Как найти последовательность в наборе цифр

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами
(или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

порядковый номер элемента

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

обозначение элемента

(a_1)

(a_2)

(a_3)

(a_4)

(a_5)

(a_6)

(a_7)

(a_8)

значение элемента

(3)

(6)

(12)

(24)

(48)

(96)

(192)

(384)

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

– I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел.

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: (1; : 2; : 3; : 4; : 5) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть (1^2;: 2^2; : 3^2; : 4^2; : 5^2…) . Таким образом, имеем ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)

Ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

– II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: (b_n=frac{n-1}{n^2}). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим (b_1). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер (n) равен единице. Тогда его значение равно (b_1=frac{1-1}{1^2} =frac{0}{1}=0).
У второго члена (n=2), то есть его значение равно (b_2=frac{2-1}{2^2} =frac{1}{4}).
Третий ((n=3)):    (b_3=frac{3-1}{3^2} =frac{2}{9}).
Четвертый ((n=4)):     (b_4=frac{4-1}{4^2} =frac{3}{16}).
Пятый ((n=5)):     (b_5=frac{5-1}{5^2} =frac{4}{25}) .
Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (b_n= {0; : frac{1}{4}; : frac{2}{9}; : frac{3}{16}; : frac{4}{25}…}).

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: (a_n=8+5n-n^2). Вычислите (a_9).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер (n=9). Подставляем в формулу: (a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28).

Ответ: (a_9=-28).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: (c_1=4), (c_{n+1}=c_n+3). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: (c_1=4).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо (n) единицу: (c_{1+1}=c_1+3)
                                                                                                                     (c_2=c_1+3=4+3=7)
Третий ((n=2)):   (c_{2+1}=c_2+3 )
                                 (c_3=c_2+3=7+3=10).

Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)
                                         (c_4=c_3+3=10+3=13).

Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)
                              (c_5=c_4+3=13+3=16).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

Ответ: (c_n={4; : 7; : 10; : 13; : 16…}).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Вычисления:

(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…)
(2) (5) ? ? ? (…)

Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу:
(z_{1+2}=3z_{1+1}-z_1)
(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)

(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…)
(2) (5) (13) ? ? (…)

Теперь найдем (z_4), подставив вместо (n) двойку:
(z_{2+2}=3z_{2+1}-z_2)
(z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…)
(2) (5) (13) (34) ? (…)
Наконец вычисляем (z_5), подставляя вместо (n) тройку:
(z_{3+2}=3z_{3+1}-z_3)
(z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…)
(2) (5) (13) (34) (89) (…)
Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_1=1^2-1=0) – мимо.

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

(a_3=3^2-3=6) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

  1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

  2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

  3. Если (n) – натуральное, то данное число – член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

(a_n=)(frac{51+2n}{n+4})

Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac{51+2n}{n+4}) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо (a_n).

(3=)(frac{51+2n}{n+4})

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).

(3cdot (n+4)=51+2n)

Получилось линейное уравнение
Раскрываем скобки слева.

(3n+12=51+2n)

Собираем неизвестные слева, числа справа…

(3n-2n=51-12)

…и приводим подобные слагаемые.

(n=39)

Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо (n) в формулу (frac{51+2n}{n+4}), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит (39)-ый член последовательности равен трем.

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

history 24 октября 2021 г.
    Группы статей

  • Последовательности Чисел

Пусть дана некая числовая последовательность, значения которой содержатся в отдельной строке или столбце. Будем искать в столбце с данными повтор такой последовательности.

На картинке выше Искомая последовательность размещена в строке 7 и выделена зеленым (шесть чисел). Поиск производится в столбце В, начиная с ячейки В11. На картинке показана найденная последовательность, которая также выделена зеленым для наглядности.

Найти последовательность можно разными способами, в статье приведено их 2. 

Примечание: Приведенные в статье формулы будут работать во всех версиях MS EXCEL – EXCEL 365, Excel 2021/2019/2016/2013/2010/2007 и Excel 97–2003.

Способ 1

В 11-й строке (с этой строки начинается список) выведем первые 10 значений из списка. Это можно сделать формулой массиваТРАНСП() или простыми формулами. 

Совет: О транспонировании строк подробно написано в этом разделе https://excel2.ru/gruppy-statey/transponirovanie. В этих статьях показано как можно транспонировать диапазоны и без формул массива.

Чтобы ввести функцию ТРАНСП()

  • выделите диапазон ячеек С11:L11,
  • затем в Строке формул введите =ТРАНСП(B11:B20),
  • нажмите CTRL+SHIFT+ENTER. 

После копирования указанных ячеек вниз (также нужно сначала выделить диапазон С11:L11 и протянуть вниз с помощью Маркера заполнения. В итоге будет сформирован массив чисел как на рисунке выше. В строке 12 будут размещены значения из списка, начиная со второго, в строке 13, начиная с третьего и т.д.

Теперь займемся построчным сравнением. В способе 1 это реализовано замысловатой формулой =НЕ(СУММПРОИЗВ(–(СМЕЩ(C11;;;;$A$8)<>СМЕЩ($C$8;;;;$A$8)))) в столбце N.

Разберем подробнее. Так как длина исходной последовательности может быть произвольной, то нам нужно “вырезать” из диапазона С8:L8 только те ячейки, которые содержат значения последовательности, а не пустые ячейки. Это сделано формулой СМЕЩ($C$8;;;;$A$8), где в А8 содержится длина последовательности. О функции СМЕЩ() читайте здесь.

Аналогично формируется диапазон для сравнения СМЕЩ(C11;;;;$A$8). Обратите внимание на отсутствие знаков $ абсолютной адресации. Т.к. этот диапазон должен изменяться при копировании формулы вниз (в отличие от первого диапазона).

Идем дальше – посмотрим на выражение (СМЕЩ(C11;;;;$A$8)<>СМЕЩ($C$8;;;;$A$8)). Для первого сравнения (строка 11 и исходная последовательность) это выражение даст {ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА}, т.е. ни одно из значений не совпало (этот массив можно получить выделив в Строке формул это выражение и нажать F9). Оно и понятно, исходная последовательность 5; 6; 11; 6; 8; 1 ничего не имеет общего со значениями 11-й строки 1; 2; 34; 5; 6; 11 (если сравнивать поэлементно).

Совсем другое дело, если сравнивать со строкой 14. Выражение вернет {ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ}, что означает, что первый элемент исходной последовательности (5) равен значению из ячейки С14, второй (6) равно значению из ячейки D14, и т.д.

Затем подвергаем полученный массив преобразованию с помощью двойной смены знака (–), при этом ЛОЖЬ будет переведена в число 0, а ИСТИНА – в 1 (так устроен EXCEL: он хранит ИСТИНА как 1, а ЛОЖЬ как 0). Вместо двукратного умножения на -1, можно было прибавить 0 или возвести в степень 1. Любое математическое действие со значениями логического типа данных будет преобразовывать их в число 0 или 1.

Функция СУММПРОИЗВ() просто сложит все 0 или 1. В результате получим 0 только если все значения попарно равны между собой. Можно вместо СУММПРОИЗВ() использовать функцию СУММ(), но тогда нам пришлось бы вводить ее как формулу массива.

Наконец, функция НЕ() переводит числовые значения в логический тип данных, изменяя на противоположное значение: 0 – будет переведен в ИСТИНА, а любое другое число в ЛОЖЬ. Можно обойтись и без этой функции, тогда будет выведено число от 0 (все значения совпали) до 6 (ни одно не совпало). 

Формула в ячейке N8 =ПОИСКПОЗ(ИСТИНА;N11:N55;0) вернет номер позиции первой ячейки со значением ИСТИНА (их может быть несколько, об этом ниже). Начиная с этой позиции списка будет располагаться искомая последовательность. Ее можно выделить условным форматированием.

Чтобы настроить Условное форматирование нам потребуется написать простое правило =И($A11>=$N$8;$A11<$N$8+$A$8).

