В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.
Теория по методу начальных параметров
Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым охватим всю теоретическую часть по максимуму.
Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:
Выбор базы и системы координат
Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки.
Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:
Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях — упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом использования метода начальных параметров (МНП).
Универсальное уравнение МНП
После введения базы, системы координат и обозначения расстояний а, б, в, г записываем универсальное уравнение МНП, с помощью которого, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки):
Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем, так сказать:
- E – модуль упругости;
- I – момент инерции;
- VK – прогиб сечения K;
- VO – прогиб сечения O;
- θO – угол поворота сечения О.
Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.
Итак, изучаем эту формулу слева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае VK, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:
В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:
Также всегда учитывается угол поворота сечения, которое совпадает с выбранной базой. Причем произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.
Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку, которая находится слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.
Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:
В случае с моментами скобка возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен по часовой стрелке и отрицательным, соответственно, если против часовой стрелки:
Учет распределенной нагрузки
Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки. Но так как, конец распределенной нагрузки совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, в этом случае, в уравнении учитывается только ее начало.
Причем важно, даже если бы в этом сечении была сила или момент, их бы также не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.
Для распределенной нагрузки скобка возводится в 4 степень и делится на 24. А правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил.
Граничные условия
Чтобы решить уравнение, нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и никаких поворотов, то есть VO = 0 и θO = 0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.
Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно-подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.
Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок, помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.
Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:
Пример расчета прогиба балки
Для закрепления пройденного материала предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок.
Условие задачи
Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.
Подготовительный этап
Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:
В методе начальных параметров есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае рассматриваемый метод будет работать.
В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно направленной нагрузкой. Тем самым в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:
Расчет прогиба
Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:
VA = 0 при x = 6м
θA = 0 при x = 6м
Напомню, что нас, в этом примере интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:
В полученном уравнении у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:
Но чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:
Из второго уравнения найдем угол поворота:
После чего рассчитываем искомый прогиб:
Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.
Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений
Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки)
Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):
a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.
В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.
Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.
Прогиб 
и угол поворота 
балки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.
Уравнение упругой линии балки на примере
Определим прогиб балки на консоли при 
м, то есть 
. Запишем универсальное уравнение упругой линии балки:
Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: 
.
Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.
,
.
Прогиб консоли при z=6м:
Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3).
Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16.
Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов по дифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе.
6.1. Понятие об упругой
линии. Прогиб и угол поворота.
Дифференциальное уравнение упругой
линии. Условие жесткости при изгибе
Чтобы судить о работе изгибаемых балок,
недостаточно знать только напряжения,
которые возникают в сечениях балки от
заданной нагрузки. Вычисленные напряжения
позволяют проверить прочность системы.
Однако весьма прочные балки могут
оказаться непригодными к эксплуатации
из-за недостаточной жесткости. Если
балка при нагружении сильно прогибается,
то при эксплуатации сооружения, имеющего
гибкие балки, появятся затруднения и,
кроме того, могут возникнуть колебания
балки с большими амплитудами, а вместе
с тем и значительные дополнительные
напряжения.
Под жесткостью
следует понимать способность
элеменов конструкций и деталей машин
сопротивляться внешним нагрузкам без
видимых деформаций.
Расчет на жесткость заключается в оценке
упругой податливости балки под действием
приложенных нагрузок и подбор таких
размеров поперечного сечения, при
которых перемещения не будут превышать
установленных нормами пределов. Для
выполнения такого расчета необходимо
научиться вычислять перемещения сечений
балки под действием любой внешней
нагрузки.
Рассмотрим деформацию
балки при простом изгибе. Ось балки
(Рис.6.1,а) под действием нагрузки,
расположенной в одной из главных
плоскостей инерции (в плоскости
),
искривляется в той же плоскости, а
поперечные сечения поворачиваются и
одновременно получают поступательные
перемещения. Искривленная ось балки
называетсяизогнутой
осью или упругой
линией. На рис.
