Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления площади равностороннего треугольника
Формула
Чтобы найти площадь равностороннего треугольника (рис. 1), нужно квадрат его стороны умножить на
$sqrt{3}$ и поделить на четыре, то есть
$$mathrm{S}_{Delta}=frac{a^{2} sqrt{3}}{4}$$
Эту формулу легко получить из общей
формулы для площади треугольника
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$
при условии, что $a=b$ (так как треугольник равносторонний) и
$alpha=60^{circ}$ (угол равностороннего треугольника).
Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Примеры вычисления площади равностороннего треугольника
Пример
Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если известно, что его сторона равна 2 дм.
Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:
$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{2^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{4 cdot sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ (дм2)
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{3}$ (дм2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если его высота равна 3 м.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).
Так треугольник равносторонний, то его высота $BH$ является и
медианой, а это означает, что $AH=HC$ .
Пусть $HC=x$, тогда $AC=2HC=2x=BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник
$BHC$. Записываем для него теорему Пифагора:
$$B C^{2}=B H^{2}+H C^{2}$$
$$(2 x)^{2}=2^{2}+x^{2}$$
Решаем полученное уравнение относительно $x$ :
$4 x^{2}-x^{2}=9 Rightarrow 3 x^{2}=9 Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow H C=x=sqrt{3}$ (м)
Отсюда получаем, что
$A C=2 x=2 sqrt{3}$ (м)
А тогда искомая площадь
$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{(2 sqrt{3})^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{12 sqrt{3}}{4}=3 sqrt{3}$ (м2)
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=3 sqrt{3}$ (м2)
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как можно вычислить площадь равсностороннего треугольника?
Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными
сторонами, она равна:
S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.
Площадь можно также найти следующим образом:
S = a*h/2, где h – это высота.
Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:
h = а² – (а/2)².
Как можно рассчитать площадь равностороннего треугольника, если известно,
что площадь треугольной фигуры, отсекаемой от него средней линией,
составляет 6 см. кв.?
Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим
длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим
как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.
В случае с равносторонним треугольником:
S = а²√3/4
Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее
равенство:
МК = АС/2 = а/2.
В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:
Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.
В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:
а²√3/16 = 6
а² = 96/√3.
Площадь равностороннего треугольника:
S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.
Как можно вычислить площадь равностороннего треугольника при условии, что
его периметр составляет 24 см.?
Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на
3:
а = 24:3 = 8 см.
Тогда площадь этой фигуры равна:
S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.
Что представляет собой формула площади равностороннего треугольника?
Обозначив одну из сторон равносторонней треугольной фигуры как а, а
высоту, проведенную к ней, – как h, то формула расчета площади этой фигуры
будет выглядеть так:
S=ah/2.
Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны,
то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему
Пифагора:
h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4
h = (а√3)/2
Тогда площадь данной фигуры равна:
S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4
Как выразить длину стороны а из формулы площади равностороннего
треугольника?
Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны,
используется формула:
S=a²√3/4
Перенесем 4 в правую часть равенства:
4S=a²√3.
Тогда:
a² = 4S/√3
а = √4S/√3.
Какая формула используется для вычисления площади равностороннего
треугольника с длиной стороны а?
Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь рассчитывается так:
S = а²√3/4.
Каким образом можно привести доказательство теоремы о площади
равностороннего треугольника?
Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как
фигура является равносторонней, то АВ = АС.
Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой
одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.
Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его
углов, и получим что:
ΔВАС = ΔВСD.
Площадь квадрата равна:
S = а*b.
Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит
квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника
равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.
Как вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 9 см.?
Имеется треугольник АВС с равным сторонами.
ВН = 9 см.
Площадь данной фигуры находится по формуле:
S=1/2*АС*ВН,
в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из
сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.
Предположим, что АС = 2а см. Тогда:
АН = АС/2 = ½*2а = а см.
Согласно теореме Пифагора:
АВ² = ВН²+АН².
