Как найти образ множества при отображении

1. Образы и прообразы множеств при отображениях

Пусть
задана функция
и задано множество.

Образом
множества А при отображении f
называется множество всех,
являющихся значениями функцииfв точках.

Обозначается
.

В
частности,
,
то есть образом множества задания
функции является множество ее значений.

Если
множество,
то множество всех значений аргументах, для которых,
называетсяпрообразом
множества В при отображении f.

Записать кратко определение прообраза
можно так:
.

Пример
4 (образы
и прообразы множеств при различных
отображениях)

1) Множество является образом
множествапри отображении
функцией

Дирихле; множество
является прообразом
множествапри отображении
той же функцией;

2)

В — это образ множестваА при отображении функцией, A — это прообраз множества B при этом отображении функцией ;

2) найдем образ
множества
при отображении функцией:

, то есть

—это образ
множествапри отображении
функцией ;

3) найдем образ
множества
при отображении функцией.

или— это образ множестваАпри отображении функцией;

4) найдем прообраз
множества
при отображении функцией:

— это прообраз множестваВпри отображении функцией.

1. Понятие многозначного отображения

Отображениеназываетсямногозначным
отображением, еслитакие, что им соответствуют более одного
элемента(рис. 32).

Рис. 32

Многозначные функции рассматривать
будем пока только в исключительных
случаях, поэтому по умолчанию любая
функция
считается задающей однозначное
отображение.

1. Обратное отображение

Пусть
,
причем,
где(рис. 33).

Рис.
33

Функцияназываетсяобратным
отображением по отношению к отображению,
или— этообратная
функция по отношению к функции.

Обратная функция
является, вообще говоря, многозначной.

Если
отображение
является взаимно однозначным, т.е.
биективным, то отображениеявляется также взаимно однозначным
отображением множестваYна множествоX (рис.
34).

Рис. 34

если — биекция, то— тоже биекция.

В этом случае функцияявляется обратной по отношению к функции,
а обе эти функцииfиназываютсявзаимно
обратными функциями.

Пример
5
(взаимно обратные функции)

1)		и ;
2)		и .

Подробнее
о взаимно обратных функциях изложено
в §8 данного конспекта.

1. Суперпозиция отображений (сложная функция)

Если заданы два отображенияи,
то отображение,
ставящее в соответствие любому элементуединственный элемент,
называетсясуперпозицией
отображений f и g (другие
названия:композиция
отображений,сложное
отображение).

Обозначение
суперпозиции отображений:
или.

Иллюстрация
к сложному отображению приведена на
рис. 35.

Рис.
35

Пример
6 (сложные
отображения)

1)

;

2)

Запись
сложных отображений как сложных функций:

.

Сложное отображение
(сложная функция) может получаться
суперпозицией любого количества
отображений.

Пример
7 (составление
сложных функций)

1) — сложная функция

;

2)

3)

,

1. Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите
образ
множествапри отображении функцией:
1),; 2),;
3),; 4),;

5) , ; 6)

,

;

2. Найдите
прообраз множества
при отображении функцией:
1),; 2),;
3),; 4),;
5),. 6)

3. Составьте
суперпозиции
идля заданныхии укажите множество задания и множество
значений каждого из составленных
отображений:
1),;
2),.

4. Запишите
суперпозиции
,,,
если,,;
укажите отображения множеств, которые
они задают.

Ответы
к упражнениям для самостоятельной
работы

1. 1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

2. 1)
,; 2);
3); 4);
5); 6).

3. 1) ;;
2); .

4.fsdfsfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfs

Задание 2.

Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.

.

Решение.

Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что .

Известно, что .

Обозначим . Получаем уравнение:

,

,

Отсюда

Z=

Ответ:

Задание 4.

Дана функция и множество .

1)  Изобразить множество на комплексной плоскости.

2)  Найти образ множества при отображении (описать множество С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.

,

Решение.

1)  Изобразим множество

Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.

Второму неравенству соответствует угол между лучами и .

Луч не входит в область, входит.

2)

А)

Б)

– коэффициент растяжения функции.

– угол поворота

Тогда получим область

В). Это есть перенос на (-2+i).

Получим искомую область Е/:

Задание 5.

Дана функция И точка .

1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням . Указать области, в которых справедливы полученные разложения.

2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е. .

Найдем коэффициенты A, B и С.

,

,

Получили .

У функции три особые точки , И .

Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:

I);

II);

III).

А) Преобразуем дроби к нужному виду

,

.

Используем разложение , .

Значит при и при , т. е. при и При можно получить разложения полученных выражений в ряд:

=.

Аналогично,

.=

Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:

.=

Б) При и при

Используем представления:

.=

=

Поэтому в кольце имеем:

С) при

.=

=[ Используем разложение , .]=

Поэтому

2)  Точка является изолированной особой точкой функции .

Используем разложение

В точке функция имеет простой полюс и вычет равен коэффициенту при , т. е. вычет равен 1.

3)  Точка является устранимой особой точкой.

Для нахождения вычета в данной точке получим разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем:

Поэтому .

Задание 6.

Дана функция и дано число .

1)  Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1)  Функция аналитическая при всех .

Точка – существенно особая, так как главная часть ряда Лорана бесконечна.

Имеем – величина вычета в точке z=1/

Получим теперь ряд Лорана в точке . Имеем:

Рассмотрим

Имеем

Получаем ряд Тейлора в точке

Тогда

– ряд Лорана в точке . Получаем

Задание 7.

Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.

, .

Решение.

Функция имеет особые точки .

Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:

Получается, что в круге лежат все особые точки .

