{V=dfrac {1}{3} pi r^2 h}
Конус – это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра – высоту (h) и радиус основания (r).
Содержание:
- калькулятор объема конуса
- формула объема конуса через высоту и радиус
- формула объема конуса через площадь основания и высоту
- формула объёма усеченного конуса
- примеры задач
Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.
Наш калькулятор может рассчитать объем конуса через радиус основания и высоту, площадь основания и высоту, а также объем усеченного конуса через его высоту и радиусы нижнего и верхнего оснований.
Кроме того объем конуса можено найти, подставив значения в формулы, приведенные ниже.
Формула объёма конуса через радиус и высоту
{V=frac {1}{3} pi r^2 h}
r – радиус основания конуса,
h – высота конуса
Формула объёма конуса через площадь основания и высоту
{V=frac {1}{3} S h}
S – площадь основания конуса,
h – высота конуса
Формула объёма усеченного конуса
{V=frac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2)}
h – высота усеченного конуса,
r – радиус меньшего основания усеченного конуса,
R – радиус большего основания усеченного конуса.
Примеры задач на нахождение объема конуса
Задача 1
Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см.
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi r^2 h = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 12000 = 400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3
Ответ: {400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3}
Проверить результат можно с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдем объем конуса с высотой 3 см и диаметром основания 8 см².
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} S h = dfrac {1}{3} cdot 8 cdot 3 = dfrac {1}{3} cdot 24 = 8 : см^3
Ответ: 8 см³
Воспользуемся калькулятором для проверки результата.
Задача 3
Найдите объем усеченного конуса радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.
Решение
Подставим высоту и радиусы оснований в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1^2 + 1 cdot 2 + 2^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1 + 2 + 4) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot 7 = dfrac {1}{3} pi cdot 21 = 7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3
Ответ: {7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3}
Проверим полученный ответ.
Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Онлайн-калькулятор объема конуса
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.
Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.
Рассмотрим некоторые важные понятия.
Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.
Конус бывает нескольких типов:
Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.
Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.
Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.
Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.
Формула объема прямого конуса
Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.
Рассмотрим несколько примеров.
Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.
Решение
l=5l=5
R=3R=3
Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:
l2=h2+R2l^2=h^2+R^2
Отсюда, hh:
h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}
h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}
h=25−9h=sqrt{25-9}
h=16h=sqrt{16}
h=4h=4
Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:
Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26
Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3
Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.
Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.
Решение
D=8D=8
h=9h=9
Найдем радиус RR круга через его диаметр:
R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4
Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:
Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24
Сам объем равен:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3
Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.
Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!
Тест на тему “Объем конуса”
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.
-
Формула вычисления объема
- 1. Через площадь основания и высоту
- 2. Через радиус основания и высоту
-
Примеры задач
Формула вычисления объема
1. Через площадь основания и высоту
Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:
2. Через радиус основания и высоту
Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR2.
Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:
Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.
Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.
Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.
Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:
Объём конуса
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Объём конуса
Для того чтобы посчитать объём конуса, просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Через площадь основания и высоту
Площадь основания Sосн =
Высота h =
V =
0
Округление ответа:
Через радиус и другие параметры
=
=
V =
0
Округление числа π: Округление ответа:
Просто введите данные, и получите ответ.