Вариантов написания формулы для поиска последовательности множество, например, формула =(СУММПРОИЗВ(–(СМЕЩ(C11;;;;$A$8)=СМЕЩ($C$8;;;;$A$8))))=$A$8, которая вернет ИСТИНА в тех же строках, что и предыдущая формула.

На листе “все найденные” приведен поиск сразу всех вхождений последовательности.

Для реализации этого решения добавлено несколько формул:

  • используйте формулу =СУММПРОИЗВ(–N11:N55) чтобы найти общее количество исходных последовательностей в списке (ячейка О6)
  • формулы в столбце О: =СЧЁТЕСЛИ($N$11:N11;ИСТИНА), будут показывать сколько последовательностей найдено в строках выше.
  • в ячейке О7 (серая ячейка) для удобства сформирован выпадающий список, это реализовано формулой =СМЕЩ($A$11;;;$O$6). Если, например, найдено 3 совпадения, то будет сформирован список 1; 2; 3. Выбирая нужный повтор в списке будут подсвечены соответствующие найденные последовательности.
  • если кому не удобно пользоваться выпадающим списком можно нажимать на элемент управления Счетчик.

В этой статье разжеваны все формулы, если и теперь не все понятно, то нужно почитать статьи на нашем сайте excel2.ru, на которые ведут ссылки в этой статье.

Способ 2

На листе Вариант2 приведено другое решение этой задачи (подсвечивается только первая найденная последовательность).

В этом варианте нет формулы массива ТРАНСП(). Исходный список многократно повторяется начиная со строки 14 и ниже (при этом последовательно отбрасывается первое значение из предыдущей строки и производится смещение всего списка на 1 позицию влево). Такой подход позволяет сравнивать исходный список (столбец D с зелеными ячейками) со столбцами значений, вырезанными из исходного списка.

При увеличении длины исходного списка соответственно растет количество столбцов в этих строках. При большой длине списка это не удобно.

Количество совпавших значений выводится в строке 11. Если это число совпадений равно длине искомой последовательности, то это значение подсвечивается красным. Найденная позиция отображается в строке 13.

Вариантов решения этой задачи множество, поэтому если будете решать самостоятельно, то наверняка придете к другому варианту решения.

Содержание:

Числовые последовательности

Термин «последовательность» используют, когда говорят о расположении учеников в шеренге, очередности дней недели, расположении команд в турнирной таблице и т. п. В этом параграфе мы выясним, что такое числовая последовательность, в частности, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии, каковы их свойства, научимся использовать свойства упомянутых прогрессий при решении прикладных задач.

  • 1; 1; 2; 3; 5; 8;… — последовательность
  • 2; 5; 8; 11; 14;… — арифметическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, на 3 больше предыдущего)
  • 2; 6; 18:54; 162:. . — геометрическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, в три раза больше предыдущего)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Один подсолнух за лето «выпивает» в среднем 250 л воды. Сколько воды «выпьют» за лето 1 ,2 ,3 ,4 ,5 подсолнухов?

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Во второй строке получили несколько чисел, записанных в определенном порядке, говорят, получим последовательность чисел: 250; 500; 750: 1000; 1250, в которой на первом месте стоит число 250, на втором — 500, на пятом — 1250. В этом примере каждому натуральному числу от 1 до 5 включительно соответствует одного число из указанной последовательности. Итак, имеем функцию, областью определения которой является множество чисел 1.2.3.4.5.

Пример:

3аписать в порядке возрастания натуральные числа запись которых оканчивается цифрой 2.

Решение:

Получим последовательность чисел 2; 12; 22; 32; 42; …. в которой на первом месте стоит число 2, на втором — 12. на третьем — 22 и т. д.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В этом примере каждому натуральному числу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения соответствует одно чис­ло из указанной последовательности. Так, натуральному числу 6 соответствует число 52 этой последовательности, числу 7 — число 62 и т. д. Следовательно, имеем функцию, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

Определение:

Последовательностью называют функцию, заданную на множестве всех или первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения натуральных чисел.

Числа образующие последовательность. называют членами последовательности. Если последовательность имеет конечное число членов, тогда ее называют конечной последовательностью (пример 1). Если последовательность имеет бесконечное число членов, то ее называют бесконечной последовательностью (пример 2), а в записи это показывают многоточием после последнего записанною члена последовательности.

Приведем еще примеры последовательностей:

  • 4; 8; 12; 16;… — последовательность натуральных чисел, кратных 4;
  • Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — последовательность правильных дробей с числителем 1;
  • -1: -2 ; -3 ; -4 ;… — последовательность отрицательных целых чисел;
  • 0.1; 1.1; 2.1: 3,1 — последовательность, состоящая из четырех членов;
  • 7 :7 ; 7 :7 :… — последовательность, все члены которой равны 7.
  • Четвертая последовательность конечная, остальные — бесконечные.

В общем случае члены последовательности, как правило, обозначают маленькими буквами с индексами внизу. Каждый индекс указывает порядковый номер члена последовательности. Например, первый член последовательности обозначают Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения читают «а первое», второй — Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения читают «а второе», член последовательности с номером Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения обозначают Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, и читают «а энное». Саму последовательность обозначают Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и записывают: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называют следующим за Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения а член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — предыдущим члену Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Например, рассмотрим последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения 1: 3; 5;… — последовательность нечетных натуральных чисел. В ней Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧлен последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения является предыдущим члену Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и последующим за членом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Способы задании последовательностей

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, при помощи которого можно найти любой ее член. Существуют различные способы задания последовательностей.

1. Последовательность можно задать описанием способа определения ее членов. Например, пусть задана последовательность, членами которой являются делители числа 15, записанные в порядке возрастания. Эту последовательность, описанную словами, можно записать так; 1 ; 3; 5: 15.

2. Конечную последовательность можно задать, перечислив ее члены. Например, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

3. Последовательность можно задать таблицей, в которой напротив каждого члена последовательности указывают его порядковый номер. Например.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

4. Последовательность можно задать формулой, по которой можно найти любой член последовательности, зная его номер. Например, последова­тельность натуральных чисел, кратных 3, можно задать формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения последовательность чисел, обратных натуральным, — формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Такие формулы называют еще формулами Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена последовательности. Пусть последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Подставляя вместо Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения натуральные числа 1,2 ,3 …., получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения 2; 2; 0 ;….

5. Последовательность можно задать так: сначала указать первый или несколько первых членов последовательности, а потом — условие, по которому можно определить любой член последовательности, зная предыдущие. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным. Например, найдем несколько членов последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первый член которой равен -1 , второй — -3 , а каждый последующий, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Условия, определяющие эту последовательность, можно записать так: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Формулу, при помощи которой любой член последовательности можно найти через предыдущие, называют рекуррентной формулой.

Рассмотренные выше последовательности являются числовыми последовательностями, так как их элементами являются числа. Существуют и другие последовательности. Например, последовательность передач на канале телевидения, последовательность футбольных команд в турнирной таблице и т. п.

В дальнейшем будем рассматривать только числовые последовательности.

Пример:

Записать шесть первых членов последовательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Решение:

Первым натуральным числом, которое при делении па 3 дает остаток 2, является число 2. Следующим является число 5 — оно на 3 больше 2, дальше 8 — на 3 больше 5 и т. д. Поэтому получим: 2; 5; 8; I I ; 14; 17.

Ответ. 2 ;5 ;8 ; 11; 14; 17

Пример:

Записать формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения натуральных чисел, которые больше 8 и при делении на 9 дают остаток 7.

Решение:

Первым натуральным числом, которое больше 8 и при делении на 9 дает остаток 7, является число 16. Его можно записать так: 16 = 9 •1 + 7 . Вторым будет число 25, которое можно записать гак: 25 = 9 • 2 + 7, третьим — 34 = 9 • 3 + 7 и т. д. Тогда формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена искомой последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения будет иметь вид: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Последовательность задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Является ли членом этой последовательности число 6?