Так как -устранимая особая точка, то вычет в ней равен 0

Так как – полюс второго порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:

Так как – полюс первого порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:

=

Ответ:

Проверка(маткад)

Задание 8.

Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.

, .

Решение.

Рассмотрим уравнение

Или

Имеем 4 корня;

В верхней полуплоскости имеем 2 корня

Это простые полюсы подинтегральной функции.

Найдем вычеты в этих особых точках:

По теореме о вычетах с учетом леммы Жордана получим:

Поэтому

Ответ:

Проверка:

Задание 9.

Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области (каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).

, .

Решение.

Пусть , где и .

При , имеем , , Т. е. .

По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге .

Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.

Пусть . При имеем . Поэтому в круге функция имеет столько же нулей сколько и функция , т. е. 1 нуль. Поэтому в кольце функция имеет 6-1=5 нулей.

Ответ: 5 нулей.

Проверка:

Задание 10.

С помощью вычетов найти оригинал изображения . Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )

.

Решение.

.

Рассмотрим функцию .

Найдем корни уравнения ,

, , – это особые точки второго порядка для данной функции.

Найдем вычеты в особых точках

Данные вычисления очень громоздки и при ручном вычислении в них легко допустить ошибку.

Воспользуемся Мапл:

Итак, оригинал имеет вид:

Этот же результат легко получить независимо в маткаде:

Так как независимые пакеты дали одинаковый результат корректность ответа установлена.

< Предыдущая		Следующая >

Соответствия и бинарные отношения на множествах

Отображение из множества в множество считается заданным, если каждому элементу сопоставлен единственный элемент . Отображение из множества в множество обозначают записью или . Элемент , который отображением сопоставляется элементу , называют образом элемента при отображении и обозначают .

Каждое отображение однозначно определяет множество упорядоченных пар , являющееся подмножеством декартова произведения множества на множество и называемое графиком отображения .

Наоборот, пусть в декартовом произведении задано такое подмножество , что:

1) для любого существует , для которого ;
2) для любых двух пар и множества из равенства следует равенство .

Тогда множество единственным образом определяет некоторое отображение из в . Это отображение, обозначаемое также , элементу сопоставляет элемент , удовлетворяющий условию . Таким образом, мы можем отождествить отображения с их графиками и считать, что отображение есть подмножество декартова произведения.

Отображение множества в себя называют тождественным, если при всех из .

В общем случае для отображения может существовать несколько различных элементов множества , образы которых совпадают. Множество всех элементов , для которых , называют прообразом элемента при отображении .

Так, прообраз числа при отображении есть множество всех решений уравнения , т.е. множество

Прообраз элемента может быть пустым множеством. Это имеет место, например, для числа при отображении .

Множество всех , таких, что найдется , для которого , называют областью значений отображения . Область значений отображения будем обозначать .

Отображение называют инъективным (инъекцией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из следует .

Отображение называют сюръективным (сюръекцией), если его область значений совпадает со всем множеством . Сюръективное отображение из в называют также отображением множества на множество .

Отображение называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Таким образом, если отображение биективно, то каждому элементу множества отвечает единственный элемент множества и наоборот. Тогда говорят, что множества и находятся между собой во взаимно однозначном соответствии.

Биекцию множества на себя называют автоморфизмом множества . Используют также термин “подстановка множества”.

---

Пример 1.2. а. Отображение, заданное равенством , есть, как нетрудно показать, биекция множества натуральных чисел на его подмножество .

б. Отображение есть биекция множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел.

в. Любая показательная функция , есть биекция множества всех действительных чисел на множество всех положительных действительных чисел.

г. Функция есть биекция множества на интервал .

д. Поворот окружности на заданный угол , т.е. отображение, сопоставляющее каждой точке окружности точку, в которую она перейдет при повороте всей окружности вокруг ее центра на угол , есть автоморфизм множества точек окружности.

---

Образ и прообраз множества

Пусть задано отображение и — некоторое множество. Множество элементов , таких, что , называют образом множества при отображении . Например, при отображении отрезок является образом множества (отрезка) , равно как и любого объединения отрезков вида (для произвольного целого ). При это можно записать следующим образом: .

Заметим, что для любого отображения образ всего множества есть область значений данного отображения.

Для произвольного множества множество всех элементов , таких, что , называют прообразом множества при отображении .

Например, для любого действительного числа множество, которое является объединением всех отрезков вида

есть прообраз отрезка при отображении .

Прообраз области значений произвольного отображения совпадает со всем множеством .

Множество всех отображений из в будем обозначать как .

---

Частичное отображение и его область определения

Понятие отображения можно обобщить. Обобщение может проходить по двум позициям. Во-первых, можно отказаться от полной определенности отображения, полагая, что образ определен не для каждого элемента множества , а для некоторых элементов этого множества. Тогда придем к понятию частичного отображения. При этом подмножество всех элементов , для которых определен образ, называют областью определения данного частичного отображения.

Многие элементарные функции являются частичными отображениями множества всех действительных чисел в себя. Например, функция есть частичное отображение с областью определения

Во-вторых, можно отказаться от однозначности отображения, полагая, что данному сопоставлен не один, а несколько образов (множество образов) в множестве . В этом случае говорят, что задано соответствие из множества в множество .

Примером могут служить обратные тригонометрические функции: скажем, “большой” арксинус, сопоставляющий каждому множество всех таких чисел , что , т.е. множество, являющееся прообразом элемента при отображении, определяемом графиком функции .

Если задано соответствие из в , будем использовать обозначение по аналогии с обозначением для отображений, понимая при этом, что есть уже не элемент множества , а его подмножество.