Теория
Объём конуса через площадь основания и высоту
Чему равен объём конуса V, если площадь его основания Sосн, а высота h:
Формула
V = ⅓ ⋅ Sосн ⋅ h
Пример
Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого площадь основания Sосн = 3 см², а высота h = 5 см :
V = ⅓ ⋅ 3 ⋅ 5 = 15⁄3 = 5 см³
Объём конуса через образующую и радиус
Чему равен объём конуса V, если его образующая l, радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ √l² – r²
через диаметр:
V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ √l² – (d/2)²
Пример
Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого образующая l = 5 см, а радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2² ⋅ √5² – 2² = ⅓ ⋅ 12.56 ⋅ √21 ≈ 4.19 ⋅ 4.58 ≈ 19.19 см³
Объём конуса через радиус и высоту
Чему равен объём конуса V, если радиус его основания r, а высота h?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ h
через диаметр:
V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ h
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, у которого высота h = 6 см, а радиус основания r = 3 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3² ⋅ 6 = 169.56/3 = 56.52 см³
Объём конуса через угол раствора (α) и радиус
Чему равен объём конуса V, если угол раствора α, а радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg (α/2)
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол раствора α = 30° и радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³/tg(30/2) ≈ 1,0467 ⋅ 8 / 0.2679 ≈ 31.25 см³
Объём конуса через угол β и радиус
Чему равен объём конуса V, если известны угол β и радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg β
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол β = 20° и радиус основания r = 3 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3³/tg 20 ≈ 1,0467 ⋅ 27 / 0.36397 ≈ 77.64 см³
Объём конуса через угол γ и радиус
Чему равен объём конуса V, если известны угол γ и радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³ ⋅ tg γ
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол γ = 45° и радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³ ⋅ tg 45 ≈ 1,0467 ⋅ 8 ⋅ 1 ≈ 8.37 см³
См. также
Download Article
Download Article
You can calculate the volume of a cone easily once you know its height and radius and can plug those measurements into the formula for finding the volume of a cone. The formula for finding the volume of a cone is v = hπr2/3.[1]
Help Finding Volume of a Cone
-
1
Find the radius. If you already know the radius, then you can move on to the next step. If you know the diameter, divide it by 2 to get the radius.[2]
If you know the circumference, divide it by 2π to get the diameter.[3]
And if you don’t know any of the measurements of the shape, just use a ruler to measure the widest pie circular base (the diameter) and divide that number by 2 to get the radius. Let’s say the radius of this cone’s circular base is .5 inches (1.3 cm). -
2
Use the radius to find the area of the base circle. To find the area of the base circle, you can just use the same formula you’d use to find the area of a circle: A = πr2. Plug “.5” in for r to get A = π(.5)2 and square the radius and multiply it by the value of π to find the area of the circular base. π(.5)2 = .79 in.2.[4]
Advertisement
-
3
Find the height of the cone. If you know it already, write it down. If you don’t know it, use a ruler to measure it.[5]
Let’s say the height of the cone is 1.5 inches (1.3 cm). Make sure that the height of the cone is written in the same measurements as the radius. -
4
Multiply the area of the base by the height of the cone. Multiply the area of the base, .79 in.2, by the height, 1.5 in. So, .79 in.2 x 1.5 in = 1.19 in.[6]
3 -
5
Divide the product by three. Simply divide 1.19 in.3 by 3 to find the volume of a cone. 1.19 in.3/3 = .40 in.3. Always state the volume in cubic units because it’s a measure of three-dimensional space.[7]
Advertisement
Add New Question
-
Question
What if the given is slant height and base? How to find the volume of cone?
Use the Pythagorean Theorem to find the height, using the slant length as the hypotenuse and half the base as one side.
-
Question
If I double the height, will I double the volume?
Yes.
-
Question
How do I find the volume of a cone if the diameter is given, not the radius?
Since the volume of a cone is pi times the radius squared times the height divided by 3, if you know the diameter, you simply divide by two to find the radius, which you then plug into the formula.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Make sure you have accurate measurements.
-
Don’t do this while there’s still ice cream in the cone.
-
Make sure the measurements are all in the same type/unit of measurement.
Show More Tips
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate the volume of a cone, start by finding the cone’s radius, which is equal to half of its diameter. Next, plug the radius into the formula A = πr^2, where A is the area and r is the radius. Once you have the area, multiply it by the height of the cone. Finally, divide that number by 3 to find the volume of the cone. Remember to write your answer in cubic units. For helpful sheets you can print out and take with you, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 901,804 times.