Решение:

Число 6 будет членом этой последовательности, если найдется такой номер Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияне является натуральным, а поэтому не может быть номером члена последовательности. Следовательно, число 6 яв­ляется третьим членом заданной последовательности.

Ответ. Да.

Пример:

Записать три первых члена последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 1 по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 2 получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 2; 4; 10.

Арифметическая прогрессия и ее свойства

Среди числовых последовательностей важную роль играют последовательности, которые называют арифметической и геометрической прогрессиями.

Пример:

Группа туристов поднималась на гору в течение 4 ч. За первый час туристы прошли 2,5 км, а та каждый следующий — на 0,5 км меньше, чем за предыдущий. Какой путь проходили туристы за каждый час движения?

Решение:

За первый час туристы прошли 2.5 км. за второй — 2,5 – 0,5 = 2 (км), за третий — 2 – 0,5 = 1,5 (км), за четвертый — 1 км. Получили конечную последовательность чисел: 2,5; 2; 1,5; 1, в которой каждый последующий член, начиная со второю, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом -0.5.

Пример:

3аписать последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1.

Решение:

Получим: 1;4 ;7 ; 10; 13; 16; 19; 22 ;…. В этой последовательности любой член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 3. Каждая из рассмотренных последовательностей является примером арифметической прогрессии.

Определение:

Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обознача­ют буквой d (d — начальная буква латинского слова differentia — разность). Итак, если имеется арифметическая прогрессия Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то есть для любого натурального Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу — разности d, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияИтак, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Верно и наоборот: если в некоторой числовой последовательности разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

Арифметические прогрессии могут быть конечными (пример 1) и беско­нечными (пример 2).

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Тогда каждый последующий член можно вычислить по предыдущему по рекуррентной формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения В таблице приведены примеры арифметических прогрессий для некоторых значений Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим свойства арифметической прогрессии.

1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5: 7; 9 ;… каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, что такое свойство имеет любая арифметическая прогрессия. Пусть имеется арифметическая прогрессия Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения с разностью d. Тогда для натуральных значений Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов. С этим свойством арифметической прогрессии и связано ее название.

2. Рассмотрим конечную арифметическую прогрессию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения имеющую 7 членов: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Найдем сумму крайних членов прогрессии и суммы членов, равноотстоящих от крайних:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сумма любых двух членов арифметической прогрессии, равноотстоя­щих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов.

Используем эти соображения для произвольной конечной арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения с разностью Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 2. Сумма любых двух членов конечной арифметической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов этой прогрессии.

Пример:

Найти разность и третий член арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В этой прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Поэтому:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 0.2; 1,4.

Пример:

Является ли последовательность чисел 3: 0: -3 : -6 ; -9 арифметической прогрессией?

Решение:

Обозначим члены заданной последовательности:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем разность последующего и предыдущего членов последовательности:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как полученные разности равны одному и тому же числу – 3, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Пример:

Между числами 7 и 15 вставить такое число, чтобы все три числа образовали арифметическую прогрессию.

Решение:

Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — искомое число, тогда последовательность 7; х; 15 — арифметическая прогрессия. Второй член арифметической прогрессии является средним арифметическим первого и третьего членов: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 11 .

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность, а последующие члены можно найти по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Например, найдем несколько первых членов арифметической прогрессии, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Далее можно найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковым номером, например, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения нужно выполнить много вычислений. Поэтому вычисление членов арифметической прогрессии но формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решениячасто является неудобным. Найдем более краткий путь вычисления n-го члена арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По определению арифметической прогрессии получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Замечаем, что в этих формулах коэффициент при d на 1 меньше поряд­кового номера искомого члена прогрессии. Так, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Итак, можем записать:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Полученную формулу называют формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена арифметической прогрессии.

Пример:

Найти девятый член арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем разность прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. -1,4.

Пример:

Найти первый член арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена арифметической прогрессии при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 8, получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 107.

Пример:

Является ли число 181 членом арифметической прогрессии, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Число 181 будет членом прогрессии, если существует такое натуральное число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения— порядковый номер члена прогрессии, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Решим полученное уравнение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Число 36.6 не является натуральным, поэтому число 181 не является членом данной арифметической прогрессии. Ответ. Нет.

Пример:

Найти первый член и разность арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если сумма второго и пятого ее членов равна 20, а разность девятого и третьего членов равна 18.

Решение:

По условию имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Записав члены Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена арифметической прогрессии, получим систему уравнений:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 2.5;3 .

Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии

Пример:

Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

Решение:

Запишем суму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения данных чисел двумя способами: в порядке возрастания и в порядке убывания слагаемых и почленно сложим полученные равенства:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Суммы пар чисел, расположенных друг под другом в правых частях этих равенств, равны одному и тому же числу 101; таких нар 100. Поэтому

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно равна 5050. Отметим, что последовательность натуральных чисел I; 2; …; 99: 100 является арифметической прогрессией Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Используем рассмотренный способ для вывода формулы суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов любой арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Запишем:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно эта равенства, получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По свойству 2 арифметической прогрессии сумма каждых двух членов, взятых в скобки, равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Таких сум есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения поэтому:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если в этой формуле вместо Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения подставить выражение Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Итак,

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Формулы (1) и (2) называют формулами суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической прогрессии.

Пример:

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1-й способ. Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения По формуле (1) находим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

2-й способ. Зная, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения по формуле (2) находим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 171.

Пример:

Найти сумму нечетных натуральных чисел, не превышающих 71.

Решение:

Нечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию 1; 3: 5;……. в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияНайдем, какой порядковый номер имеет член 71 этой прогрессии:Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, нужно искать сумму первых тридцати шести членов прогрессии. Имеем:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1296.

Пример:

Найти сумму натуральных чисел не больше 105, которые при делении на 9 дают остаток 1.

Решение:

Натуральные числа, которые при делении на 9 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают 105. Для этого решим неравенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, нужно искать сумму первых двенадцати членов про­грессии. Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 606.

Пример:

Найти первый член арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если сумма второго и двенадцатого ее членов равна 20.4, а сумма первых одиннадцати— 121.

Решение:

По условию имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Используя формулы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-по члена и суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической прогрессии, получим систему уравнений Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 15.

Пример:

Сколько нужно взять первых членов арифметическом прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения чтобы их сумма равнялась 90?

Решение:

Используя формулу суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Корень Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 12. Ответ. 12.

Геометрическая прогрессия и ее свойства

В благоприятных условиях некоторые бактерии размножаются так, что их количество удваивайся каждые 30 минут. Поэтому, если первоначально была одна бактерия, то их будет:

  • через 0,5 ч 2
  • через I ч 4
  • через 1,5 ч 8
  • через 2 ч 16
  • …………………..

Во втором столбце получили последовательность чисел: 2: 4; 8; 16; каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. Такая последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение:

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обо­значают буквой q (начальная буква французского слова qwoti — частное). Итак, если имеем геометрическую прогрессию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то сеть для любого натурального Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Из определения геометрической прогрессии следует, что частное от деления любого ее члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу – знаменателю то есть: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Итак, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Верно и наоборот: если в некоторой последовательности частное от деления любого ее члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу, то такая последовательность является геометрической прогрессией. Геометрические прогрессии, как и арифметические, мотут быть конечными и бесконечными.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель. Тогда каждый последующий член по предыдущему можно вычислить по рекуррентной формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В таблице прицелены примеры геометрических прогрессий для некоторых значений Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим свойства геометрической прогрессии.

1. В геометрической прогрессии 1; 3: 9, 27; 81;… квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов:

Покажем, что такое свойство имеет любая геометрическая прогрессия. Пусть имеется геометрическая прогрессия Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения со знаменателем q. Тогда при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 1

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух сосед­них с ним членов.

Если все члены геометрической прогрсссии являются положительными числами, то из равенства Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения следует, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, каждый член такой прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим .двух соседних с ним членов. С этим свойством геометрической профессии и связано ее название.