В данном случае:
(2а)² = 9²+а²
Переносим а² в правую часть уравнения:
4а²-а² = 81
Упрощаем:
3а² = 81.
Отсюда:
а² = 81/3 = 27
а=√27=√9×3=3√3 см.
Теперь можно найти площадь:
S=1/2*9*3√3=1/2*27/√3=27√3/2=13,5√3 см.кв.
Какому числу равна площадь равностороннего треугольника с основанием длиной
6 см.?
Известна формула расчета площади треугольника:
S=1/2*h*b.
Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет
собой также биссектрису и медиану.
Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:
h = √(36-9) = √27 см.
Тогда:
S = h*3 = 3√27 см.кв.
Возможно ли привести доказательство того, что площадь равностороннего
треугольника равна √3*a²/4, в которой длина его стороны обозначена как а?
Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно,
если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь
которого равна произведению длины стороны и высоты.
Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит,
что площадь одной из треугольных фигур находится так:
S = a*h /2.
Высоту можно выразить через определение синуса.
Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60
градусов (180/3).
sin(60) = V3/2.
Из определения синуса следует:
h/a = sin(60).
Это значит, что:
h = a*V3/2.
Значит:
S = a*a*V3/4.
Почему площадь равностороннего треугольника равна a^2√3/4?
Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:
S = 1/2*a*b*sinA,
в которой стороны треугольника обозначены как а и b, а угол, образованный
ими, – как А.
Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60
градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если
подставить эти значения в формулу, то получим:
S = a22√3/4.
Как найти площадь равностороннего треугольника при условии, что длина каждой
его стороны составляет 12 см.?
Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:
S = √3/4*a².
В данном случае:
S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.
Согласно формуле Герона:
S = √(р(р-а)(р-a)(p-a))
Для данного треугольника:
Р = 12*3 = 36 см.
Р = р/2 = 36/2 = 18 см.
Тогда:
S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.
Как вычислить площадь правильного равностороннего треугольника, зная радиус
круга R?
Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:
S = a²√3/4.
Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:
а = 2√3r.
Считаем площадь треугольника:
S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².
Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры,
равен a/√3. Следовательно, а = R√3.
В этом случае:
S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.
Известно, что площадь правильного треугольника равна 100√3 м.кв. Как
вычислить его сторону?
Площадь треугольника равна:
(a²√3)/4.
В данном случае:
100√3=(a²√3)/4
Тогда:
a²√3=400√3.
Находим а:
a²√3 = 400√3
a² = 400
a = 20 см.
Чему равна площадь правильного треугольника при условии, что диаметр
окружности, вписанной в него, = 10 см.?
Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.
Известно, что:
r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.
Значит:
5 = а√3/6.
Отсюда:
а = 30/√3 = 10√3 см.
Тогда:
SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.
Чему равна площадь правильного треугольника со стороной 4 дм.?
Известно, что:
S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.
Площадь также можно найти так:
S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.
Как найти площадь правильного треугольника, зная, что длина описанной около
него окружности равна 4Пи см.?
Длина окружности через радиус находится так:
L=2πR.
Значит:
R=L/2π=4π/2π=2 у.е.
Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:
a=R*√3=2√3 у.е.
Можем найти SΔ:
S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у.е.кв.
Чему равна площадь правильного треугольника и его стороны, если его высота =
14 см.?
В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что
каждую из них можно обозначить как х. Тогда:
Р (периметр) = х + х + х = 3х см.
Площадь будет равна:
S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника с равными сторонами при условии,
что радиус круга R?
Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:
S = a²√3/4.
Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.
Находим площадь треугольника:
S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².
Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3.
Это означает, что а = R√3.
Теперь можем высчитать площадь треугольника:
S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.
Как найти площадь правильного треугольника при условии, что расстояние от
его центра до вершины составляет 2 м.?
Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой
описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от
центра до вершины фигуры:
а=R√3=2√3
Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60
градусов (180/3).
Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:
а²sin60°/2=(2√3)²√3/2/2=6√3 м.кв.
Как найти площадь правильного треугольника, если определено, что сторона
имеет длину, аналогичную длине стороны ромба с диагоналями 10 см. и 12 см.?
Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь
в определенной точке.
ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.
Согласно теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.
Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине
стороны ромба:
а = √41.
Тогда:
SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника периметром 6 см.?
Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь
вычисляется следующим образом:
S = a²√3/4.
Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон
одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на
три:
а = 6/3 = 2 см.
Ищем площадь, подставив в равенство значение а:
S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника при условии, что окружность,
которая вписана в него, имеет радиус длиной 4 см.?
Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть
рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса
окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о
том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в
отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная
фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют
одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь
треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6
треугольников, формирующих его.
Какова формула вычисления площади равностороннего треугольника со стороной
а?
Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь можно найти:
S = a²√3/4.
Как определить, чему равна длина стороны треугольника с равными сторонами,
зная формулу, по которой вычисляется площадь равностороннего треугольника
(S=√3/4 а²) и то, что она равна 9√3см²?
Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².
Выразим а²:
а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36
а = +-√36 = +- 6.
Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.
Какой вид имеет формула, которая отражает зависимость площади
равностороннего треугольника от длины его сторон?
Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов.
Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения
длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:
S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.
Чему равна площадь равностороннего треугольника и длина его медианы, если
известно, что его сторона составляет а?
Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а,
то его площадь равна:
S=a²√3/4.
Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также
представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:
h=a√3/2.
Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.
Как определить площадь равностороннего треугольника со стороной, длина
которой составляет 8√2 см?
В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой
также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она
опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:
h = √((8√2)²-(4√2)²)=4√6 см.
Теперь есть возможность найти площадь:
S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.
Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:
S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.
Дано два равносторонних треугольника, площадь одного из которых превышает
площадь другого в три раза. Чему будет равна сторона второго равностороннего
треугольника, при условии, что сторона первого из них составляет 1 см.?
Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:
S = a²√3/4.
Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:
S₁ = 12 √3/4 = √3/4 см.кв.
Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в
три раза. Тогда:
S₂ = 3√3/4.
Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.
Сторона равностороннего треугольника равна 14 см. Чему будет равна его
площадь, умноженная на √3?
Формула площади для треугольника с равными сторонами:
S = а²*√3/4.
Подставляем значение а:
S = 14²*√3/4 = 49√3 см. кв.
Умножаем полученное число на √3:
49√3*√3 = 49*3 = 147 см.
Читать дальше: как найти площадь круга.
Как найти площадь равностороннего треугольника?
Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).
Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:
![[S = frac{1}{2}absin alpha ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca690be1647bbe62e910873a0b51e372_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.
Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.
Подставляем b=a и α=60º:
![[S = frac{1}{2}absin alpha = frac{1}{2}a cdot a cdot sin {60^o}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3794ed22528f00ac04799a98354d9d0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Подставляем значение синуса 60 градусов:
![[S = frac{1}{2}{a^2} cdot frac{{sqrt 3 }}{2} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-189720a1e761226596c3df2ce7ccc702_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом,
формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
![[S = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b3af7276ca68d0eae3a95d793d2be5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В задачах часто найти правильное решение можно зная площадь треугольника. Выбор формулы для этого действия зависит от его характеристик.
Что такое равносторонний или правильный треугольник
Для треугольника, как для геометрической фигуры, обязательным условием является наличие трех сторон, образующих три угла. В зависимости от соотношения длин сторон и величин углов треугольники подразделяются на:
- равносторонние;
- разносторонние;
- прямоугольные;
- равнобедренные.
Треугольник, имеющий все стороны одинаковой длины, носит название равностороннего.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Источник: ru-static.z-dn.net
Второе название такой фигуры — «правильный». Это самый простой правильный многоугольник, в котором биссектриса полностью совпадает с медианой и высотой.
Одной из важных характеристик равностороннего треугольника является та, что все три его внутренних угла равны и составляют 60о каждый. Это еще раз подтверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна 180о.
В любой равносторонний треугольник может быть вписана окружность. При этом ее центральная точка непременно совпадет с тем местом, в котором пересекаются высота и медиана этого треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через сторону, формула
Учитывая названные свойства треугольника с равными сторонами, высчитать его площадь можно несколькими способами:
- через длину стороны:
- через высоту;
- используя треугольник, вписанный в окружность.
Чтобы понять формулы для вычисления, рассмотрим рисунок:
Источник: kalk.top
На данном рисунке условные обозначения следующие:
Источник: kalk.top
Чтобы находить площадь равностороннего треугольника через его сторону, можно использовать формулу:
Источник: kalk.top
Высота h, являющаяся одновременно биссектрисой и медианой, делит нижнюю сторону на две половины. Длину одной половину можно выразить (a/2).
Кроме этого, она образует два прямоугольных треугольника, один из которых рассмотрим отдельно:
Источник: interneturok.ru
Используя теорему Пифагора, получаем равенство:
Источник: interneturok.ru
Из приведенных выражений легко вывести формулу для нахождения площади, если известна длина стороны:
Источник: interneturok.ru
Доказательство данной формулы настолько очевидно, что может быть легко восстановлено в памяти в любой момент.
Площадь равностороннего треугольника через высоту, формула
Рассчитать такую величину, как площадь треугольника со сторонами одной длины, можно не только зная это значение, но и используя саму высоту.
Согласно теореме о площади любого треугольника, она равна произведению двух величин: длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Для равностороннего треугольника такое утверждение также справедливо.
(S=(1/2)ah)
В ходе доказательства этой формулы используется алгоритм построения из имеющегося треугольника параллелограмма, нахождения его площади и деления пополам.
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
Источник: www.resolventa.ru
Основанием для выведения формулы площади равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, является утверждение, что:
В треугольнике с равными сторонами центр окружности, в которую вписан этот треугольник, является точкой пересечения его медианы, высоту и биссектрисы одновременно.
Тогда равенство (2/3h=R) подтверждено.
Следовательно, формулировка выражения для нахождения площади через радиус описанной окружности выглядит так:
Источник: www.resolventa.ru
Примеры решения задач
Задача 1
Периметр равностороннего треугольника составляет 36 см. Какова площадь данной геометрической фигуры?
Решение.
Первым действием будет нахождение длины стороны через известных периметр: 36:3=12 (см)
Второе действие основано на формуле: (S=(a2√3)/4 = 144√3/4=36√3)
Ответ: (36√3)
Задача 2
Площадь равностороннего треугольника равна (25√3). Какова длина его стороны?
Решение: Используя формулу площади равностороннего треугольника через известную длину стороны, получаем выражение:
(S=(a2√3)/4)
(25√3=(a2√3)/4)
(25=a2)
a=5
Ответ: сторона треугольника равна 5.
Задача 3
Площадь равностороннего треугольника равна (49√3). Чему равна высота этой фигуры?
Решение.
Первым действием находим длину его стороны:
(S=(a2√3)/4)
(49√3=(a2√3)/4)
(49=a2)
a=7
Во втором действии применяем формулу: (h=a√3/2=7√3/2=3,5√3)
Ответ: высота равна (3,5√3)
Задача 4
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего трегольника, равен 10. Найти площадь этого треугольника и длину его стороны.
Решение:
В первом действии применяем формулу:
(S=3√3/4*R2)
(S=300√3/4=75√3)
С другой стороны:
(S=a2√3/4)
(75√3=a2√3/4)
Сокращая √3, получаем: (4a2=75)
a=√18,75
Площадь равностороннего треугольника доказательство
Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения
Площадь треугольника:
Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.
