?

Что такое cos 1 в радианах?

Если бы это было в радианах, Cos (1 рад) = 0.54030230586.

Что противоположно Cos?

Используя эти имена, мы можем перечислить следующие стандартные отношения: sinθ =противоположная гипотенуза, cosθ = смежная гипотенуза, tanθ = противоположная смежная. С ними связаны три взаимных отношения, косеканс, секанс и котангенс: cosecθ = противоположная гипотенуза, secθ = смежная гипотенуза, cotθ = смежная противоположность.

Почему синус называется синусом?

Слово «синус» (лат. «Синус») происходит от латинского неправильного перевода Роберта Честерского арабского джиба, который является транслитерацией санскритского слова, обозначающего половину аккорда, джья-ардха.

Как решить 1 2 cos theta?

Но известно, что cos60 ° = 12. Также cos300 ° = 12. ∴θ = 60 ° и θ = 300 °. Итак, θ имеет множество значений, для которых их функция косинуса равна 12.

Что такое Cos tan Sin?

Чему равен cos 2?

Как сделать cos 3 на калькуляторе?

Является ли arccos обратной величиной cos?

Функция arccos функция, обратная косинусу. Он возвращает угол, косинус которого является заданным числом. … Означает: угол, косинус которого равен 0.866, равен 30 градусам. Используйте arccos, если вы знаете косинус угла и хотите узнать фактический угол.

Что такое cos-1 на единичной окружности?

С помощью обратного косинуса мы выбираем угол в верхней половине единичной окружности. Таким образом, cos – 1 (–½) = 120 ° или cos – 1 (–½) = 2π / 3. Другими словами, диапазон cos – 1 ограничивается [0, 180 °] или [0, π]. Примечание: arccos относится к «арккосинусу» или радианной мере дуги на окружности, соответствующей заданному значению косинуса.

Как сделать cos-1 на калькуляторе?

Отменяются ли arccos и cos?

Как ввести COS-1 в калькулятор?

Что такое cos 1 в радианах?

Cos 1 радиан равен 0.5403, то же самое, что cos 1 радиан в градусах. Чтобы преобразовать 1 радиан в градусы, умножьте 1 на 180 ° / = 57.29578 °. Cos 1 = cos 57.29578 градусов.

В чем разница между cos и cos 1?

В чем разница между cos 1 градус и cos 1?

Что такое cos 1 на единичной окружности?

С помощью обратного косинуса мы выбираем угол в верхней половине единичной окружности. Таким образом, cos – 1 (–½) = 120 ° или cos – 1 (–½) = 2π / 3. Другими словами, диапазон cos – 1 ограничивается [0, 180 °] или [0, π]. Примечание: arccos относится к «арккосинусу» или радианной мере дуги на окружности, соответствующей заданному значению косинуса.

Источник

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно – 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = – 9 3 · 6 = – 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = – 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , – 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 70 ) = – a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 = – 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = – 1 5 · 14 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = – a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = – a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , – 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , – 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 – 2 , – 2 – ( – 1 ) ) = ( 5 , – 1 ) B C → = ( 7 – 3 , – 2 – 2 ) = ( 4 , – 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( – 1 ) · ( – 4 ) 5 2 + ( – 1 ) 2 · 4 2 + ( – 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → – a → 2 = a → + b → – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a · b
| a |·| b |

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
| a | · | b |	5 · 5	25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
| a | · | b |	5√ 2 · 5√ 2	50	5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
| a | · | b |	5 · 6	15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

[/spoiler]

Косинус угла. Таблица косинусов.

Похожие калькуляторы