Аналогично графику отображения можно определить график соответствия из множества в множество как множество упорядоченных пар , таких, что и элементы связаны соответствием , то есть . Указанное множество упорядоченных пар есть подмножество декартова произведения .

Обратно, фиксируя на декартовом произведении какое-либо подмножество , мы тем самым однозначно определяем некоторое соответствие из в , а именно

Нетрудно заметить, что графиком соответствия будет как раз множество , а соответствием, отвечающим графику , будет . Поэтому можно отождествить соответствие с его графиком и считать, что соответствие из множества в множество есть некоторое подмножество декартова произведения , то есть . В частности, при получаем пустое соответствие, а при , совпадающем со всем указанным декартовым произведением, — универсальное соответствие.

При этом будем писать для упорядоченных пар, связанных соответствием .

Используют также термины “частичное мультиотображение” и “частичная многозначная функция”.

---

Пример 1.3. Рассмотрим множество программистов и множество программ . Зададим соответствие из в , связывающее программистов и разрабатываемые ими программы:

Область определения соответствия из множества в множество — это множество всех первых компонент упорядоченных пар из

Область значения соответствия — это множество всех вторых компонент упорядоченных пар из

Из определения вытекает, что . Соответствие из в называют всюду определенным, если его область определения совпадает с множеством .

Сечением соответствия для фиксированного элемента будем называть множество . Можно сказать, что сечение соответствия есть множество всех “образов” элемента при данном соответствии.

Сечением соответствия по множеству будем называть множество

Пример 1.4. Область определения соответствия т из примера 1.3 есть все множество , а область значения — все множество . Сечением соответствия по элементу будет множество .

---

Бинарные отношения на множествах

Соответствие из множества в себя, т.е. подмножество множества , называют бинарным отношением на множестве .

Пример 1.5. Простейшим примером бинарного отношения является отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел . Здесь каждому поставлены в соответствие такие , для которых справедливо .

Для произвольного бинарного отношения на некотором множестве часто используют запись вместо , говоря при этом об элементах, связанных бинарным отношением . Это согласуется с традиционной формой записи некоторых часто используемых бинарных отношений. Так, пишут , а не . Для таких бинарных отношений употребляют устоявшиеся словосочетания. Например, запись читается так: “ не больше “.

Бинарное отношение на множестве , состоящее из всех пар , т.е. пар с совпадающими компонентами, называют диагональю множества и обозначают . Нетрудно понять, что диагональ есть тождественное отображение на себя.

Иногда говорят о диагонали в множестве , хотя правильнее было бы называть это отношение диагональю декартова квадрата множества .

Для наглядного изображения соответствий из в (бинарных отношений, в частности) будем использовать два способа. Первый из этих способов состоит в интерпретации соответствия как подмножества декартова произведения, которое можно изображать примерно так же, как на плоскости можно изображать подмножества декартова квадрата числовых множеств. Второй способ, применяемый для конечных множеств в , — построение так называемого графа соответствия. В этом случае элементы множеств в изображаются на плоскости кружочками. Если и только если пара принадлежит соответствию , то в графе соответствия из кружочка, обозначающего элемент , проводим стрелку к кружочку, обозначающему элемент . Для бинарного отношения на конечном множестве часто удобнее использовать граф другого вида. Элементы множества изображаются кружочками только один раз, а стрелки проводятся по тем же правилам, что и в графе соответствия. Заметим, что при таком построении возможно соединение кружочка стрелкой с самим собой (петля).

---

Пример 1.6. а. На рис. 1.1, а изображены график и граф бинарного соответствия из примера 1.3.

б. Пусть . Бинарное отношение на определим как множество всех упорядоченных пар , таких, что . Тогда

Область определения отношения , область значений . График и два варианта графа отношения изображены на рис. 1.1, б.

в. Множество точек окружности есть график бинарного отношения на множестве действительных чисел, состоящего из всех таких упорядоченных пар , что , или, что равносильно, компоненты пары удовлетворяют уравнению . Область определения бинарного отношения есть отрезок , область значения — также отрезок .

---

Функциональное соответствие

Соответствие называют функциональным по второй (первой) компоненте, если для любых двух упорядоченных пар и из равенства следует (и из следует ). Функциональность соответствия по второй компоненте означает, что, фиксируя в любой упорядоченной паре, принадлежащей данному соответствию, первую компоненту, мы однозначно определяем и вторую компоненту. Таким образом, мы можем сказать, что соответствие, функциональное по второй компоненте, есть отображение (возможно, частичное).

Поэтому соответствие является отображением из в , если и только если оно всюду определено (т.е. ) и функционально по второй компоненте. Отметим также, что отображение из в является инъекцией тогда и только тогда, когда оно функционально по первой компоненте.

---

Отношения произвольной арности

В заключение обобщим понятие соответствия, определив отношения произвольной арности.

Определение 1.4. Произвольное подмножество декартова произведения называют (п-арным или п-местным) отношением на множествах .

В случае если все множества совпадают, т.е. , говорят об n-арном отношении на множестве .

Если — n-арное отношение на множествах и , то говорят об элементах , связанных отношением .

Замечание 1.3. При получаем бинарное отношение на множествах . Это не что иное, как соответствие из в , где множества и , вообще говоря, различны.

При получаем введенное ранее бинарное отношение на множестве, т.е. подмножество декартова квадрата .

Таким образом, в общем случае (при произвольном ) следует, строго говоря, различать термины “n-арное отношение” и “n-арное отношение на множестве”.

Связь между введенными понятиями отношения, соответствия и отображения проиллюстрирована на рис. 1.2.