2. Рассмотрим конечную геометрическую прогрессию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения содержащую шесть членов: -1:2; 4; 8; -16:32. Найдем произведение крайних членов этой прогрессии и произведение членов, равноотстоящих от крайних:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Видим, что произведения членов профессии, равноотстоящих от ее крайних членов, одинаковы и равны произведению крайних членов.

Используем эти соображения для произвольной конечной геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 2

Произведение любых двух членов конечной геометрической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равно произведению крайних членов.

Пример:

Найти знаменатель и третий член геометрической npoгpеcсии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В этой прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Поэтому:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1,5; 2,25.

Пример:

Доказать, что последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения является геометрической профессией.

Решение:

Обозначим члены последовательности: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем частные от деления последующего члена последовательности на предыдущий:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как полученные частные равны одному и тому же числу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти второй член геометрической прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно свойству 1 геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – 10 или Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = -10. Ответ 10 или-10.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Чтобы задать геометричсскую прогрессию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения достаточно указать ее первый член и знаменатель, а следующие члены можно найти по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Например, запишем несколько первых членов геометрической прогрессии, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Далее можно найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т. д. Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковых! номером, на­пример, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения нужно выполнить мною вычислений. Поэтому вычисление членов геометрической прогрессии по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения часто является неудобным. Найдем более краткий путь вычисления Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения со знаменателем q. По определению геометрической прогрессии имеем:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Замечаем, что в этих формулах показатель степени числа q на единицу меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Итак, можем записать:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Полученную формулу называют формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена геометрической прогрессии.

Пример:

Найти шестой член геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 6250.

Пример:

Найти первый член геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияпри Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 7, получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Ответ. 0,5

Пример:

Найти знаменатель геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в кото­рой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена геометрической прогрессии, получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. -3 или 3.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Обозначим через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения сумму первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов этой профессии. то есть

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (1)

Умножив обе части этого равенства на q получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пo определению геометрической прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (2)

Вычтем почленно из равенства (1) равенство (2), получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (3)

Учитывая, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Итак,

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (4)

Формулы (3) и (4) называют формулами суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов геометрической прогрессии. При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения каждый член геометрической прогрессии равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем : Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияТогда но формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения находим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. -255.

Пример:

Найти первый член геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если четвертый ее член в три раза больше третьего, а сумма первых пяти членов равна -12,1.

Решение:

Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения По условию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения поэтому:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. -0,1.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой [q] меньше 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пусть стороны прямоугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения равны I см и 4 см (рис. 74). Его площадь равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Найдем площадь этою прямоугольника иначе. Отрезком MN. соединяющим середины противоположных сторон ВС и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения прямоугольника, разделим его пополам. Площади образованных прямоугольников Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияи Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения равны по Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения каждая. Образованный справа прямоугольник снова разделим пополам, соединив середины Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения противоположных сторон. Площади образованных прямоугольников NMKP и PKCD равны по 1 см2 каждая. Аналогично образованный прямоугольник Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения снова разделим пополам отрезком Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения на два прямоугольника с площадями по Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т.д.

Найдем сумму площадей прямоугольников Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т.д. Числовое значение суммы площадей этих прямоугольников равно суме чисел Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения является бесконечной геометриче­ской профессией, первый член которой равен 2, а знаменатель — Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем сумму первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов этой прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения слагаемых суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения неограниченно увеличивается, то значение дроби Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения приближается к нулю, а разность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения приближается к числу 4, говорят: стремится к числу 4. Число 4 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и записывают Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Итак, сумма площадей прямоугольников ABMN, NMKP, PKTS и т. д. равна 4 см2, то есть равна площади прямоугольника ABCD. Обобщим рассмотренный пример. Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. — любая бесконечная геометрическая прогрессия, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Сумму первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов этой прогрессии вычисляют по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Преобразуем выражение в правой части последнего равенства: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решениято при неограниченном увеличении Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения множитель Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, а значит, к нулю стремится и произведение Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда сумма Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, стремится к числу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называют суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и записывают: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияОбозначим эту сумму через S. Тогда

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Полученную формулу называют формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения6: – 2 ; ..

Решение:

По условию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияТогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияИмеем геометрическую прогрессию, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения По формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения находим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 4,5.

Решение задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями

Вычисление сумм

Изучая арифметическую и геометрическую прогрессии, мы вычисляли суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения их членов. Известно также, как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Однако существуют задачи, решая которые приходится искать суммы чисел, не об­разующих ни арифметическую, ни геометрическую прогрессии. Такие суммы иногда можно найти, преобразовав определенным образом их слагаемые.

Пример 1. Найти сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим эту сумму через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и запишем ее так:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В первых скобках записана сумма членов арифметической прогрессииЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем, каким но счету членом этой прогрессии является число 13:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Итак, в первых скобках записана сумма первых семи членов арифметической прогрессии. Во вторых скобках записана сумма первых семи членов геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Используя формулы суммы первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической и геометрической прогрессий, находим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Обращение бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенную дробь

Рассмотрим пример.

Пример:

Записать число 0,(7) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Бесконечную десятичную дробь 0,(7) = 0,777… запишем в виде такой суммы: 0,(7) = 0.7 + 0,07 + 0,007 + …. Слагаемые 0,7; 0,07; 0.007;… — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,7 и знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Сумма этой прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение уравнении

Рассмотрим пример.

Пример:

Решить уравнениеЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияв котором коэффициенты 4 ,7 . …, 25 образуют арифметическую прогрессию.

Решение:

Запишем уравнение так:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В скобках записана сумма первых членов арифметической прогрессии. в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдем количество членов. Пусть число 25 является ее Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-м членом. По формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена 25 = 4 + (Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения -1 )-3, откуда получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Итак, в скобках записана сумма первых 8 членов арифметической прогрессии. Тогда получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 2,5.

Пример:

Записать число 3.1(23) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Число 3.1(23) = 3,12323… запишем в виде такой суммы:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Слагаемые 0,023; 0,00023; … — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,023 и знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Сумма этой прогрессии равна: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить уравнение:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Запишем уравнение в виде:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Во вторых скобках записана сумма первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической про­грессии. в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияНайдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Пусть число 71 является ее Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-м членом. По формуле -го члена Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения = 36. Учитывая, что в первых скобках записана сумма тридцати шести слагаемых, каждый из которых равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1; 35.

Пример:

Найти сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим данную сумму через S. Записав слагаемые в виде Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияи т. д., получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В скобках записана сумма первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Поэтому:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

ИНТЕРЕСНО ЗНАТЬ

Слово «прогрессия» происходит от латинского слона «prcigrcssio» и значит «движение вперед» (как и слово «прогресс»). Впервые этот термин встре­чается в работах римского ученого Боэция (V -V I в.). Прогрессии как частные виды числовых последовательностей встречаются в папирусах II тысячелетия до н. э. Первые задачи на прогрессии, дошедшие до нас, связаны с хозяйственной деятельностью, а именно — с рас­пределением продуктов, разделом наследства и т. п. Древнейшей задачей на прогрессии считают задачу из египетского папируса Ахмеса Райнда о распределении 100 мер хлеба между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько больше первого, на сколько третий получил больше второго и т. д. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии, сумма первых пяти членов которой равна 100. В одной из задач этого папируса представлена формула первого члена арифметической прогрессии, которую в современной символике записывают так:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

где а — первый член, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — число членов, S — сума первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов, d — разность прогрессии. Убедитесь, что эта формула верна. С вычислением суммы членов арифметической прогрессии связана такая интересная история. У известною немецкого математика Карла Гаусса (1777-1875) еще в школе обнаружились блестящие математические способности. Как-то учитель предложил ученикам найти сумму первых ста натуральных чисел. Едва он успел прочитать условие задачи, как маленький Гаусс поднял руку: «Готово». Весь класс был поражен скоростью, с которой он провел подсчет. Как считал Гаусс? Издавна большой популярностью пользуется задача-легенда, которая относится к началу нашей эры. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя игры в шахматы, своего подданного Сету, чтобы наградить его за изобретение. Когда изобретателю предложили самому выбрать награду, он попросил за первую клетку шахматной доски дать ему 1 зерно пшеницы, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 и т.д . Оказалось, что царь не смог выполнить просьбу Сеты. За последнюю, 64-ю, клетку шахматной доски пришлось бы отдать Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения зерен пшеницы, а за все клетки количество зерен, равное сумме членов геометрической прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Эта сумма равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияТакое количество зерен пшеницы можно собрать с плошали, приблизительно в 2000 раз больше площади всей поверхности Земли.