Доказательство:
Пусть 
1) Проведем через вершину 
прямую, параллельную 
а через вершину 
— прямую, параллельную 
Получим параллелограмм 
2) 
(по трем сторонам). Поэтому
откуда 
3) Так как 
то 
В общем виде формулу площади 
треугольника можно записать так:
где 
— сторона треугольника, 
— высота, проведенная к ней.
Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.
Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.
Пример:
Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Доказательство:
Рассмотрим 
и 
у которых 
Проведем высоты 
и 
(рис. 238).
2) 
(по острому углу), поэтому 
3) Имеем: 
Пример:
Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 
Решение:
Пусть 
— равносторонний со стороной 
Тогда 
В равностороннем треугольнике 
где 
— медиана. Но 
(§ 18, задача 4), поэтому 
Следовательно, 
Ответ. 
Пример:
Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.
Решение:
Так как 
(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.
Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого 
см -гипотенуза, 
и 
см — катеты, 
— высота. Найдем 
Площадь этого треугольника можно найти
по формулам: 
или 
Тогда 
то есть 
откуда 
Таким образом, имеем: 
(см).
Ответ. 
см.
Теорема (формула площади треугольника)
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
где 
— сторона треугольника, 
— проведенная к ней высота.
Пусть 
— высота треугольника 
(рис. 148). Докажем, что 
Проведем через вершины 
прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения 
Таким образом, мы «достроили» треугольник 
до параллелограмма 
в котором отрезок 
также является высотой, проведенной к стороне 
По формуле площади параллелограмма 
Треугольники 
равны по трем сторонам (у них сторона 
общая, 
как противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника 
составляет половину площади параллелограмма 
что и требовалось доказать.
Следствие 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
где 
— катеты прямоугольного треугольника.
Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.
Следствие 2
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
где 
— диагонали ромба.
Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами 
(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:
Следствие 3
Площадь равностороннего треугольника со стороной 
вычисляется по формуле
Обоснуйте это следствие самостоятельно.
Опорная задача
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.
Решение:
Пусть 
— медиана треугольника 
(рис. 150).
Проведем высоту 
треугольника 
Этот отрезок является одновременно высотой треугольника 
проведенной к стороне 
и высотой треугольника 
проведенной к стороне 
Учитывая равенство отрезков 
имеем:
Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.
Докажите эти утверждения самостоятельно.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
- Окружность и круг
- Описанные и вписанные окружности
- Плоские и пространственные фигуры
- Взаимное расположения прямых на плоскости
- Треугольник
- Решение треугольников
- Треугольники и окружность
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Площадь равностороннего треугольника
Как найти площадь равностороннего треугольника?
Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).
Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:
Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.
Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.
Подставляем b=a и α=60º:
формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
Площадь равностороннего треугольника
Как найти площадь равностороннего треугольника?
Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).
Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:
Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.
Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.
Подставляем b=a и α=60º:
формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-treugolnik-i-ego-ploshhad/
[/spoiler]
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Правильный сферический треугольник
- 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
- 4 См. также
- 5 Примечания
Свойства[править | править код]
Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.
Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Периметр правильного треугольника:
- Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
- Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
- Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
- Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
- В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
Правильный сферический треугольник[править | править код]
Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]
- Задача Наполеона
- Прямая Симсона одно из свойств
- Теорема Вивиани
- Теорема Морли
- Теорема Наполеона
- Теорема Помпею
- Теоремы Тебо 2 и 3
- Точки Аполлония
- Точки Торричелли
См. также[править | править код]
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Теорема Чевы
- Треугольник
- Треугольник Рёло
Примечания[править | править код]
Символ Шлефли |
|
|---|---|
| Многоугольники |
|
| Звёздчатые многоугольники |
|
| Паркеты на плоскости |
|
| Правильные многогранники и сферические паркеты |
|
| Многогранники Кеплера — Пуансо |
|
| Соты |
{4,3,4} |
| Четырёхмерные многогранники |
|
