Как найти потенциал двух точек

Понятие электрического потенциала является одним из важных основ теории электростатики и электродинамики. Понимание его сущности является необходимым условием для дальнейшего изучения этих разделов физики.

Что такое электрический потенциал

Пусть в поле, создаваемым неподвижным зарядом Q, помещён единичный заряд q, на который действует сила Кулона F=k*Qq/r.

Здесь и далее k=((1/4)*π* ε₀* ε), где ε_{0 —} электрическая постоянная (8,85*10^-12 Ф/м), а ε – диэлектрическая постоянная среды.

Внесённый заряд под действием этой силы может перемещаться, а сила при этом совершит определенную работу. Это означает, что система из двух зарядов обладает потенциальной энергией, зависящей от величины обоих зарядов и расстояния между ними, причём величина этой потенциальной энергии не зависит от величины заряда q. Здесь и вводится определение электрического потенциала – он равен отношению потенциальной энергии поля к величине заряда:

φ=W/q,

где W – потенциальная энергия поля, создаваемого системой зарядов, а потенциал является энергетической характеристикой поля. Чтобы переместить заряд q в электрическом поле на какое-то расстояние, надо затратить определённую работу на преодоление кулоновских сил. Потенциал точки равен работе, которую надо затратить для перемещения единичного заряда из этой точки в бесконечность. При этом надо отметить, что:

• эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда (A=W₂-W₁);
• работа не зависит от траектории перемещения заряда.

В системе СИ единицей измерения потенциала является один Вольт (в русскоязычной литературе обозначается буквой В, в зарубежной – V). 1 В=1Дж/1 Кл, то есть, можно говорить о потенциале точки в 1 вольт, если для перемещения заряда в 1 Кл в бесконечность потребуется совершить работу в 1 Джоуль. Название выбрано в честь итальянского физика Алессандро Вольта, внесшего значительный вклад в развитие электротехники.

Чтобы наглядно представить, что такое потенциал, его можно сравнить с температурой двух тел или температурой, замеренной в разных точках пространства. Температура служит мерой нагрева объектов, а потенциал – мерой электрической заряженности. Говорят, что одно тело нагрето более другого, также можно сказать, что одно тело заряжено более, а другое – менее. Эти тела обладают разным потенциалом.

Значение потенциала зависит от выбора системы координат, поэтому требуется какой-то уровень, который надо принять за ноль. При измерении температуры за базовую границу можно принять, например, температуру тающего льда. Для потенциала за нулевой уровень обычно принимают потенциал бесконечно удаленной точки, но для решения некоторых задач за нулем можно считать, например, потенциал земли или потенциал одной из обкладок конденсатора.

Свойства потенциала

Среди важных свойств потенциала надо отметить следующие:

• если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в конкретной точке будет равен алгебраической (с учетом знака заряда) сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов φ=φ₁+φ₂+φ₃+φ₄+φ₅+…+φ_n;
• если расстояния от зарядов таковы, что сами заряды можно считать точечными, то суммарный потенциал считается по формуле φ=k*(q₁/r₁+q₂/r₂+q₃/r₃+…+q_n/r_n), где r – расстояние от соответствующего заряда то рассматриваемой точки.

Если поле образовано электрическим диполем (двумя связанными зарядами противоположного знака), то потенциал в любой точке, находящейся на расстоянии r от диполя будет равен φ=k*p*cosά/r², где:

• p – электрическое плечо диполя, равное q*l, где l – расстояние между зарядами;
• r – расстояние до диполя;
• ά – угол между плечом диполя и радиус-вектором r.

Если точка лежит на оси диполя, то cosά=1 и φ=k*p/r².

Разность потенциалов

Если две точки обладают определённым потенциалом, и если они не равны, то говорят о том, что между двумя точками существует разность потенциалов. Разность потенциалов возникает между точками:

• потенциал которых определяется зарядами разных знаков;
• точкой с потенциалом от заряда любого знака и точкой с нулевым потенциалом;
• точками, имеющими потенциал равного знака, но отличающимися по модулю.

То есть, разность потенциалов не зависит от выбора системы координат. Можно провести аналогию с бассейнами с водой, расположенными на разной высоте относительно нулевой отметки (например, уровня моря).

Вода каждого бассейна имеет определенную потенциальную энергию, но если соединить два любых бассейна трубкой, то в каждой из них возникнет поток воды, расход которой определяется не только размерами трубки, но и разностью потенциальных энергий в гравитационном поле Земли (то есть, разностью высот). Абсолютное значение потенциальных энергий значения в данном случае не имеет.

Точно так же, если соединить проводником две точки с разным потенциалом, по нему потечёт электрический ток, определяемый не только сопротивлением проводника, но и разностью потенциалов (но не их абсолютным значением). Продолжая аналогию с водой, можно сказать, что вода в верхнем бассейне скоро закончится, и если не найдется той силы, которая переместит воду обратно наверх (например, насоса), то и поток очень быстро прекратится.

Так и в электрической цепи – чтобы поддерживать разность потенциалов на определенном уровне, потребуется сила, переносящая заряды (точнее, носители зарядов) к точке с наибольшим потенциалом. Такая сила называется электродвижущей силой и сокращенно обозначается ЭДС. ЭДС может носить различную природу – электрохимическую, электромагнитную и т.п.