———–

Числовые последовательности

♦ Множество чисел в котором каждое число имеет свой номер Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называется числовом последовательностью. То есть, числовая последовательность это функция определенная во множестве натуральных чисел. Например Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

♦ Числа, образующие последовательность, называются соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности, обычно обозначаются буквами, индекс буквы показывает порядковый номер члена. Например, первый член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения второй член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-ый член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т.д. Сама последовательность обозначается: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т.д.

♦ Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел может быть примером конечной последовательности. А последовательность натуральных чисел – бесконечна.

♦ Обычно последовательность задают с помощью формулы определящей функцию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-ro члена последовательности от номера Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Такую формулу называют формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена последовательности.

Например: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – последовательность четных чисел.Любой член этой последовательности можно найти по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения 10-ый член последовательности: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Наблюдается взаимосвязь многих природных явлений с последовательностью Фибоначчи.

Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза: Его произведение “Книга вычислений” (Liber Abaci) оказала огромное влияние на распространение математических знаний в Европе, служила учебником – справочником европейских ученых. Особенно неоценима его роль в быстром распространении в Европе индийско-арабской десятичной системы. В то время в Европе при записи и вычислениях пользовались Римскими цифрами. В этом произведении Фибоначчи также уделил большое внимание задаче о размножении кроликов, которая дает последовательность чисел 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Для членов этого ряда (при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения) верно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Продолжите ряд Фибоначчи для последующих трех шагов.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Рекуррентный и экспилитический способы задания последовательности

Формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через один или несколько предыдущих членов называется рекуррентной формулой, (от латинского слова recirro – возвращаться). Например, в последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияпри Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – рекуррентная формула и по этой формуле можно продолжить последовательность. Во многих случаях последовательность задается формулой, выражающей Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-ый член номером этого члена. Способ задания последовательности формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена называется экспилитическим способом.

Например, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Арифметическая прогрессия, рекуррентное правило

Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом называется арифметической прогрессией. То есть арифметическая прогрессия – это такая последовательность, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Здесь Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – постоянная для данной последовательности число. Число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называют разностью арифметической прогрессии. Из определения следует, что равенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения справедливо для любого натурального числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. В частных случаях, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Арифметическая прогрессия с Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-ым членом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения символически обозначается Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно показать его первый член и разность. Арифметическая прогрессия задается с рекуррентным соотношением Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Определите, какие из последовательностей являются арифметической прогрессией.

а) Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения последовательность – арифметическая прогрессия, потому что разность между двумя соседними членами остается постоянной

b) Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияпоследовательность не является арифметической прогрессией, потому что разность между двумя соседними членами меняется

Разность арифметической прогрессии может быть положительным, отрицательным числом или нулем. При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения начиная со второго каждый член будет больше предыдущего (возрастающая последовательность), а при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – меньше предыдущего (убывающая последовательность)

Пример 2. а) При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения соответствующая арифметическая прогрессия будет : 2; 5; 8; 11; 14; 17; … Рекуррентная формула этой прогрессии будет: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

b) При условии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения арифметическая прогрессия будет: 11; 7; 3; 1; 5; … Рекуррентная формула этой прогрессии будет: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения все члены будучи равными одному числу (1-му члену) образуют стационарную последовательность. Например, 5; 5; 5; …

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом. Согласно этому правилу: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По этому правилу можно записать: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения является формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена арифметической прогрессии.

Пример 1. В арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно было бы вычислить и нижеуказанным способом: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть верно равенство, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда, получаем формулу для разности прогресии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. В арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Переписав формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в виде Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияможно сделать вывод: любая прогрессия задается формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения здесь Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения любые числа.

Арифметическая прогрессия и среднее арифметическое

Свойство. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

Действительно, из Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получается Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как в общем случае, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Это свойство можно обобщить таким образом. Каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен среднему арифметическому равноудаленных от него членов: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Это свойство поясняет причину названия арифметической прогрессии. Верно и обратное. Если любой член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В конечной арифметической прогрессии сумма членов, расположенных на одинаковом расстоянии от концов, равна сумме крайних членов.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В общем, если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Обозначим через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов любой арифметической прогрессии.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Попарные суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и т.д равны между собой, гак как в конечной арифметической прогрессии сумма членов, расположенных на одинаковом расстоянии от концов, равна сумме крайних членов. Всего таких пар Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения а отсюда получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сумма Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов этой прогрессии. Так как: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда формулу суммы членов арифметической прогрессии можно написать в виде:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Найдите сумму 12-ти первых членов арифметической прогрессии заданной формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Найдите сумму 10-ти первых членов арифметической прогрессии 3; 5; 13;… .

Решение. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. В зале заседаний 30 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем ряду на одно место больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в зале?

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В последнем ряду: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения места. Всего в 30-ти рядах: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4. Сколько членов арифметической прогрессии 5; 7; 9… нужно сложить, чтобы получить 320 ?

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как количество членов не может быть отрицательным, то сумма 16-ти первых членов этой прогрессии равна 320. Перепишем сумму первых Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов арифметической прогрессии в следующем виде:Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, обозначая Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияполучаем, что сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов любой арифметической прогрессии можно также записать в виде: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Можно считать арифметическую прогрессию заданной, если известна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 5. Найдем первый член и разность арифметической прогрессии, сумма Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов которой задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Внимание! При решении некоторых задач для определения Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения пользуются формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Члены геометрической прогрессии, рекуррентное правило

Определение. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущего члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число. То есть если для любого натурального числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения будет выполнено условие: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения будет геометрической прогрессией. Число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называется знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия символически обозначается Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения является представлением геометрической прогрессии по рекуррентному правилу. Из определения следует, что для любого натурального числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения справедливо равенство: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. В частности, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. а) Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то получится геометрическая прогрессия 2, 6, 18, 54, 162,…; b) Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то получится геометрическая прогрессия 3, 6, 12, 24,48,… . При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члены геометрической прогрессии имеют одинаковый знак. При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения знаки членов прогрессии чередуются. При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получается стационарная последовательность.

Пример 2. Какая из данных числовых последовательностей геометрическая прогрессия?

а) 4, 12, 22, 34, 48; b) 625, 125, 25, 5, 1.

Отношение каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий всегда остается постоянной. Проверим это условие для обеих прогрессий.

а)Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Условие не выполняется, последовательность не является геометрической прогрессией.

b)Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Условие выполняется, это последовательность – геометрическая прогрессия.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Вообще, чтобы в геометрической прогрессии найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения нужно перемножить Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Это выражение называется формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-го члена геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно знать его первый член и знаменатель.

Пример 1. Если в геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Указание. Можно было бы вычислить следующем способом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, справедливо равенство, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения если в геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Заключение: Если известны какие-либо два члена, то можно задать геометрическую прогрессию, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-ый член геометрической прогрессии можно найти другим путем. По определению:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если перемножить почленно эти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения равенства, получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сократив одинаковые члены в левой и правой частях, получим формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Заключение: Записав Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и обозначив Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения становится ясным, что любую геометрическую прогрессию можно задать формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения(Здесь Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-какое-либо число отличное от нуля, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения– знаменатель прогрессии).