Пусть n-арное отношение удовлетворяет условию: для любых двух кортежей

и

из выполнения равенств для любого следует, что и . Тогда отношение называют функциональным по i-й компоненте .

Другими словами, функциональность n-местного отношения по i-й компоненте равносильна условию, что, фиксируя все компоненты, кроме i-й, мы однозначно определяем и i-ю компоненту.

---

Пример 1.7. а. Представим строку учебного расписания как кортеж вида

(преподаватель, группа, дисциплина, аудитория, день, час).

Тогда расписание можно рассматривать как секстарное (шестиместное) отношение на соответствующих множествах. Оно будет функционально по первой компоненте, если, конечно, предположить, что два преподавателя или более не проводят одно и то же занятие одновременно в одном и том же месте (хотя, например, на лабораторных работах это возможно). Оно также функционально по третьей компоненте (один преподаватель не может вести одновременно занятия по разным дисциплинам), по четвертой (преподаватель со своей группой не могут находиться в разных аудиториях) и не будет, вообще говоря, функционально по второй, пятой и шестой компонентам.

б. Рассмотрим на множестве геометрических векторов в пространстве тернарное (трехместное) отношение , состоящее из всех упорядоченных троек компланарных векторов. Это отношение не является функциональным ни по одной компоненте, так как любым двум векторам соответствует бесконечно много векторов, образующих с ними компланарную тройку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Содержание:

Основные понятия:

Множество – одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.

Кантор описывает множество следующим образом:

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов пашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S

Термин «множество» характеризует совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы – элементов множества, которые обладают каким-либо общим для них свойством (признаком). Этот общий признак содержится в самом названии (задании) множества. Множество состоит из элементов и считается заданным, если о каждом из рассматриваемых объектов известно, входит он во множество или нет. Множество может быть задано либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. Символическая запись

Рис. 2.1. Множество А называют подмножеством другого множества U или множество А включено во множество U, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества U. Это обозначается . Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, А и В ) так и подмножества, имеющие общие элементы ( В и С). Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.

Свойства включения:

1. Каждое множество есть подмножество самого себя ;
2. Если ;
3. , т.е. множества А и В равны тогда и только тогда, когда эти множества состоят из одних и тех же элементов;
4. Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

1. Любое множество содержит в качестве подмножества.
2. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества: .

Множество называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными или истинными. В этом случае, когда говорят, что В строго включено в А (обозначается ):

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степеньюмножества А.

Если А не содержит элементов, т.е. , то его единственным подмножеством является .

Если А – одноэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются А и . Число этих подмножеств равно 2.

Если А – двухэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются Число этих подмножеств равно 4.

Несложно убедиться в том, что множество-степень конечного n-элементного множества (А) состоит из 2″ подмножеств.

Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком .

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества А и В называются непересекающимися.

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества А называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества А, что каждый элемент множества А является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Разностью множеств А и В или дополнением В до А называется множество, состоящее только из тех элементов А, которые не входят в В. Эта операция над множествами обозначается знаком .

А В Рис. 2.4.

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества U. В таком случае разность U А (дополнение А до U) обозначают, как, а операцию называют взятием дополнения.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С: .

Обозначается симметрическая разность: .

Для подмножеств данного множества U выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству U – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой на , U на и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества А и то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем -элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств А и В называется множество С, составленное из упорядоченных пар (а,b). Декартово произведение множеств А и В обозначается.

Очевидно, что и – различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.

Отображения

Отображение – одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть X и Y – произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества X на множество Y (запись: или ) если каждому элементу х множества поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества .

Элемент называется образом элемента х при отображении , а элемент называется прообразом элемента у при этом отображении. Образом множества X элементов х при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений Y. Множество X всех элементов, образы которых составляют область значений Y называется прообразом множества Y элементов . Множество X называется областью определения отображения .

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент y множества имеет хотя бы один прообраз х множества , т.е. .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества является образом лишь одного элемента х множества , т.е. образы любых двух различных элементов множества X различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно ипъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (X = U и Y= V), причем .

Произведение двух отображений и можно определить как отображение , которое каждому элементу х множества ставит в соответствие элемент множества .

Отображение множества X на множество Y иначе называется функцией на множестве X со значениями во множестве Y. Если множества X и Y совпадают, то биективное отображение множества X на себя называется преобразованием множества X. Простейшее преобразование множества X – тождественное – определяется так: . Тождественное отображение , переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования g, называется произведением преобразований .

Для преобразований одного и того же множества X справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение А = В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет большую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу а множества А был поставлен в соответствие его порядковый номер „ Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар {х,у), где .

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

• каждый элемент эквивалентен самому себе;
• высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;
• два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.

Пусть А – множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу а, называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент а из А находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных а, не существует, то а может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в А определяет на А разбиение на классы эквивалентности, т.е. А становится объединением непересекающихся классов.

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.

Способы задания множеств

Как в повседневной, так и в научной жизни часто говорят о чертах какого-либо коллектива, совокупности некоторых объектов. Так, например, можно говорить о студентах группы некоторого института, о совокупности точек внутри некоторого круга и т.д.

Понятие множества в математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из предметов, сведенных в одно целое. Предметы, собранные во множество, называются элементами множества. Понятие множество и элемент считаются основным понятиями и не сведены к другим понятиям путем применения формального определения. Таким образом, под множеством, мы будем понимать любое объединение в одно целое М определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются элементами М

Каждое множество считается самостоятельной осмысленной вещыо, как бы осмысленной оболочкой его элементов. Множество

считается известным, если заданы его элементы; множество определяется раз и навсегда заданием его элементов; множества не зависят or времени.