На практике имеет значение в основном разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории движения носителей зарядов. В этом случае эту разность называют напряжением, и оно в СИ также измеряется в вольтах. О напряжении в 1 Вольт можно говорить, если поле совершает работу в 1 Джоуль при перемещении заряда в 1 Кулон из одной точки в другую, то есть 1В=1Дж/1Кл, и Дж/Кл также может являться единицей измерения разности потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности

Если потенциал нескольких точек одинаков, и эти точки образуют поверхность, то такая поверхность называется эквипотенциальной. Таким свойством обладает, например, сфера, описанная вокруг электрического заряда, ведь электрическое поле убывает с расстоянием одинаково во все стороны.

Все точки этой поверхности имеют одинаковую потенциальную энергию, поэтому при перемещении заряда по такой сфере работа затрачиваться не будет. Эквипотенциальные поверхности систем из нескольких зарядов имеют более сложную форму, но у них есть одно интересное свойство – они никогда не пересекаются. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхностям с одинаковым потенциалом в каждой их точке. Если эквипотенциальную поверхность рассечь плоскостью, получится линия равных потенциалов. Она имеет те же свойства, что и эквипотенциальная поверхность. На практике равный потенциал имеют, например, точки на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле.

Разобравшись с понятием потенциала и разности потенциалов, можно приступать к дальнейшему изучению электрических явлений. Но не ранее, потому что без понимания базовых принципов и понятий углубить знания не получится.

1. Выражение потенциала любой точки схемы через потенциалы соседних точек.

Рассмотрим
на примере схемы рис. 15.

Рис.
15. Схема электрической цепи

Перед
расчетом произвольно выбираются
направления токов во всех ветвях и
больше не меняются в процессе расчета.

Найдем
разность потенциалов между точками d
и n
на пути ncabmd.

;

.
(18)

При
движении от точки n
к точке c
потенциал скачком возрастает на величину
ЭДС .
На участках ca
и ab
движемся против тока, т.е. в сторону
возрастания потенциала, поэтому падения
напряжения
и
входят в выражение (18) со знаком «плюс».
Далее на участке bm
скачок потенциала, поэтому падение
напряжения
входит в выражение (18) со знаком «плюс».

Разность
потенциалов между точками d
и n
по кратчайшему пути будет:

U_dn
=
I₃R₃.
(19)

Знак
«плюс» соответствует возрастанию
потенциала при движении от точки n
к точке d
по току.

Если
при расчете по двум разным путям между
одними и теми же точками получается
одинаковая разность потенциалов, то
можно считать, что токи рассчитаны
верно. Это дополнительное средство
проверки правильности расчета.

Найдем
теперь разность потенциалов между
точками b
и m
на пути mdncab:

U_bm
=
I₂R₂
– I₃R₃
+
E₃
+ I₆R₆
+ I₄R₄;
(20)

. (21)

1. Первый и второй законы Кирхгофа. Составление уравнений для расчета токов в схемах при наличии в них источников эдс и тока.

Первый
закон Кирхгофа формируется следующим
образом: алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле равна нулю. Математически
это записывается так:

.
(22)

Здесь
n
– число узлов, для которых составляются
уравнения по первому закону Кирхгофа.

Положительными
считаются токи, подходящие к узлу,
отрицательными – отходящие от узла.

В
схеме рис. 15 пять узлов: a,
b,
c,
d,
n.
Количество уравнений, которые нужно
составить по первому закону Кирхгофа,
равно числу узлов без единицы:

. (23)

Здесь
У=5
число
узлов.

Узлы,
для которых составляются уравнения,
выбираются произвольно.

Составим
четыре уравнения по первому закону
Кирхгофа для узлов a,
b,
c,
d:

1. ;
   (24)

b)
;
(25)

c)
;
(26)

d)

–
.
(27)

Уравнение
для последнего узла не составляется,
так как оно может быть выведено из ранее
составленных уравнений (24), (25), (26) и (27).

В
схеме рис. 15 число ветвей В
равно семи, оно всегда равно числу
неизвестных токов.

Второй
закон Кирхгофа формулируется следующим
образом: алгебраическая сумма падений
напряжений вдоль любого замкнутого
контура равно алгебраической сумме ЭДС
того же контура.

.
(28)

Здесь
n
– число контуров, для которых составляются
уравнения по второму закону Кирхгофа.

Любой
замкнутый путь в схеме называется
электрическим контуром. Ветвь с источником
тока не учитывается при подсчете числа
контуров.

Так
в схеме рис. 15 шесть контуров: admba,
acnda,
abca,
cndabc,
cadmbc
и cndmbc.

Независимым
контуром называется такой контур, в
который входит хотя бы одна новая ветвь,
не вошедшая в предыдущие контуры.

Независимых
контуров на схеме рис. 15 всего три: admba,
adnca,
abca.

Контуры
,

и
не
являются независимыми контурами, так
как входящие в них ветви уже использованы
при составлении первых трех контуров.

Выберем
также произвольно направления обхода
независимых контуров, например, все по
часовой стрелке.

Число
уравнений ,
которые
нужно составить по второму закону
Кирхгофа равно числу ветвей
минус ,
т.е. число уравнений, составленных по
первому закону Кирхгофа

. (29)

Это
всегда равно числу независимых контуров

. (30)

При
составлении уравнений по второму закону
Кирхгофа падение напряжения следует
считать положительным, если направление
тока в данной ветви совпадает с
направлением обхода контура, и
отрицательным – если ток не совпадает
с направлением обхода.

Составим
уравнения по второму закону Кирхгофа
для выбранных независимых контуров:

admba
;
(31)

abca ;
(32)

acnda
I₁R₁
+ I₆R₆
– I₃R₃
= -E₃.
(33)

ЭДС
контура берутся со знаком «плюс», если
их направления совпадают с направлением
обхода контура, и «минус» – если не
совпадают.

17

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #