Как найти натуральный логарифм в квадрате - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Логарифм в квадрате

Как найти, чему равен логарифм в квадрате?

Начнём с вычисления квадрата логарифма числа.

Запись с квадратом над знаком логарифма — общепринятый сокращенный вариант записи возведения логарифма в квадрат:

при условии

Таким образом, чтобы вычислить логарифм в квадрате от некоторого числа по заданному основанию, надо найти, чему равен этот логарифм, и результат возвести в квадрат.

Так как квадрат любого числа является неотрицательным числом, квадрат логарифма также неотрицателен, то есть

для

С учетом того, что только логарифм единицы равен нулю, логарифм в квадрате от единицы по любому основанию равен нулю:

Следовательно,

для

Примеры.

Чтобы вычислить, чему равен этот логарифм, представим его основание и число под знаком логарифма в виде степеней с одинаковым основанием:

Аналогично вычисляется десятичный логарифм в квадрате:

Натуральный логарифм в квадрате:

В следующий раз рассмотрим, как возвести в квадрат логарифм произведения, частного и степени.

Источник

Чему равен логарифм в квадрате?

МатематикаЛогарифмы

Анонимный вопрос

20 января 2019 · 32,8 K

ОтветитьУточнить

Иван Воробьёв16,6 K

Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас активно… · 20 янв 2019

Чтобы найти значение квадрата логарифма вам нужно найти значение этого конкретного логарифма и возвести его в квадрат, вариант возведения в квадрат логарифма выглядит так

33,1 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

Источник

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log₂(-8) и log₂(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log₂х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_n существует тождество :

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log_a1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

( основное свойство логарифмов ),

Проверь удачу, набери 60+

Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.

Пример Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
Делаем проверку
Записываем ответ.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: Применяем эти знания и получаем: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим: Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: Делаем проверку: Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x₊₁(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. Преобразуем правую часть уравнения: Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: Перепишем нашу систему: Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: Теперь решаем наше уравнение: Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x₊₁(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

[spoiler title=”источники:”]

https://yourrepetitor.ru/kak-reshit-logarifmicheskoe-uravnenie/

https://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie

[/spoiler]

( формула перехода к новому основанию логарифмов ),

( основное свойство логарифмов ),

( формула перехода к новому основанию логарифмов ),

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 )

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

log a ( f ( x ) g ( x ) )

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

log a f ( x ) + log a g ( x )

, мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 )

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: То есть в нашем случае: То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Разберем другой пример: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение: Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение: Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Сравнение логарифмов

log

> log

– знак неравенства меняется

log

– знак неравенства не меняется

Если 1 1, то log

> log

Если 0 1, то log

> log

Если 1

Если 0

Источник

Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи

Содержание:

Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Основные свойства логарифмов
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Задачи для самостоятельной работы

Что такое логарифм степени числа и как его посчитать

Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:

(Large{{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad a^t=b }})

Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:

(tin mathbb{R})

В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.

Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:

(Large{a^{log_ab}=b})

Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:

({large{begin{array}{|ll|l|} hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}} && qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\ &&\ hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m – {small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\ &&\ textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m – {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n – {small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n – {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\ &&\ textbf{(8)} log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \ &&\ textbf{(9)} a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\ &&\ textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ &&\ {small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \ textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ hline end{array}}})

Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.

Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:

(log_{a}x^r=r cdot log_{a}⁡|x|)

В данном случае (x^r,a > 0), (a ne 1).

Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:

(log_{5}⁡frac{1}{125}+log_{11}⁡121)

Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:

(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}⁡121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}⁡5+2log_{11}⁡11)

Известно, что:

(log_{a}⁡a=1)

Доведем вычисления до конца:

(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}⁡121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}⁡5+2log_{11}⁡11=-3+2=-1)

Ответ: (log_{5} frac{1}{125}+log_{11}⁡121=-1.)

В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.

Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:

(s log_{a}⁡x=log_{a}x^s)

Здесь a и b > 0, a≠1.

Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:

(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7)

Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:

(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}⁡x-7 log_{13}⁡x=12 log_{13}⁡x-7 log_{13}⁡x=5 log_{13}⁡x)

Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:

(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}⁡x-7 log_{13}⁡x=12 log_{13}⁡x-7 log_{13}⁡x=5 log_{13}⁡x=log_{13}x^5.)

Основные свойства логарифмов

При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.

1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:

({{log }_{a}}{{a}^{x}}=x)

Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:

({{log }_{a}}b=x)

В таком случае:

({{a}^{x}}=b)

В результате получим:

(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b)

Данное свойство доказано.

2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:

({{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( bcdot c right))

Начнем доказательство со следующего предположения:

({{log }_{a}}b=x)

В таком случае:

({{a}^{x}}=b)

Представим, что:

({{log }_{a}}c=y)

В таком случае:

({{a}^{y}}=c)

В результате получим, что:

({{log }_{a}}left( bcdot c right)={{log }_{a}}left( {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x+y}}underset{text{по правилу 1}}{mathop{=}},x+y={{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c)

Свойство суммы логарифмов доказано.