6.1 упругая линия изображена тонкой
кривой.
Точка
,
лежащая на оси в сечении, отстоящем не
расстоянии
от начала координат, переместится в
точку
.
Обозначим перемещение произвольной
точки оси бруса в направлении оси
через
,
а перемещение вдоль оси бруса – через
.
Если в точке
провести касательную к оси изогнутой
балки, то по отношению к первоначальному
положению оси она будет повернута на
угол
.
Одновременно на тот же угол повернется
сечение в точке
.
Таким образом, три величины
,
и
являются компонентами перемещения
произвольного поперечного сечения
балки. Перемещение
центра тяжести сечения по направлению,
перпендикулярному к оси балки, называетсяпрогибом.
Наибольший прогиб называется стрелой
прогиба и
обозначается буквой
.
Угол
,
на который каждое сечение поворачивается
по отношению к своему первоначальному
положению, называется углом поворота
сечения. Как уже отмечалось, угол поворота
также может быть определен как угол
между касательной к упругой линии и
осью
.
Рис.6.1
Проверка жесткости
балок сводится к требованию, в соответствии
с которым наибольший прогиб
не должен превышать определенной доли
пролета:
.
Число
устанавливается нормами проектирования
примерно в пределах от 300 до 1000. Для
ответственных сооружений, например,
для железнодорожных мостов, величина
принимается равной 1000.
Отсюда видно, что
прогибы при изгибе, как правило, малы
по сравнению с пролетом балки. Это
позволяет внести некоторые упрощения.
Во-первых, при малых прогибах
угол наклона касательной к оси изогнутой
балки можно определять с помощью
выражения:
.
(6.1)
Во-вторых, горизонтальными
перемещениями
можно пренебречь, так как они существенно
меньше
(
).
В связи с этим при расчетах будем
пользоваться условной схемой перемещений,
изображенной на рис 6.1,б. Согласно этой
схеме каждая точка перемещается
перпендикулярно продольной оси бруса.
Для определения полной картины деформаций
необходимо получить уравнение упругой
линии
.
Исходя из физической природы изогнутой
оси бруса, можем утверждать, что упругая
линия должна быть непрерывной и гладкой
кривой, следовательно, на протяжении
всей оси бруса должны быть непрерывны
функция и ее первая производная. Прогибы
и углы поворота и являются перемещениями
сечений балок при изгибе. Деформация
того или иного участка балки определяется
его кривизной.
При выводе формулы для нормальных
напряжений при изгибе нами была получена
связь между кривизной и изгибающим
моментом:
.
(6.2)
Из курса высшей математики известно
следующее уравнение кривизны плоской
кривой:
.
(6.3)
Подставляя значение
кривизны в равенство (6.2) и заменяя
координату
прогибом
,
получим точное дифференциальное
уравнение упругой линии балки:
.
(6.4)
Интегрирование этого
нелинейного дифференциального уравнения
связано с большими трудностями. Учитывая,
что на практике приходится иметь дело
с малыми прогибами и что тангенсы углов
наклона
касательной к оси будут малы, квадратом
первой производной
по
сравнению с единицей можно пренебречь.
Тогда получим приближенное (основное)
дифференциальное уравнение
(6.5)
Два
знака в уравнении (6.5) поставлены потому,
что знак кривизны
может не совпадать со знаком изгибающего
момента. Знак кривизны зависит от
направления осей координат. Знак
изгибающего момента был выбран в
зависимости от того, где расположены
растянутые волокна. Так, например, для
случая, когда ось
направлена вверх, положительному моменту
(Рис.6.2,а) соответствует положительная
кривизна, а отрицательному – отрицательная
кривизна.
Рис
6.2
Таким
образом, в случае, когда ось
направлена вверх, знаки кривизны и
изгибающего момента совпадают. Поэтому
в дифференциальном уравнении берется
знак“+”.
