Как найти площадь поверхности цилиндра через диагональ

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

S = 2 π R h

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

S = π R²

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

S = π (d/2)²

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R² или S = 2 π R (h + R)

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см².

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см)  = 326,56 см².

На этом уроке мы выведем и научимся применять
формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади полной
поверхности цилиндра.

Для начала давайте вспомним, что же это за
геометрическое тело – цилиндр. Итак, тело,
ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами  и , называется цилиндром.

Напомним, что боковой поверхностью
цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между
основаниями цилиндра.

На экране изображён цилиндр с радиусом  и высотой
. Давайте
представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей  и
развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в
некоторой плоскости .

В результате в плоскости  получится прямоугольник . Стороны  и , которого
являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра по образующей . Этот
прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Обратите внимание, основание  прямоугольника является развёрткой окружности основания
цилиндра, отсюда сторона  равна длине окружности основания, т.е. равна , где  – радиус
цилиндра. А сторона  равна
высоте цилиндра, т.е. .

Площадь боковой поверхности цилиндра равна
площади её развёртки. А так как развертка боковой поверхности цилиндра есть
прямоугольник , то
площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длин сторон
прямоугольника  на , или
равна .

Итак, мы с вами вывели формулу для вычисления
площади боковой поверхности цилиндра радиуса  и высоты : .

Получили, что площадь боковой поверхности
цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Теперь выведем формулу для вычисления площади
полной поверхности цилиндра.

Вообще, площадью полной поверхности
цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух
оснований.

Напомним, что основаниями цилиндра
являются два равных круга, каждый с площадью . А
формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра  мы с вами уже вывели выше. Подставим все данные в формулу.
Упростим.

Отсюда, получаем, что площадь полной
поверхности цилиндра можно вычислить по формуле: . 

А сейчас давайте решим несколько задач на
применение выведенных формул.

Задача: цилиндр получен в
результате вращения прямоугольника  около
прямой .
Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, если длины сторон  и  прямоугольника
равны соответственно  см и  см.

Решение: запишем формулу для
вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь внимательно рассмотрим рисунок.

Обратите внимание, сторона  прямоугольника
является
радиусом основания цилиндра. А сторона  – это
высота нашего цилиндра.

 см

Подставим эти данные в формулу для вычисления
площади боковой поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь боковой
поверхности нашего цилиндра равна .

Запишем ответ.

Задача: осевое сечение цилиндра
– квадрат, длина диагонали которого равна  см.
Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение: запишем формулу для
вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь рассмотрим рисунок.

Напомним, что осевым
сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его
ось. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого –
образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Так как по
условию задачи осевое сечение цилиндра квадрат  – квадрат , то
все стороны осевого сечения равны . Тогда получаем, что диаметр цилиндра равен высоте
цилиндра . А, значит, имеем равносторонний цилиндр.

Найдём, чему
равна сторона осевого сечения. По условию нам дана длина диагонали квадрата. Значит,
можем вычислить и его сторону. Напомним, что диагональ квадрата можно вычислить
по формуле: , где а сторона квадрата. Отсюда выразим
сторону квадрата. Тогда получим, что сторона осевого сечения равна   .

Так как радиус
равен половине диаметра, то  .

Подставим найденные
радиус основания цилиндра и его высоту в формулу для вычисления площади боковой
поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности
цилиндра равна  .

Не забудем
записать ответ.

Задача: высота цилиндра равна  см. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной
оси цилиндра и находящейся на расстоянии  см от нее, равна  см². Вычислите площадь полной поверхности
цилиндра.

Решение: запишем формулу для вычисления площади полной
поверхности цилиндра.

Теперь рассмотрим рисунок.

Напомним, что если
секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит
прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды
оснований цилиндра. Следовательно, сечением нашего цилиндра служит прямоугольник
.

Ранее мы с вами
говорили, что высота цилиндра и его образующие параллельны и равны. Значит, стороны
 и  сечения равны  (см).

Найдём, чему
равны стороны  и  сечения. Так как площадь сечения равна 160 см²,
то стороны .

Рассмотрим . Он равнобедренный, так его стороны .