Члены геометрической прогрессии и среднее геометрическое

В геометрической профессии с положительными членами, начиная со второго, каждый член равен среднему геометрическому соседних с ним членов. Это свойство поясняет причину названия геометрической прогрессии. Например, в последовательности, 2, 6, 18, 54, 162,… число 18 является средним геометрическим 6 и 54. Среднее геометрическое-можно ясно увидеть, записывая отношения, выражающие знаменатель профессии. Из определения геометрической прогрессии получатся равенства:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Взяв попарно эти равенства, получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Это свойство можно задать в более общем виде. В геометрической прогрессии, начиная со второго, квадрат любого члена равен произведению равноудаленных членов последовательности, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Для геометрической прогрессии с положительными членами это свойство можно записать в виде:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Еще одно свойство членов геометрической профессии: Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то верно равенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сумма n-первых членов геометрической прогрессии

Обозначим через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов геометрической прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

При Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, все члены равны Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим случай когда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Умножим обе части (1 )-го равенства на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отнимем от (2)-го равенства (1)-е. Получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда SЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

(3)-я формула называется формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения-первых членов геометрической прогрессии. Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то для Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно записать:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Пример. В геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Найдите сумму первых шести членов.

Решение. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выразим Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если число членов геометрической прогрессии бесконечно, то ее называют бесконечной геометрической профессией. Преобразуем формулу суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения– первых членов геометрической прогрессии следующим образом.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

ЕслиЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то с бесконечным ростом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения множитель Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, а значит и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения приближаются к нулю. Поэтому с ростом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения до бесконечности сумма Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения приближается к числу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения при Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называется суммой бесконечной геометрической прогрессии.

Если обозначить эту сумму через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример. Примените формулу суммы бесконечной геометрической профессии в преобразовании периодической дроби Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в обыкновенную.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения то по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Геометрические преобразования. Движение

Параллельный перенос

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и тоже расстояние и фигура переходит в фигуру конгруэнтную себе. Треугольник Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения изображенный на рисунке получен параллельным переносом из треугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Здесь Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

В координатной плоскости каждая точка данного треугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения перемещена на 4 единицы направо, и на 5 единиц вниз.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Применяя формулу расстояния между двумя точками, получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения По признаку конгруэнтности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

При параллельном переносе фигуры произвольная точка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходит в точку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и между координатами этих точек справедливо равенство:Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

На координатной плоскости при параллельном переносе перемещение по осям координат направо и наверх выражаегся положительными, налево и вниз отрицательными единицами. Это определяется числами Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. При параллельном переносе расстояние между двумя точками не меняется.

Действительно, при параллельном переносе произвольные точки Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходят в точки Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Значит, при параллельном переносе сохраняется расстояние.

Координаты середины отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Координаты середины отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения будут такими же (проверьте сами).

Значит, диагонали четырехугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. То есть, этот четырехугольник параллелограмм. А у параллелограмма противоположные стороны параллельны. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в саму себя). Если при переходе одной фигуры в другую расстояния между точками сохраняются, то такое преобразование называется движением. Параллельный перенос это движение.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Параллельный перенос и векторы

Каждый параллельный перенос определяет один вектор. То есть при параллельном переносе перемещение всех точек фигуры выполняется по одному вектору. Выражение параллельного переноса вектором упрощает запись. Компоненты вектора Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения показывают изменения координат точек относительно осей Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

На картине изображен параллельный перенос Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения на вектор Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Воспользуясь компонентами вектора, можно определить перемещение фигуры. Все точки треугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения перемещаясь на длину вектора Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходят в точки треугольника Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Длина вектора Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Движение и конгруэнтные фигуры

Пусть каждой точке фигуры Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения противопоставлена определенная точка плоскости. Множество таких точек образует фигуру Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае говорят, что фигура Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получена преобразованием фигуры Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Плоскость так же является геометрической фигурой. При преобразовании плоскости произвольная точка переходит в точку этой же плоскости и причем каждая точка преобразуется в определенную точку. Если при преобразовании одной фигуры в другую расстояние между точками сохраняется, то все геометрические свойства фигуры сохраняются и фигура преобразуется в конгруэнтную фигуру. Такие преобразования называются движением. Результат последовательных движений также является движением.

Теорема. При движении отрезок преобразуется в отрезок.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть при движении концы отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходят соответственно в точки Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Докажем, что отрезок Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходит в отрезок Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. На отрезке Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения берем произвольную точку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Пусть точка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения преобразуется в точку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Так как при движении расстояния между точками сохраняются Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения А это значит, что точка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения находится на отрезке Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть точка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходит в точку отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, и наоборот в точку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения переходит точка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющее условию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Следствие. При движении каждая сторона треугольника переходит в конгруэнтный отрезок, и поэтому по признаку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения треугольник преобразуется в конгруэнтный треугольник. При движении прямая переходит в прямую, отрезок в отрезок и угол между полупрямыми сохраняется. При таких преобразованиях как параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, фигура переходит в конгруэнтную фигуру. Исследуем это при помощи оси симметрии (отражения).

Теорема. Осевая симметрия (отражение) есть движение.

На рисунке изображено отражение отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. По расположению отрезка Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и прямой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения возможны 4 различных случая.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Докажем теорему для первого случая:

Текстовое доказательство

В этом случае точки Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения лежат по одну сторону от прямой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Из определения отражения следует, что, так как отрезок Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения– серединный перпендикулярный отрезков Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Тогда по признаку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Так как у конгруэнтных треугольников соответственные стороны конгруэнтны, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

——

Числовые последовательности

В этой лекции вы:

Пример №356

Запишем в порядке возрастания четные натуральные числа: 2; 4; 6; 8; 10; … .

Получим последовательность четных натуральных чисел. На первом месте в ней число 2, на втором – число 4, на пятом – 10. Если и далее записывать четные натуральные числа, то, например, на десятом месте окажется число 20, на сотом – число 200. Вообще, для любого натурального числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно указать натуральное четное число, стоящее на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения месте. Этим числом будет Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности принято обозначать буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена последовательности. Например: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, … (читают: «Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первое, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения второе, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения третье, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения четвертое» и т. д.). В нашем примере Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, … . Член последовательности с номером Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называют Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членом последовательности и обозначают Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Саму последовательность принято обозначать Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим два соседних члена последовательности с номерами Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, а именно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения называют следующим за Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, а член Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияпредыдущим к Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Поскольку в последовательности четных натуральных чисел на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения месте стоит число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то можем записать, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, имеем формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена последовательности четных натуральных чисел.

Эта последовательность содержит бесконечное число членов. Такую последовательность называют бесконечной. В записи бесконечной последовательности после перечисления нескольких ее первых членов ставят многоточие. Если же последовательность содержит конечное число членов, то ее называют конечной.

Пример №357

Последовательность двузначных натуральных чисел 10; 11; 12; …; 98; 99 является конечной. Она содержит 90 членов и может быть задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Зная формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена последовательности, можем найти любой ее член.

Пример №358

Последовательность задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Найдем несколько ее членов: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – первый член, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – седьмой, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – двадцатый, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – сотый.

Формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена является достаточно удобным, но не единственным способом задания последовательности.

Пример №359

Конечную последовательность можно задать перечислением ее членов. Например, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №360

Последовательность можно задать описанием ее членов. Например, последовательность натуральных делителей числа 18, записанных в порядке возрастания, выглядит так: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Пример №361

Конечную последовательность можно задать и в виде таблицы. Например:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность можно задавать, указав первый или несколько первых членов последовательности, а затем – формулу, позволяющую найти остальные члены последовательности через предыдущие. Такую формулу называют рекуррентной, а способ задания последовательности – рекуррентным.

Пример №362

Пусть первый член последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения равен 2, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда по известному первому члену можно найти второй: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, по известному второму можно найти третий: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и так далее.

Получим последовательность: 2; 4; 16; 256; 65 536; … .