Если ось
направлена вниз, то знаки у кривизны и
изгибающего момента будут различны
(Рис.6.2,б). Поэтому в этом случае в правой
части уравнения (6.5) берется знак“”.
6.2. Метод непосредственного
интегрирования приближенного (основного)
дифференциального уравнения упругой
линии
Решая
задачу аналитическим методом, углы
поворота
и прогибы
вычисляют последовательным интегрированием
приближенного дифференциального
уравнения (6.5). Проинтегрировав уравнение
(6.5) первый раз, получим выражение для
угла поворота
:
,
(6.6)
где
постоянная интегрирования.
Интегрируя
второй раз, получим выражение для прогиба
:
,
(6.7)
где
и
постоянные интегрирования.
Для
вычисления интегралов, входящих в (6.6)
и (6.7), необходимо сначала написать
аналитические выражения для изгибающего
момента и жесткости. Постоянные
интегрирования находятся
из граничных условий,
которые зависят от условий перемещения
границ участков балки.
Рассмотрим несколько
примеров применения метода непосредственного
интегрирования приближенного уравнения
упругой линии балки.
Пример
6.1. Определить
стрелу прогиба и угол поворота сечения
В балки, изображенной на рис.6.3.
Рис.6.3
Решение:
1. Из условий
равновесия определяем опорные реакции:
;
.
2.
Выбираем начало координат
на левом конце балки, совмещая его с
точкой А. Ось
направляем вверх, ось
вправо.
3.
Составляем уравнение изгибающего
момента в сечении
:
.
4. Предполагая, что
жесткость балки постоянна, записываем
приближенное дифференциальное уравнение
упругой линии балки:
.
Знак
“+”
в уравнении упругой лиинии был принят
потому, что ось
направлена вверх.
5. Интегрируем
уравнение первый раз. Получаем:
.
(а)
Интегрируя
еще раз, получаем уравнение для прогиба
в сечении
:
.
(б)
Так как в заделке прогиб и угол поворота
равны нулю, то для определения постоянных
интегрирования граничные условия имеют
вид:
при
;
при
.
Из
уравнения (а) видно, что постоянная
представляет собой угол поворота в
начале координат (сечении А). Задавая в
уравнении (а)
,
находим
.
Из уравнения (б) следует, что постоянная
прогиб в начале координат. Задавая в
уравнении (б)
,
получаем
.
Таким образом,
получаем следующие выражения для прогиба
и угла поворота:
,
.
Подставляя
в первое уравнение
,
найдем стрелу прогиба:
.
Подставляя
во второе уравнение
,
найдем максимальный угол поворота
.
Знак
“”
у прогиба свидетельствует о том, что
его направление не совпадает с
положительным направлением оси
.
Знак“”
в выражении угла поворота показывает,
что сечение В повернулось не против, а
по часовой стрелке.
Пример
6.2. Определить
стрелу прогиба двухопорной балки и углы
поворота опорных сечений А и В (рис.6.4).
Рис.6.4
Решение:
1. Из условий
равновесия определяем опорные реакции:
.
2.
Выбираем начало координат
на левом конце балки, совмещая его с
точкой А. Ось
направляем вверх, ось
вправо.
3.
Составляем уравнение изгибающего
момента в сечении
:
.
4. Предполагая, что
жесткость балки постоянна, записываем
приближенное дифференциальное уравнение
упругой линии балки:
.
Знак
“+”
в уравнении упругой лиинии был принят
потому, что ось
направлена вверх.
5. Интегрируем
уравнение первый раз. Получим:
.
(в)
Интегрируя
еще раз, получаем уравнение для прогиба
в сечении
:
.
(г)
Постоянные
интегрирования найдем из граничных
условий:
при
;
при
.
Подставляя
в уравнение (г)
и приравнивая прогиб нулю, получим
;
подставляя в это же уравнение
,
находим постоянную интегрирования
:
.