Так как
расстояние от точки до прямой – это есть перпендикуляр, то отрезок  является перпендикуляром, проведённым к стороне . Следовательно,  – высота равнобедренного , а, значит, и медиана по свойствам высоты
равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

Теперь
рассмотрим . Он прямоугольный.  .

  по условию.

Отсюда, применяя
теорему Пифагора имеем,  .

Подставим
значения радиуса и высоты цилиндра в формулу для вычисления площади полной
поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь полной поверхности нашего
цилиндра равна .

Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке
мы вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и
площади полной поверхности цилиндра. А также научились их применять при решении
задач.

Определение цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, которое можно получить при вращении прямоугольника вокруг какой-либо его стороны.

Онлайн-калькулятор площади поверхности цилиндра

На самом деле, это определение только самого простого, кругового цилиндра. Более общее определение цилиндрического тела следующее:

Цилиндром называют тело, образованное пересечением параллельных друг другу прямых и двух плоских поверхностей.

Такие прямые называются образующими данного цилиндра.
Прямая, перпендикулярная обоим основаниям, является высотой цилиндра.
Плоские поверхности называют основаниями данного цилиндра. Часто, они параллельны друг другу, но не всегда.

Виды цилиндра

Виды цилиндра зависят от того, под каким углом пересекаются образующие и основания нашего тела.

Если угол равен 90 градусам, то получим, так называемый, прямой цилиндр. У него есть ось симметрии – это перпендикуляр, соединяющий центры его оснований.

Если угол другой, то цилиндр называется наклонным.

Если форма основания – гипербола, то цилиндр гиперболический, если парабола — параболический, если эллипс — эллиптический, если круг — круговой.

Если основания цилиндра не параллельны, то он называется косым.

Формула площади поверхности цилиндра

Полная площадь поверхности цилиндра является суммой его боковой площади поверхности и площади оснований.

S=Sосн+SбокS=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}

SоснS_{text{осн}} — площадь оснований;
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности.

При вычислении площади поверхности цилиндра важным фактором является вид цилиндра. От него зависит и конкретная формула для площади.

Формула площади поверхности кругового цилиндра

Sосн=2⋅π⋅r2S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2

Sбок=2⋅π⋅r⋅hS_{text{бок}}=2cdotpicdot rcdot h

rr — радиус круга (основания кругового цилиндра);
hh — высота этого цилиндра.

Сокращенно, это формулу можно записать так:

S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h=2⋅π⋅r⋅(r+h)S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+2cdotpicdot rcdot h=2cdotpicdot rcdot(r+h)

Пример

Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 6 (см.). Высота цилиндра – 20 (см.). Найдите полную площадь его поверхности.

Решение:

r=6r=6
h=20h=20

По формуле:

S=2⋅π⋅r⋅(r+h)=2⋅π⋅6⋅(6+20)≈979,68S=2cdotpicdot rcdot(r+h)=2cdotpicdot 6cdot(6+20)approx979,68 (см. кв.)

Ответ: 979,68 см. кв.

Формула площади поверхности наклонного кругового цилиндра

Sосн=2⋅π⋅r2S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2

Sбок=p⋅lS_{text{бок}}=pcdot l

rr — радиус круга (основания кругового цилиндра);
pp — периметр сечения наклонного цилиндра перпендикулярно образующей;
ll — длина образующей этого цилиндра.

Пример

Найти площадь поверхности наклонного цилиндра, если периметр pp сечения плоскости, составляющей прямой угол с образующей, равен 30 (см.), а сама образующая равна 7 (см.) Радиус окружности, лежащей в основе цилиндра в два раза меньше его образующей.

Решение:

r=l2r=frac{l}{2}
p=30p=30
l=7l=7

Найдем сначала радиус основания:

r=l2=72=3.5r=frac{l}{2}=frac{7}{2}=3.5

Тогда полная площадь:

S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+p⋅l=2⋅π⋅3.52+30⋅7≈76,93+210=286,93S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+pcdot l=2cdotpicdot 3.5^2+30cdot 7approx76,93+210=286,93 (см. кв.)

Ответ: 286,93 см. кв.

На сайте Студворк предусмотрено решение контрольных работ на заказ для школьников и студентов.

Тест по теме «Площадь поверхности цилиндра»