Следовательно, множество однозначно определяется его элементами.

Множество, у которого ни один предмет не является элементом, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается символом .

Для обозначения множеств обычно применяются заглавные латинские буквы. Выражение обозначает, что объект m является элементом М (читается: «m является элементом М или m принадлежит М»).

Выражение : «m не является элементом М или m не принадлежит М». Элементами множества могут быть и множссгва.

Справедлива следующая

Теорема 1.1.1. Два множества тождественны (равны) тогда и только тогда. если их элементы одинаковы.

Доказательство. Если два множества тождественны (равны), то на основе понятия тождественности элементы обоих множеств одинаковы.

С другой стороны, если о двух множествах нам известно, что их элементы тождественны, то эти два множссгва тождественны, так как множество однозначно определяется его элементами.

В определениях, касающихся геометрических мест, всегда присутствует отождествление множеств, заданных двумя разнымиопределениями.

Например. Перпендикулярная липия, пересекающая отрезок прямой, является геометрическим местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от двух концов озрезка. Это означает следующее: В плоскости множество точек перпендикулярной линии, пересекающей в середине отрезок прямой, тождественно множеству точек, расположенных на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Множество часто задается в следующем виде: элементы множества заключаются внутри фигурных скобок: {…}. Подобной записью может быть конкретное перечисление элементов множества или задание такого определения, которым элементы множества однозначно задаются.

Например:

• а) {гласные звуки слова «МАТЕМАТИКА»} – множество задано путем определения;
• б) {E, О, И, Я, О, Е}, {О, А, Е} – множество задано путем перечисления элементов.

Заметим, что один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если предмет повторяется несколько раз.

Тождественные множества связываются знаком равенства (=):

{А, А, Е, Е|={А, Е}.

Множество А считается подмножеством В, если каждый элемент А является и элементом В, что обозначается выражением .

Понятие части (подмножества) в теории множеств отличается от обычного понятия части. В обычном понимании часть всегда меньше целого. А по понятию части в теории множеств целое также входит в понятие части, т.е. каждое множество является элементом самого себя, гак как каждый элемент А является элементом А, значит . Пустое множество является частью каждого множества.

Множество А является действительным подмножеством множества B, если А является частью В, но не тождественно с ним, что обозначается .

Примеры:

1. Множество N неотрицательных целых чисел является действительной частью множества Z произвольных целых чисел: .
2. Множество Z действительная часть множества Q рациональных чисел:
3. Множество Q действительная часть множества R вещественных чисел
4. Множество R действительная часть множества С комплексных чисел:

Не существует никакого ограничения в отношении того, насколько много (или мало) элементов может быть в одном множеств: в одном множестве может быть любое, даже бесконечное количество элементов.

Сравнивать множества можно, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами.

Если каждому элементу множества А по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент множества В и если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Если между множествами А и В установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равиомощны-ми. Множество А называется бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его действительных подмножеств, в противном случае А – конечное множество. Бесконечное множество А счётно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел.

Например, множество всех действительных чисел R и множество натуральных чисел N имеют разные мощности. Первое множество имеет мощность континуума, а второе – счетное множество.

Особую роль в теории множеств играет универсальное множество, которое часто называют просчранством. Это некоторое множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.

Алгебраические операции над множествами

Определим операции, выполняемые над множествами.

а) Пересечением множеств Ми N называется множество, которое будет обозначаться М N, состоящее из элементов, принадлежащих как М, так и N, т.е. М N = .

Эта запись означает, что пересечение MN двух множеств состоит из элементов х, одновременно принадлежащих как М, так и

N. Например, если М = {0,1,2,3}, а N = {1,4,3,6}, то МN = {1,3}. Основные тождества этой операции состоят в следующем:

Если А В = А, то действительны следующие соотношения: ,

,

А В.

Вели , т.е. если А и В не имеют общих элементов, то

А и Б называются посторонними множествами.

Если есть совокупность множеств ,то пересечение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов,

принадлежащих одновременно всем множествам совокупности .

6) Объединением двух множеств А и В называется множество A В, состоящее из элементов, по крайней мере, одного из множеств А и В, т. е.

.

Эта запись означает, что объединение A В двух множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих множеству А или множеству В, или множеством А и В одновременно. Например, если A={0,1,2,3} а B={4,5,6,}, то A B = {0,1,2,3,4,5,6}.

Легко увидеть, что если А и В являются ограниченными множествами без общих элементов, то количество элементов AB = (количество элементов А) + (количество элементов В). На основе этих соотношений операция объединения часто называется суммированием множеств. Для операции объединения справедливы следующие тождества:

1. A В = В А (коммутативность).
2. A А = А (идемпотснция).
3. A = А.
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность).

Так же действительны соотношения: , тогда и только тогда, если A В=В.

В общем случае, когда имеется совокупность множеств ,то объединение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств совокупности .

в) Множество элементов Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением (разностью) к А в Е и обозначается через или СА или ЕА, т.е. .

Например. Если областью существования функции является А, а множество ее корней – В, то область существования функции-множество АВ.

Для операции разности справедливы следующие соотношения:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°..
• 4°. .
• 5°. .
• 6°..
• 7°..
• 8°. .

Два любых предмета а и b представляют собой упорядоченную пару, если предварительно задано, какой из них считается первым и какой вторым. Упорядоченные пары обозначаются символом (a, b), где а – первый элемент, b – второй {а и b могут быть тождественны).

г) Произведением А х В двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар (а, Ь), образованных из элементов а множества А и элементов b множества В, т.е. .

Пары (а, b) и (b, а) с считаются различными. Это особенно важно иметь в виду, когда множества Aw В совпадают.

Пример:

Если А ={a,е,i}, а В={b,с}, то

А х В = {(a,b), (а,с), (e,b), (e,c), (i,b), (i,с)},

.

В координатной геометрии точки плоскости характеризуются парами чисел, а точки пространства – тремя числами. Это означает, что если R обозначает множество точек числовой оси, то R х R -множество точек плоскости, а (RxR)xR- множество точек пространства. Отсюда возникло обозначение для произведения n множеств, идентичных множеству R всех вещественных чисел. Точка из является, следовательно, упорядоченной системой произвольных вещественных чисел .

Справедливы следующие операции для декартового произведения множеств:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°. , т.к. пустое множество не имеет элементов.

Понятие множества широко используется в экономических исследованиях. Так при изучении системы производства одного предприятия или нескольких, которые потребляют продукты: сырьё, энергию и трудовые ресурсы и производят в соответствии с некоторой технологией другие продукты-изделия, составляется математическая модель, где используется множество

, которое характеризует производственный процесс. Элементами этого множества являются векторы описывающие количество любого продукта, находящегося в системе.

• Заказать решение задач по высшей математике

Выпуклые множества. Пересечение выпуклых множеств

В первом пункте мы определили множество, указали способы его задания. Теперь мы укажем некоторые дополнительные свойства множеств. Для этого введем ряд определений.

Окрестностью точки называется множество

точек удовлетворяющих условию: или

Таким образом, окрестность образуют все точки х, удаленные от точки а на расстояние меньшее r.

Точка некоторого множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью.

Точка пространства называется внешней по отношению к некоторому множеству точек, если она с некоторой окрестностью не принадлежит этому множеству.

Точка пространства называется граничной, если в любой её окрестности имеются точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество, содержащее все граничные точки, называется замкнутым.

Например, отрезок является замкнутым множеством.

Множество (тело) называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя любыми точками Р и Q содержит все точки отрезка .

Примером выпуклого множества может служить отрезок. Из геометрии известны фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, эллипс. Множества точек, ограниченные эти фигурами, являются выпуклыми. В пространстве выпуклыми множествами являются: шар, эллипсоид, конус, цилиндр и другие.

Для выпуклых множеств, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пересечение выпуклых множеств (тел) есть выпуклое множество, если оно не пусто.

Доказательство. Пусть имеется не пустое пересечение выпуклых множеств. Возьмём две произвольные точки Р u Q, принадлежащие этому пересечению. По определению пересечения эти точки принадлежат каждому из множеств, а так как эти множества выпуклы, то вместе с точками Р и Q им принадлежат и все точки отрезка PQ. Следовательно, все точки отрезка PQ принадлежат и пересечению, что и доказывает его выпуклость.

Точка множество называется крайней, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего множеству.

Так у выпуклого многоугольника крайними точками являются его вершины. Их конечное число. В пространстве многогранником называется множество с конечным числом крайних точек. Следовательно. выпуклый многогранник является замкнутым выпуклым множеством.

Высказывание

Математическая логика является современной формой так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. В формальной логике и, соответственно, математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся, без практических исследований. Рассмотрим пример вывода:

Предпосылки: Если будет раздача премии, то мы выполним план.

Будет раздача премии.

Окончательные выводы: Мы выполним план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Обычно вместо предложений могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменённым только расположение слов «если» и «то» и расположение предложений, то есть структуру вывода. Структуру вывода можно выразить следующей схемой:

Если А, то В.

Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики. Важнейшими главами математической логики является калькуляция высказываний и калькуляция предикатов.

Определение 1.4.1. Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным.

Высказывание удовлетворяет условиям:

• а) оно не может быть одновременно и правильным и ложным (принцип непротиворечивости);
• б) исключено, чтобы оно было и неправильным и нсложным (принцип исключения третьей возможности).

Следовательно, каждое высказывание имеет значение 1 (истинно) или 0 (ложно).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями.

Определение 1.4.2. Под термином калькуляция высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний получается такое высказывание, правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложсностью членов.

Операции над высказываниями

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Простейшими примерами операций калькуляции высказываний является отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д.

Определение 1.5.1. Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Неправильно, что А» или некоторая грамматически преобразованая форма данного высказывания.

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самоё А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний.

Например: отрицание предложения «мотор работает» является предложение «мотор не работает».

Отрицание является (унарной) одночленной операцией. Отрицание А обозначается символом (читается «не А»). Таблица истинности для операции отрицания имеет вид: Таблица 1

Закон двойного отрицания: .

Здесь и в дальнейшем свойство высказываний «правильное» и «ложное» называется логическими значениями и обозначается 1 и О (п. и л.). Тогда операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значений вводятся логические переменные; они обозначаются символами .

Следовательно, логические переменные могут принимать два значения 1 или 0. При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операций обозначается скобками.

В общем случае, n-члснной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений 1 и 0 с длиной выражения n, а значением её является одно из двух логических значений 1 и 0.

Определение 1.5.2. Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В».

По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба её члена правильны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Таблица значений конъюнкции имеет вид:

Таблица 2

Справедлива следующая

Теорема 1.5.1. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

В области логических операций для контроля любого тождества составляется общая таблица операций, представленных по обеим сторонам знака =. Результат операций указывается в столбцах.

Пример:

.

Решение:

Доказательство данного равенства проведём в табл. 3:

Таблица 3

Определение 7.5.3. Под дизъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А или В».