Пример №363

Найдем третий, четвертый и пятый члены последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, заданной рекуррентно: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Последовательности, рассмотренные выше, являются числовыми последовательностями, так как состоят из чисел. Иногда рассматривают последовательности, членами которых являются выражения, функции и т. п. В дальнейшем будем рассматривать только числовые последовательности.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияМатематики уже очень давно занимаются изучением числовых последовательностей. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

  1. 1, 2, 3, 4, 5,… – последовательность натуральных чисел;
  2. 2, 4, 6, 8, 10,… – последовательность четных чисел;
  3. 1, 3, 5, 7, 9,… – последовательность нечетных чисел;
  4. 1,4,9,16,25,… – последовательность квадратов натуральных чисел;
  5. 2, 3, 5, 7, 11,… – последовательность простых чисел;
  6. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – последовательность чисел, обратных натуральным.

Для всех этих последовательностей, кроме пятой, можно записать формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена. Для последовательности простых чисел формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена не была известна древним математикам… Нет ее и поныне!

Одной из наиболее известных является числовая последовательность, которую называют последовательностью Фибоначчи в честь итальянца Л. Пизанского (Фибоначчи) (ок. 1170 – ок. 1250). Он первым рассмотрел последовательность чисел, два первых члена которой – единицы и каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 ….

Лишь несколько веков спустя была найдена формула Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена последовательности Фибоначчи:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Арифметическая прогрессия, ее свойства. формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 4, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 3:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Такую последовательность называют арифметической прогрессией.

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметической прогрессией.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (от начальной буквы латинского слова differentia – разность). Значит, если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – арифметическая прогрессия, то имеют место равенства:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, для любого натурального Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим равенство: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Тогда: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решениято есть

разность арифметической прогрессии можно найти, если от любого члена прогрессии, начиная со второго, отнять предыдущий.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, а ее разность равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что в каждой из полученных формул коэффициент у разности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. Действительно, чтобы найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, имея Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, нужно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения раз прибавить к Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть к Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения прибавить Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Получили формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.

Пример №364

Последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – арифметическая прогрессия, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Найти двадцатый член этой последовательности .

Решение:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 25,2.

Пример №365

Принадлежит ли арифметической прогрессии 7; 10; 13; … число: 1) 82; 2) 102?

Решение:

В данной прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Запишем формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена этой прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

1) Допустим, число 82 является членом прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда существует такое натуральное число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Имеем уравнение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откуда получим, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, число 82 является двадцать шестым членом арифметической прогрессии, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

2) Рассуждая аналогично, имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Полученное число Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения не является натуральным, а значит, арифметическая прогрессия числа 102 не содержит.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Пример №366

Кубики сложены рядами так, что в верхнем ряду 4 кубика, а в каждом следующем ниже ряду – на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем. Известно, что в шестом ряду 14 кубиков. Сколько кубиков в третьем ряду?

Решение:

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем, то числа, равные количеству кубиков в рядах, образуют арифметическую прогрессию, в которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, нам нужно найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Для начала найдем разность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения этой прогрессии. Из формулы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим уравнение: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Теперь, зная значение Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, в третьем ряду 8 кубиков.

Заметим, что найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно было и без использования уравнения, например выразив Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения из формулы 6-го члена прогрессии. Действительно, поскольку Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 8 кубиков.

Докажем несколько важных свойств арифметической прогрессии.

1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов, то есть

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Используем формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена арифметической прогрессии, тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По одной из версий именно с этим свойством арифметической прогрессии связано ее название.

2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух равноудаленных от него членов, то есть

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3. Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Используем формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена, тогда: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Но Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

4. Любую арифметическую прогрессию можно задать формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, где Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа.

Доказательство: По формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена имеем:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Обозначив Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

5. Последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, заданная формулой вида Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, где Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Доказательство: Рассмотрим разность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов этой последовательности:Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияПолучим, что для любого Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, последовательность (Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения) является арифметической прогрессией, разность которой равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияПервые представления об арифметической прогрессии появились еще до нашей эры. В древнеегипетском папирусе Ахмеса (II тыс. до н. э.) есть такая задача: «Тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми, разность же между каждым человеком и его соседом равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения меры». Решение задачи сводится к нахождению десяти членов арифметической прогрессии: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, сумма которых равна 10.

Задачи на арифметические прогрессии есть и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах».

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т. п.

У древних греков теория арифметических прогрессий была связана с так называемой непрерывной арифметической пропорцией:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Здесь числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения образуют арифметическую прогрессию с разностью Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, прогрессии рассматривались как бы продолжениями пропорций, вот почему эпитет арифметическая был перенесен с пропорций на прогрессии. Это еще одна из версий, почему эта прогрессия получила именно такое название.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых членов арифметической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Обозначим через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения их сумму:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Запишем эту сумму дважды, разместив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором – в порядке убывания:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Теперь сложим эти равенства почленно и получим: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Но по свойству 3 из предыдущего параграфа: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть каждая сумма в скобках равенства Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения равна Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда правая часть равенства Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения состоит из Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения слагаемых, каждое из которых равно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Разделив обе части этого равенства на 2, получим формулу суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых членов арифметической прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если в формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена заменить Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения выражением Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

или

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Получили еще одну формулу для вычисления суммы п первых членов арифметической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый член и разность прогрессии.

Применим формулы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения для решения примеров.

Пример №367

Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии 4; 7; 10; … .

Решение:

1-й способ. Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

2-й способ. Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, и легко найти, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, используем формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1425.

Пример №368

Найти сумму восемнадцати первых членов последовательности Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения заданной формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Поскольку последовательность задана формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, где Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то она является арифметической прогрессией (по свойству 5 из предыдущего параграфа).

Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. -216.

Пример №369

Найти сумму всех натуральных чисел, кратных числу 7 и не превышающих 999.

Решение:

Натуральные числа, кратные числу 7, образуют арифметическую прогрессию: 7; 14; 21; 28; …, которую можно задать формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают числа 999. Для этого решим неравенство Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и получим,

что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, 142 члена прогрессии не превышают 999. Найдем их сумму, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 71 071.

Пример №370

Из двух точек, расстояние между которыми 100 м, одновременно навстречу друг другу начинают двигаться два объекта. Первый движется равномерно со скоростью 9 м/с, а второй за первую секунду проходит 7 м, а за каждую следующую на 2 м больше, чем за предыдущую. Через сколько секунд они встретятся?

Решение:

Пусть объекты встретятся через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения секунд. Первый за это время преодолеет Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения м. Расстояния, которые преодолеет второй объект за первую, вторую, третью и следующие секунды, образуют арифметическую прогрессию, у которой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда за Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения секунд второй объект преодолеет расстояние Sn> которое можно вычислить по формуле:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По условию Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Второй корень не удовлетворяет задаче. Следовательно, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть встреча произойдет через 5 с.

Ответ. 5 с.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияУже в V в. до н. э. греки знали несколько прогрессий и их суммы, в частности:

1) Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

2) Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

3) Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и другие.

С вычислением суммы арифметической прогрессии связана интересная история, произошедшая с выдающимся немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855), который, еще учась в школе, проявил чрезвычайные математические способности. Однажды учитель предложил ученикам найти сумму ста первых натуральных чисел. Юный Гаусс мгновенно получил результат. Он заметил, что значения сумм 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … одинаковы, а количество таких сумм равно 50:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Геометрическая прогрессия, ее свойства. формула n-го члена геометрической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Такую последовательность называют геометрической прогрессией.

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждое из которых, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (от первой буквы французского слова quotient – частное). Поэтому если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – геометрическая прогрессия, то верны следующие равенства:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для любого натурального Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения получим:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решениято есть

знаменатель геометрической прогрессии можно найти, ли любой член прогрессии, начиная со второго, разделить на предыдущий.

Заметим, что поскольку члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то и знаменатель Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения не может быть равным нулю, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то геометрическая прогрессия будет состоять из одинаковых чисел. Например, если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то получим геометрическую прогрессию:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что полученную последовательность можно также считать и арифметической прогрессией, первый член которой равен -5, а разность равна нулю.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, а знаменатель равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что в каждой из полученных формул показатель степени числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. Действительно, чтобы найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, имея Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, нужно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения раз умножить Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения умножить на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Имеем:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Получили формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.