3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:

(lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c})

Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:

({{log }_{a}}b=x)

В таком случае:

({{a}^{x}}=b)

Представим, что:

({{log }_{a}}c=y)

В таком случае:

({{a}^{y}}=c)

В результате получим, что:

({{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c)

({{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}.)

4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:

({{log }_{a}}{{b}^{n}}=ncdot {{log }_{a}}b)

Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:

({{log }_{a}}b=x)

В таком случае:

({{a}^{x}}=b)

Получим, что:

({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}{{left( {{a}^{x}} right)}^{n}}={{log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=ncdot {{log }_{a}}b)

Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:

({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}left( underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ раз}} right)text{ }underset{text{правило} text{2}}{mathop{=}},text{ }underbrace{{{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{log }_{a}}b}_{ntext{ раз}}=ncdot {{log }_{a}}b.)

Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.

5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:

({{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)

Докажем записанное соотношение, предположив, что:

({{log }_{a}}b=x), тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)

В таком случае:

({{log }_{{{a}^{n}}}}b={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{frac{xcdot n}{n}}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{left( {{a}^{n}} right)}^{frac{x}{n}}}=frac{x}{n}=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b.)

Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.

6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:

({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)

В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:

({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}b.)

7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:

({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right))

Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:

({{log }_{a}}b=x,) тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)

В таком случае:

(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b.)

8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:

({{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right))

Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:

({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{b}}b}{{{log }_{b}}a}=frac{1}{{{log }_{b}}a}.)

Примеры логарифмов с решением, пояснения

Задача 1

Дано выражение, значение которого требуется определить:

(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25)

Решение

Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:

(log _{a} a=1.)

Выполним вычисления:

(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=log _{2} 2^{-3}+log _{5} 5^{2}=-3 cdot log _{2} 2+2 cdot log _{5} 5=-3+2=-1)

Ответ: ( log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=-1)

Требуется упростить следующее выражение:

(2 log _{7} 4-log _{7} 8)

Решение

Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:

(2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 4^{2}-log _{7} 8=log _{7} 16-log _{7} 8=log _{7} frac{16}{8}=log _{7} 2)

Ответ: (2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 2)Задача 2

Задача 3

Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:

(lo{{g}_{5}}250-{{log }_{5}}2)

Решение

Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:

({{log }_{5}}250={{log }_{5}}left( 125cdot 2 right)={{log }_{5}}left( {{5}^{3}}cdot 2 right)={{log }_{5}}{{5}^{3}}+{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2)

Заметим, что:

({{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2-{{log }_{5}}2=3)

Ответ: 3.

Задача 4

Нужно упростить следующее выражение:

(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3)

Решение

Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:

(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right).)

Тогда, согласно свойствам логарифма:

(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3= left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1)

Ответ: 1.

Задача 5

Необходимо определить значение следующего выражения:

(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5})

Решение

Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:

(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5}=frac{{{log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{log }_{2}}5}=frac{2{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}5}=2)

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 6

Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:

({{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)

({{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)

({{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)

(lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})

({{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})

Задача 7

Требуется найти значения для следующих выражений:

(displaystyle frac{{{log }_{2}}81}{{{log }_{2}}3})

(displaystyle frac{{{log }_{3}}125}{{{log }_{3}}625})

(displaystyle frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})

Задача 8

Нужно определить значения записанных ниже выражений:

({{log }_{5}}75+{{log }_{5}}frac{1}{3})

({{log }_{3}}36-2{{log }_{3}}2)

({{log }_{8sqrt[5]{4}}}left( 32sqrt[5]{2} right))

(frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})

Источник

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)

$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$

Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) in (1;2). $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).

$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3^{-1}=frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
(x) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$
Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$
Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$
В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$
Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$
В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$
Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=2^4,$$

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – (lg(a)).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение – (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.

$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если (m=n), то:

$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$

Источник

Простое Решение

Чему равен логарифм в квадрате?

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Сложение и вычитание логарифмов.

Что такое логарифм и как его посчитать

Два очевидных следствия определения логарифма

Свойства логарифмов

Пример Найдите корень уравнения.

Логарифмы со специальным обозначением

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Как сделать проверку

Алгебра

Уравнения вида logaf(x) = logag(x)

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Логарифмирование уравнений

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Степень можно выносить за знак логарифма

Логарифм произведения и логарифм частного

Формула перехода к новому основанию

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Сравнение логарифмов

Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи

Что такое логарифм степени числа и как его посчитать

Основные свойства логарифмов

Примеры логарифмов с решением, пояснения

Задачи для самостоятельной работы

Как посчитать логарифм

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Свойства логарифмов

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)