По значению союза «или» дизъюнкция является ложной, если оба её члена ложны, т.е. используя логические переменные можно записать:

.

Дизъюнкция выражается с помощью операции конъюнкции и отрицания б следующей форме:

Таблица значений дизъюнкции имеет следующий вид:

Таблица 4

По аналогии с теоремой 3 можно сформулировать следующую теорему

Теорему 1.5.2. Каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания.

Например, операция конъюнкции выражается с помощью операций дизъюнкции и отрицания в виде: .

Определение 1.5.4. Операция, обозначаемая ,

называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим q).

Иначе её обозначение . Она выражается в следующем виде:

и читается: если р, то q из p следует q.

Таблица значений импликации имеет следующий вид: Таблица 5

И конъюнкция, и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания: ,

Поэтому любая логическая операция может быть выражена ( помощью операций импликации и отрицания.

Выражения вида: «если А, то В», «неправильно, что: А и не В» «В если только А», «только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В» соответственно обозначаются А В или А В.

Определение 1.5.5. Операция, обозначаемая,

называется эквивалентностью (читается р эквивалентно q). Выражениями данной операции являются следующие:

Так как высказывание тогда и только тогда, когда

p=q, то данная логическая операция соответствует образованию

сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Таблица значений эквивалентности имеет вид:

Таблица 6

Рассматриваются ещё:

операция Шеффера – отрицание операции конъюнкции , обозначаемая (р штрих q).

1) операция взаимоисключающего или (р или же q): . Например, или ты вылечишься до завтрашнего дня, или мы тебя отвезём в больницу;

2) операция «ни-ни» (обозначается ) «ни А ни В»: .

Предикаты и кванторы

Мри анализе вывода следует отмстить, что применяемые высказывания могут быть приведены из так называемых открытых предложений или предикатов, примерами которых служат: … является неделимым числом; … является столицей; … купил … за … рублей.

Если в эти схемы предложений вставить названия соответственно подобранных предметов (вместо пунктира), то получатся замкнутые предложения, высказывания. Такие предикаты выражаются однозначно в некоторых случаях, если вместо пунктира записываются буквы: x, у,z, … .

Кроме заполнения оставленных свободных мест названиями имеется и другой способ образования высказываний из предикатов: квантификация. Например, из открытого предложения «если х представляет собой дифференцируемую функцию, то функция х-непрерывная функция», подставив перед предложением «Для каждого л», получим следующее: Для каждого х, если х представляет собой дифференцируемую функцию, то x представляет собой непрерывную функцию. Текст «Для каждого x» обозначается символом и называется универсальным квантором.

Существует ещё экзистенциальный квантор, который заменят текст «Имеется такое х» или «Существует такое х» и обозначается .

Для точного анализа вводятся следующие понятия:

Определение 1.6.1. n-мерным предикатом , определённым на непустом множестве H, называется такая функция, областью существования которой является множество упорядоченных n – членных знаков, образованных из элементов множества H, а значениями – логические значения.

Предикаты обозначаются символами и т.д.

Жирными буквами обозначаются предикаты, а строчными буквами- аргументы предиката как функции; количеством последних определяется размерность предиката.

Например. Пусть Н- множество натуральных чисел, тогда предикат неделимого числа Fx определяется следующим образом:

Множества, операции над ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента  множеству обозначают следующим образом:  Если не является элементом множества  то пишут: Если – некоторые элементы, то запись означает, что множество  состоит из элементов 

Два множества  и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: ). Множество  называется подмножеством множества  если все элементы множества  являются одновременно и элементами множества (обозначение: («множество содержится в множестве ») или («множество содержит множество »). Например, так как всякое натуральное число  является целым, то где – множество натуральных чисел,  – множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться пустым множеством и обозначаться  Это множество является подмножеством любого множества. Пусть – множество, а  – какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда запись означает совокупность тех элементов множества  которые обладают свойством  Например, если и – два числа и  то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде: – отрезок; – интервал;

и – полуинтервалы. Здесь – множество действительных (вещественных) чисел.

Множество всех чисел называется также числовой прямой или числовой осью, а любое число – точкой этой прямой.

Пересечением множеств и называется множество  состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как  так и т.е.

Объединением множеств и называется множество  состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е.  или 

Разностью множеств и называется множество  состоящее из тех элементов множества  которые не принадлежат множеству т.е. и

Пусть – некоторое основное множество, тогда дополнением множества называется множество  состоящее из всех элементов и не принадлежащих  т. е.

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству  образуют множество  Следовательно, 

Логические символы

Многие математические понятия удобно записывать, пользуясь логической символикой. Так, символ  называемый квантором общности, используется вместо слов «для любого», «для всех», «для каждого», «какого бы ни было» и т. д., символ – квантор существования – вместо слов «существует», «найдется», «имеется» и т. д. 

Часто используются также логические символы следствия  и равносильности

Грани числовых множеств

Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число что  для любого  Число  в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества 

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа и такие, что   Эти неравенства показывают, что множество  ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число  такое, что

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется неограниченным.

Если число является верхней гранью множества  то и любое число больше тоже является верхней гранью, и, если число -нижняя грань множества  то всякое число, меньше будет нижней гранью

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозначается символом  («супремум ) ( «инфимум

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество не ограничено сверху (снизу), то иногда используют обозначение 

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

Множество вещественных чисел  удовлетворяющих неравенству  т.е. называется окрестностью точки 

Множество вещественных чисел  удовлетворяющих неравенству  называется проколотой  окрестностью точки (точка исключена из своей окрестности).

Геометрически окрестность точки есть интервал длиной серединой которого является точка числовой прямой.