Найденные значения
постоянных интегрирования подставим
в уравнения (в) и (г) и получим уравнения
углов поворота и прогибов:
;
.
Подставляя
и
в первое уравнение, получим углы поворота
соответственно сечений А и В:
;
.
В
силу симметрии нагрузки максимальный
прогиб
будет посредине балки. Подставляя во
второе уравнение
,
получим:
.
Как
и в предыдущем примере, знак “”
у прогиба свидетельствует о том, что
его направление не совпадает с
положительным направлением оси
.
Знак“”
в выражении угла поворота
показывает, что сечение А повернулось
не против, а по часовой стрелке, знак“+”
в выражении угла поворота
показывает, что сечение В повернулось
против часовой стрелки.
Пример
6.3. В сколько
раз прогиб в сечении В на конце изображенной
на рис.6.5 балки, больше, чем прогиб в
сечении С
посредине
балки?
Рис.6.5
Решение:
Воспользуемся
результатами, полученными в примере
6.1. Запишем окончательное выражение для
прогиба:
и подставим в это
уравнение координаты точек С и В. Получим:
при
;
при
.
Сравнивая полученные
величины прогибов, приходим к выводу,
что прогиб в сечении В больше, чем прогиб
в сечении С в 3,2 раза:
.
Пример
6.4. В сколько
раз угол
поворота сечения
А
на конце изображенной на рис.6.6 балки
больше, чем угол поворота сечения В на
расстоянии четверти пролета от левого
конца балки?
Решение:
1.
Находим реакции: 
;
.
2.
Выбираем начало координат
на правом конце балки, совмещая его с
точкой А. Ось
направляем вверх, ось
влево.
Рис.6.6
3.
Записываем выражение для изгибающего
момента в сечении
:
.
4. Составляем приближенное дифференциальное
уравнение упругой линии балки:
.
Знак
“+”
в уравнении упругой лиинии был принят
потому, что ось
направлена вверх.
5. Принимаем жесткость балки постоянной.
Интегрируем дифференциальное уравнение.
Получаем:
.(д)
Постоянную интегрирования
в уравнении (д) найдем из условия, что
при
угол поворота в сечении А равен нулю.
Подставим в уравнение (д)
и приравняем нулю угол поворота сечения
А. Получим
.
Тогда окончательно уравнение для угла
поворота принимает вид:
.(е)
6.
Подставляем в уравнение (е) координату
,
получим угол поворота в сечении С:
.
7.
Подставляем в уравнение (е) координату
.
Получим угол поворота в сечении В:
.
8. Сравнивая углы
поворота в сечениях В и С, получим:
.
Таким образом,
угол поворота в сечении В в 1,016 раза
больше, чем угол поворота в сечении С.
Пример
6.5.
Найти
стрелу прогиба (в мм) балки, изображенной
на рис.6.7, если жесткость поперечного
сечения балки равна
кНм2.
Рис.6.7
Решение:
Воспользуемся
решение задачи, ход которого изложен в
примере 6.4 и проинтегрируем выражение
(д). Получим уравнение для прогиба в
сечении
:
.
(ж)
Постоянные
интегрирования в уравнении (ж) получим,
воспользовавшись граничными усорвиями
закрепления балки, в соответствии с
которыми прогиб и угол поворота в жесткой
заделке равны нулю:
при
и
.
Подставляя
в уравнения (д) и (ж) и приравнивая
последовательно нулю угол поворота и
прогиб нулю, получим:
;
.
Тогда выражение для прогиба принимает
вид:
.
Подставляя
в это уравнение заданные значения
жесткости сечения, интенсивности
распределенной нагрузки, длину балки,
а также координату сечения В, в котором
определяется стрела прогиба (
),
находим:
м
мм.
Знак
“”
у прогиба свидетельствует о том, что
его направление не совпадает с
положительным направлением оси
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
