19. Задачи на теорию чисел
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Последняя цифра числа
Задание
1
#2195
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите последнюю цифру числа:
а) (3^{33})
б) (57^{57})
в) (2016^{2016})
а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.
То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел (457) и (369). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть (7cdot 9 = 63), и так последняя цифра у (63) – это (3), то последняя цифра произведения чисел (457) и (369) тоже (3).
Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: [3,, 9,, 7,, 1,, 3,, 9,, 7,, 1,cdots] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры (3, 9, 7, 1) повторяются, значит, последняя цифра числа (3^{33}) зависит от того, какой остаток будет давать число (33) при делении на (4) (так как блоки по (4) цифры).
Так как остаток (33) при делении на (4) равен (1), то (3^{33}) заканчивается на такую же цифру, как и (3^1). Таким образом, последняя цифра числа (3^{33}) – это (3).
б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (57^{57}) – это (7).
в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (2016^{2016}) – это (6).
Ответ:
а) (3)
б) (7)
в) (6).
Задание
2
#2196
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Академик Котовский нашел самое большое простое число: (1999876891^{999}-1). Не перепутал ли чего академик?
Посмотрим на последнюю цифру числа (1999876891^{999}).
Так как число (1999876891) оканчивается на (1), то и число (1999876891^{999}) тоже оканчивается на (1), тогда число (1999876891^{999}-1) оканчивается на (0), значит, оно делится на (10), следовательно, оно не простое. Академик ошибся.
Ответ:
Перепутал
Задание
3
#2197
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Делится ли число (27^{23}+33^{11}) на (10)?
Найдем последнюю цифру числа (27^{23}+33^{11}).
Так как последняя цифра числа (27^{23}) – это (3), а последняя цифра числа (33^{11}) – это (7), то последняя цифра числа (27^{23}+33^{11}) – это (0), а значит это число делится на (10).
Ответ:
Да
Задание
4
#2198
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Докажите, что все числа вида (n!) при всевозможных натуральных (n), больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.
При (n geq 5): [n! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot …cdot n = 120cdot …cdot n] – делится на (10), следовательно, последняя цифра такого числа равна (0).
Ответ:
Доказательство
Задание
5
#2199
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите последнюю цифру числа, равного (0! + 1! + 2! + 3! + dots + 2017!), если (0! = 1) – по определению.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.
Так как при (ngeq 5) последняя цифра числа (n!) равна (0), то все числа вида (n!) при (ngeq 5) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.
Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы [0! + 1! + 2! + 3! + 4!,] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа [1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,] которой является цифра (4).
Ответ:
(4)
Задание
6
#2505
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Последняя цифра числа (n^2) равна (4) ((ninmathbb{N})). Может ли предпоследняя цифра числа (n^2) быть нечётной?
Так как последняя цифра числа (n^2) равна (4), то (n^2) – чётное, следовательно, (n) – чётное, тогда (n^2) делится на (4), что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа (n^2), делится на (4).
Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна (4), которые и сами делятся на (4): [04,qquad 24,qquad 44,qquad 64,qquad 84,.]
Таким образом, предпоследняя цифра числа (n^2) обязательно чётна.
Ответ:
Нет
Задание
7
#2504
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Можно ли составить из цифр (1), (2), (8), (9) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в (17) раз больше другого?
Докажем методом от противного: пусть такие числа (m), (n) существуют. Пусть при этом (m = 17cdot n), тогда какой может быть последняя цифра числа (m)?
Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа (n). Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа (n) – это цифра (1), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (7), но (m) не может содержать в своей записи цифру (7).
2) последняя цифра числа (n) – это цифра (2), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (4), но (m) не может содержать в своей записи цифру (4).
3) последняя цифра числа (n) – это цифра (8), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (6), но (m) не может содержать в своей записи цифру (6).
4) последняя цифра числа (n) – это цифра (9), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (3), но (m) не может содержать в своей записи цифру (3).
Таким образом, подходящих (m) и (n) не существует.
Ответ:
Нет
ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.
Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!
Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.
Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.
Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.
База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.
Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!
Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!
УСТАЛ? Просто отдохни
Голосование за лучший ответ
Маша Малинина
Просветленный
(29208)
1 год назад
1. а) 7; б) 9.
2. а) 9; б) 2; в) 4.
Ирина ЛебедеваОракул (83465)
1 год назад
А решение увидеть можно хотя бы для одного примера?
Маша Малинина
Просветленный
(29208)
Ирина Лебедева, так весь смысл именно в этом и заключается! Можно аналитически что-то из себя выдавливать, а можно просто данные числа возвести в соответствующую степень и посмотреть последнюю цифру результата, например, разделив результат операции взятия степени по модулю 10 – не в ручную, конечно же, а автоматизированно! Мне так проще, а инструментальные средства – любые: Py³, где выполняются необходимые для этого операции с целыми числами любой длины, или плюсы с библиотекой GMP. А Вас это смущает?