Точка  называется предельной точкой множества  если в любой окрестности точки находятся точки из отличные от . Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству 

Точка называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из отличных от

Точка называется внутренней, если существует некоторая окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал  замкнутым множеством – отрезок 

Точка  называется граничной точкой множества  если любая окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества. Например, если то все точки интервала являются внутренними точками множества а граница этого множества состоит из двух точек:  и

Если множество представляет собой область (открытое множество), то множество  полученное присоединением к всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

ЛЕКЦИЯ 12 Образ и прообраз множества при данном соответствии 21. 11. 2012 г.

• Пусть дано соответствие Г = (X, Y, F). • Образом элемента х Х при соответствии Г называется и через Г(х) обозначается множество элементов y Y, для которых пара F. Иначе, Г(х)={y Y| F}. Т. е. , образ элемента х Х – это множество тех элементов y Y, которые соответствуют элементу x. • На графе образ элемента x можно представить как множество тех вершин y, в которые входят дуги, выходящие из вершины x.

ПРИМЕР • x 1 x 2 x 3 x 4 • y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 • Образ элемента x 2 Г(x 2)={y 3}; • Образ элемента x 3 Г(x 3)={y 1, y 3}; • Образ любого множества A X при соответствии Г = (X, Y, F) представляет собой объединение образов всех элементов x A и обозначается Г(А).

• В общем случае справедливо: • Г(А) = Г(х) • х А • Для рассмотренного примера если А={x 2, x 3}, то Г(А)=Г(х2) Г(х3)={y 3} {y 1, y 3}={y 1, y 3}. • Пусть дано соответствие Г = (X, Y, F). • Прообразом элемента y Y при соответствии Г называется и через Г-1(y) обозначается множество элементов x X, для которых пара F.

5 • Таким образом, Г-1(y)={x X| F } – это множество тех элементов из Х, которым соответствует элемент y. • На графе прообраз элемента y можно представить множеством тех вершин х, из которых выходят дуги, заходящие в вершину y. Для рассмотренного примера • Г-1(y 3)={x 1, x 2, x 3}, Г(y 4)= .

6 • Прообразом произвольного множества B Y при соответствии Г = (X, Y, F) называется объединение прообразов всех элементов y B и обозначается Г-1(В), т. е. • Г-1(В) = Г-1(y) • y B • Если В={y 3, y 4, y 5}, то при соответствии Г для рассмотренного примера прообраз запишется • Г-1(В)={x 1, x 2, x 3, x 4}.

7 • Пусть Г = (X, Y, F) – произвольное соответствие и А – произвольное подмножество множества Х. • Сужением соответствия Г на множество А называется и через ГА обозначается соответствие, график которого FA определяется выражением: • FA = (A Y) F, т. е. ГА = (X, Y, FA). • Соответствие ГА Г. Соответствие Г в этом случае называют продолжением соответствия ГА на множество Х.

Основные свойства соответствий • 1. ФУНКЦИОНАЛЬНОСТЬ: • Соответствие Г = (X, Y, F) называется функциональным, если для любого х Х образ Г(х) содержит не более одного элемента y Y, в противном случае соответствие называется нефункциональным.

ПРИМЕР: x 1 x 2 x 3 • y 1 y 2 y 3 • Соответствия • Функциональное Нефункциональное

10 • 2. ИНЪЕКТИВНОСТЬ: • Соответствие Г = (X, Y, F) называется инъективным, если для любого y Y прообраз Г-1(y) содержит не более одного элемента х Х, в противном случае соответствие называется неинъективным.

ПРИМЕР: • • X 1 Y 1 X 2 Y 2 X 3 X 1 X 2 X 3 Y 1 Y 2 Y 3 Соответствия инъективное неинъективное

12 • 3. ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ: • Соответствие Г = (X, Y, F) называется всюду определенным, если для каждого х Х образ Г(х) , в противном случае соответствие не всюду определено. • В графе всюду определенного соответствия из каждой вершины х Х выходит хотя бы одна дуга.

13 • 4. СЮРЪЕКТИВНОСТЬ: • Соответствие Г = (X, Y, F) называется сюръективным, если для любого элемента y Y прообраз Г-1(y) , в противном случае соответствие несюръективно. • В графе сюръективного соответствия в каждую вершину, соответствующую y Y, входит хотя бы одно ребро (дуга, стрелка). • Если соответствие одновременно функциональное, инъективное, всюду определенное и сюръективное, то оно называется взаимно-однозначным или биективным.

ПРИМЕР: • • X 1 X 2 X 3 X 4 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 • Взаимно-однозначное • (биективное) соответствие Г = (X, Y, F)

14 • Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением. • Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы. • Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества). (википедия)

Общее понятие функции • Пусть Х – некоторое числовое множество. • Говорят, что на Х задана функция, если любому элементу из множества Х поставлено в соответствие определенное число y Y. • Если теперь перейти от числовых множеств к множествам произвольной природы, то приходим к самому общему понятию ФУНКЦИИ.

17 • Пусть X и Y – множества произвольной природы, и пусть между ними задано соответствие. • Если соответствие функционально, то оно называется функцией и обозначается • f = (X, Y, F). • Из определения следует, что функция может быть определена не на всех элементах множества Х.

18 • Если же функция определена на всех элементах множества Х, т. е. введенное соответствие не только функциональное, но и всюду определенное, то такая функция называется ОТОБРАЖЕНИЕМ. • Различают отображение X на Y и отображение X в Y. • X на Y, если f(X) = Y, • X в Y, если f(X) Y. • ФУНКЦИЯ – частный вид СООТВЕТСТВИЯ.