Пример №371

Последовательность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – геометрическая прогрессия, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Найти Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №372

Найти знаменатель Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1-й способ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

При этомЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откуда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения или Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

2-й способ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, откудаЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения или Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения или Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №373

Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Середины его сторон являются вершинами второго треугольника, а середины сторон второго являются вершинами третьего и т. д. (рис. 75). Найти площадь пятого треугольника, построенного по тому же принципу.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения – площади первого, второго, третьего и т. д. треугольников. Найдем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку стороны каждого следующего треугольника являются средними линиями предыдущего, то длина стороны каждого следующего треугольника будет вдвое меньше длины стороны предыдущего. Тогда сторона второго треугольника равна 4 см, а его площадь Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Сторона третьего треугольника равна 2 см, тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в 4 раза меньше, чем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, a Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в 4 раза меньше, чем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть приходим к выводу, что площадь каждого следующего треугольника в 4 раза меньше площади предыдущего, и поэтому найденные числовые значения площадей Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения являются последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, первый член которой равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда числовое значение площади пятого треугольника является соответственно пятым членом этой прогрессии. Значит,

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Докажем некоторые важные свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то есть

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Воспользуемся формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена геометрической прогрессии. Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если все члены геометрической прогрессии являются положительными числами, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних с ним членов.

По одной из версий именно с этим свойством геометрической прогрессии и связано ее название.

2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух равноудаленных от него членов, то есть

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3. Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Воспользуемся формулой Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена геометрической прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Нo Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решенияВ уже неоднократно здесь упоминавшемся папирусе Ахмеса содержится следующая задача, в которой необходимо найти сумму Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения членов геометрической прогрессии: «У семи человек по семи кошек, каждая кошка съедает по 1 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев, из каждого колоса может вырасти по 7 мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?».

В своей работе «Псаммит» Архимед впервые сопоставил арифметическую и геометрическую прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

и указал на связь между ними, например: Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то есть для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У древних греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения в которой числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Этой связью и объясняется одна из версий названия прогрессии – геометрическая.

Формула сложных процентов

Бухгалтерам и работникам банков часто приходится решать задачи на проценты. Рассмотрим задачу о начислении процентного дохода. С экономической точки зрения процентный доход можно считать вознаграждением, которое платит лицо или учреждение (заемщик) за пользование в течение определенного времени определенной суммой средств, полученных от другого лица или учреждения (кредитора). Размер этого вознаграждения зависит от суммы средств и срока пользования ими.

Пример №374

Вкладчик открыл в банке депозит в размере 10 ООО грн под 11 % годовых (то есть банк обязан выплатить процентный доход в размере 11 % в год от начальной суммы вклада). Какой процентный доход получит вкладчик через год?

Решение:

11 % = 0,11, поэтому вкладчик получит Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (грн) процентного дохода.

Ответ. 1100 грн.

Если вкладчик решил держать средства в банке более года, не добавляя новых средств и не забирая вложенных, то определить сумму средств на счету вкладчика через несколько лет можно с помощью формулы сложных процентов.

Пусть вкладчик положил в банк Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения грн под Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения % годовых, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения еще называют начальным капиталом. Через год банк начислит вкладчику Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения грн процентного дохода. Поэтому на счету вкладчика через год будет Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения грн – наращенный капитал. Обозначим Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. За второй год вкладчику будет начислено Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения грн процентного дохода (ведь теперь банк начисляет Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения % годовых от числа Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения), и его вклад будет равен:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Рассуждая аналогично и применяя формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, гдеЧисловые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения придем к выводу, что через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения лет наращенный капитал будет равен:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

начальный капитал Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, вложенный в банк под Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения % годовых, через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения лет станет наращенным капиталом Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, размер которого определяется но формуле:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

которую называют формулой сложных процентов.

Пример №375

Вкладчик открыл в банке депозит на 5000 грн под 12 % годовых. Сколько средств будет на счету вкладчика через 3 года? Какой процентный доход получит вкладчик через 3 года?

Решение:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Процентный доход можно найти как разность Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 7024,64 грн, 2024,64 грн.

По формуле сложных процентов можно решать и другие задачи, не связанные с наращиванием капитала.

Пример №376

Население города составляет 30 000 жителей. Каждый год количество населения уменьшается на 0,2 %. Сколько жителей будет в этом городе через 10 лет?

Решение:

Так как население города ежегодно уменьшается на один и тот же процент, и это процент от количества населения каждого предыдущего года, а не от начального количества жителей, то можно воспользоваться формулой сложных процентов.

Имеем, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения (так как население уменьшается, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения), Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 29 405 жителей.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Рассмотрим Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых членов геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим через Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения их сумму:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Имеем (учитывая формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члена геометрической прогрессии):

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Умножим обе части этого равенства на Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Вычтем почленно из этого равенства предыдущее:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, получаем формулу суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых членов геометрической прогрессии:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то все члены прогрессии равны первому члену и тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Заметим, что полученную формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно записать и так:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Так как Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то формулу Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения можно записать и по-другому. Действительно,

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Получили еще одну формулу для вычисления суммы Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения первых членов геометрической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый и Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения члены прогрессии и ее знаменатель. Применим эти формулы для решения упражнений.

Пример №377

Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии 2; -6; 18; … .

Решение:

1-й способ. По условию:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Тогда по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

2-й способ. Известно, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, тогда

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

По формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1094.

Пример №378

Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, тогда Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения или Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:

1) если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

2) если Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, то Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 252 или -84.

Пример №379

Сократить дробь

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Слагаемые в числителе дроби являются последовательными членами геометрической прогрессии 1, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения, первый член которой равен 1, а знаменатель равен Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения. Из условия следует, что Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Найдем сумму всех шести членов этой прогрессии по формуле Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения и сократим данную в условии дробь:

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения.

Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения Древняя индийская задача-легенда гласит- что изобретатель шахматной игры Сета в награду за свою остроумную выдумку попросил у индийского царя Шерама столько зерен пшеницы, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – два, на третью – четыре, на четвертую – восемь и т. д., пока не заполнятся все клетки.

Царь удивился, что изобретатель пожелал столь мало, и приказал придворным математикам подсчитать необходимое количество зерен. Каково же было изумление царя, когда он узнал, что не сможет выдать обещанную награду, так как необходимое число зерен равно Числовые последовательности - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы получить столько зерен, потребовалось бы собрать урожай с площади, в 2000 раз превышающей всю поверхность Земли. А для хранения такого урожая понадобился бы амбар, который при высоте 4 м и ширине 10 м тянулся бы на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве
  • Рациональные выражения
  • Квадратные корни
  • Квадратные уравнения
  • Неравенства

Как пользоваться калькулятором идентификации последовательности

Шаг 1

Введите свой набор чисел в поле ввода. Цифры следует разделять запятыми.

Шаг 2

Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.

Шаг 3

Во всплывающем окне выберите «Определить последовательность». Вы также можете воспользоваться поиском.

Определение последовательности

Что такое определение последовательности в математике

Последовательность – это такой набор элементов числа, который:
– Для каждого натурального числа вы можете указать элемент этого набора.
– Этот номер является номером позиции и указывает позицию позиции в последовательности.
– Для любого элемента (члена) последовательности вы можете указать последовательность, которая следует за ним.
Таким образом, последовательность является результатом последовательного выбора элементов данного набора. Если какой-либо окончательный набор элементов назвать образцом окончательного объема, последовательность окажется образцом бесконечного объема.

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность? 

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N

Последовательности чисел

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Последовательности чисел

Какие бывают последовательности

Различают:

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1… 
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Арифметическая прогрессия

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Арифметическая прогрессия

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число – разностью афифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Арифметическая прогрессия
Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Геометрическая прогрессия

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Геометрическая прогрессия