｡◕‿◕｡
Маша МалининаПросветленный (29208)
1 год назад
А хотите пари на сто тысяч миллионов, что результаты достоверные? ◉‿◉
Маша Малинина, Результаты достоверны Но математика не принимает решения без их логического обоснования
Ирина ЛебедеваОракул (83465)
1 год назад
По-моему, надо было привести рассуждения о периодичности. Получается период равен 6, тогда последнюю цифру вычисляем по остатку деления степени на 4 ))
Ирина Лебедева
Оракул
(83465)
Ирина Лебедева, Sorry, период равен 4
Naumenko
Высший разум
(856100)
1 год назад
1а. 3 в 275 степени.
это делается так-
последними цифрами служат
1 ст 3
2 степень 9
3 степень 7(27)
4 я ст 1 (81)те группа из четырех цифр.
дели 275 на 4- узнаешь. сколько всего таких групп 68
и еще 3/4.те, ПОХОЖЕ, тройка последняя.
Кто не видел белого медведя? В зоопарках он – обычный гость. Нет нужды описывать, каков он на вид. Напомним лишь, что у него только нос черный, сам медведь белый и зимой, и летом (а не как, скажем, песец или заяц-беляк – те лишь зимой белые). Подошвы лап у белого медведя густой шерстью поросли, а пальцы примерно на половину своей длины соединены плавательными перепонками.
Плавают и ныряют белые медведи отлично. Две минуты могут пробыть под водой, но погружаются в нее редко глубже двух метров. Далеко в открытом море не раз видели белых медведей, даже медведиц с медвежатами. Плывут со скоростью 5 километров в час, не беспокоясь, что ни земли, ни льдов нигде вблизи не видно.
Белый медведь и тюленей ловит не только на льду, украдкой к ним подползая. Обычный его прием, так сказать, атаки с моря такой: поблизости от лежбищ тюленей медведь осторожно, без плеска и шума, сползает в воду, плывет туда, где заметил тюленей. Затем он бесшумно ныряет и выныривает уже у самого лежбища, быстро карабкается на лед, отрезая тем самым тюленям путь к спасительной воде. По отвесным ледяным стенам медведь может прямо из воды выпрыгнуть на льдину, даже если высота ее над водой два метра.
Тюлени – главная охотничья добыча белого медведя весной. За год ловит и съедает он примерно 50 тюленей. Летом меню его более разнообразно. Ловит он рыбу на мелкой воде, на берегу – леммингов, песцов, лакомится яйцами птиц. Когда голоден, ест ягоды, водоросли, мхи, лишайник, грибы.
Белый медведь – самый могучий из сухопутных хищных зверей. Лев и тигр в сравнении с ним легковесы: средний вес медведиц 310 килограммов, медведей-самцов – 420 килограммов. Если медведь матерый и хорошо упитанный, то он может весить целую тонну!
Акимушкин И.И. Мир животных: Млекопитающие, или звери. – М., 1988 г
IV. Тест по русскому языку
1. В тексте про белых медведей больше всего предложений:
а) повествовательных; б) вопросительных
2. Восклицательное предложение находится:
а) в начале текста; б) в конце текста
3. Вопросительное предложение находится
а) в начале текста; б) в конце текста
4. Выпиши из второй части текста (из второго абзаца) первое предложение. Разбери его по членам предложения. Что ты можешь сказать о сказуемых? Они являются
а) родственными словами; б) однородными членами предложения
5. Что можно сказать о глаголах, которыми выражены сказуемые? Эти глаголы:
а) I спряжения; б) II спряжения
6. Эти глаголы стоят в форме:
а) настоящего времени; б) будущего времени; в) прошедшего времени
7. Эти глаголы стоят в форме:
а) единственного числа; б) множественного числа
8. Эти глаголы стоят в форме:
а) 1-го лица; б) 2-го лица; в) 3-го лица; г)нельзя определить лицо
9. Эти глаголы стоят в форме:
а) ж.р.; б) м.р.; в) ср.р.; г) нельзя определить род
10. Найди во второй части текста (во втором абзаце) все слова, которые являются родственными существительному, являющемуся подлежащим в первом предложении. Запиши их столбиком, поставив в начальную форму. У тебя получилось:
а) два слова; б) три слова
11. Найди во второй части текста (во втором абзаце) другую форму слова, которое является подлежащим в первом предложении. Выпиши такое словосочетание с формой этого слова, из которого можно определить его падеж. Этот падеж:
а) Р.п.; б) В.п.
Основная часть
I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.
После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:
а) 
, 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
.
Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями
Например, = 
*
*
*
или 
В первом случае узнали последнюю цифру степени 
. Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа 
.
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени 
. Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.
В ходе решения таких задач мы поняли, что
всегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.
Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.
Значит, последняя цифра степени равна 3.
Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.
Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во – второй строке –
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.
К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.
После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:
- Во-первых, квадрат натурального числа может
оканчиваться любой цифрой; - Во-вторых, куб натурального числа может
оканчиваться любой цифрой; - В-третьих, четвертая степень натурального числа
может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6; - В-четвертых, пятая степень натурального числа
оканчивается той же цифрой, что и само число; - В-пятых, если запись натурального числа
оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6; - В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
цифрой 4, а четные – цифрой 6.
Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.
II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.
Вернулись к нашим же примерам.
Найти последнюю цифру степеней: , 
, 
, 
;.
Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.
Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.
Например, 
.
Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.
Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.
Если остаток равен 3, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи куба основания.
А если степени с очень большими показателями?
Например, 
Мы легко справились и с этой задачей.
Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.
Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:
Найти остаток от деления показателя степени на
4;
Если остаток равен
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;
б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;
г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.
Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.
III. Составление упражнений на применение
алгоритма.
1. Доказать, что число 
кратно 2.
2. Доказать, что 
-1 кратно 5 (при натуральном n).
3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом
(натуральном) n.
4. Какой цифрой оканчивается произведение всех
двузначных чисел, каждое из которых оканчивается
на 7?
Как определить последнюю цифру числа в степени
После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:
Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями
В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй способ нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней.
В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6.
Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.
| = * * * * | или | |||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 3 | 1 | 3 |
| 3 | ||||||
| 1 | 3 | 3 | ||||
| 3 |
Значит, последняя цифра степени равна 3.
Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.
Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 | |
| 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 | 0 | |
| 1 | 6 | 1 | 6 | 5 | 6 | 1 | 6 | 1 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.
К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.
После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что:
- Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
- Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
- В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
- В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
- В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
- В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.
Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
Вернулись к нашим же примерам.
Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.
| 20: 4 = 5 (остаток 0) | 1 |
| 8: 4 = 2 (остаток 0) | 6 |
| 36: 4 = 9 (остаток 0) | 6 |
| 24: 4 = 6 (остаток 0) | 1 |
| 12: 4 = 3 (остаток 0) 5 |
Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.
Далее мы начали подбирать такие степени, когда при делении показателя степени на 4 получаются остатки 1, 2, 3.
| 5: 4= 1 (остаток 1) | 2 |
| 1989:4 = 497 (остаток 1) | 3 |
Если остаток равен 1, то искомая цифра будет равна последней цифре основания степени.
| 22: 4 = 5 (остаток 2) | 4 |
| 18: 4 = 4 (остаток 2) | 9 |
Если остаток равен 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания.
| 43: 4 = 10 (остаток 3) | 3 |
| 19: 4 = 4 (остаток 3) | 8 |
Если остаток равен 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания.
А если степени с очень большими показателями?
Мы легко справились и с этой задачей.
Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.
Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:
Найти остаток от деления показателя степени на 4;
Если остаток равен
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;
б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;
г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.
Мы научились быстро находить последнюю цифру степени и попробовали расширить круг знаний. Например, мы составили такие задачи.
III. Составление упражнений на применение алгоритма.
1. Доказать, что число кратно 2.
2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).
3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n.
4. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
Введение
«Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…
В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?
Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.
2. Последняя цифра степени
Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:
Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.
3. Закономерности возведения в степень
Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.
Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.
Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.
Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.
Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой
Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.
Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3
45:4=11 (остаток 1)
102:4=25 (остаток 2)
Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;
Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.
Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.
4. Последние две цифры степени
Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:
Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.
Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.
Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:
Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени
Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени
5. Заключение
Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.
Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.
6. Задачи
Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .
(8+3=11, последняя цифра 1)
Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?
(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)
Делится ли число+ на 10 ?
(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)
Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =
Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).
Найдите 2 последние цифры числа 8 1989 .
В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8 1989 – 28).
На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?
(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).
Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?
(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).
11. Доказать, что число кратно 2.
12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).
13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
7. Использованная литература
1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.
2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.
3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.
4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.
6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).
7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.
МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»
Научное сообщество учащихся «Поиск»
Тема: « Последняя цифра степени.»
Выполнила: ученица 7 «б» класса
Руководитель: Пушило Т.Л.
2010 – 2011 уч. год
· Последняя цифра степени.
· Закономерности возведения в степень
· Две последних цифры степени.
Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы
1 1989 + 2 1989 + 3 1989 + 4 1989 + 5 1989 +…+ 1989 1989 .
Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…
Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?
· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.
· Найти закономерность в них.
· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.
Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:
| 2 1 = 2 2 5 = 32 2 9 = 512 | 2 2 = 4 2 6 = 64 2 10 = 1024 | 2 3 = 8 2 7 = 128 2 11 = 2048 | 2 4 = 16 2 8 = 256 2 12 = 4096 |
Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .
В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Как найти последнюю цифру числа
Введение
«Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…
В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?
Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.
2. Последняя цифра степени
Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:
Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.
3. Закономерности возведения в степень
Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.
Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.
Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.
Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.
Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой
Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.
Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3
45:4=11 (остаток 1)
102:4=25 (остаток 2)
Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;
Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.
Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.
4. Последние две цифры степени
Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:
Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.
Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.
Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:
Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени
Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени
5. Заключение
Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.
Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.
6. Задачи
Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .
(8+3=11, последняя цифра 1)
Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?
(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)
Делится ли число+ на 10 ?
(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)
Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =
Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).
Найдите 2 последние цифры числа 8 1989 .
В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8 1989 – 28).
На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?
(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).
Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?
(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).
11. Доказать, что число кратно 2.
12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).
13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
7. Использованная литература
1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.
2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.
3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.
4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.
6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).
7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.
