Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.
1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр описанной окружности.
AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.
2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:
Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —
И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —
3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —
Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:
Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —
4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.
5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
– сторона треугольника
– высота
– радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Окружность, описанная около правильного треугольника
Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.
1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр описанной окружности.
AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.
2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:
Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —
И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —
3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —
Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:
Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —
4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.
5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
[spoiler title=”источники:”]
[/spoiler]
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
– сторона треугольника
– высота
– радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 09 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
-
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Правильный сферический треугольник
- 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
- 4 См. также
- 5 Примечания
Свойства[править | править код]
Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.
Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Периметр правильного треугольника:
- Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
- Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
- Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
- Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
- В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
Правильный сферический треугольник[править | править код]
Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]
- Задача Наполеона
- Прямая Симсона одно из свойств
- Теорема Вивиани
- Теорема Морли
- Теорема Наполеона
- Теорема Помпею
- Теоремы Тебо 2 и 3
- Точки Аполлония
- Точки Торричелли
См. также[править | править код]
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Теорема Чевы
- Треугольник
- Треугольник Рёло
Примечания[править | править код]
Символ Шлефли |
|
---|---|
Многоугольники |
|
Звёздчатые многоугольники |
|
Паркеты на плоскости |
|
Правильные многогранники и сферические паркеты |
|
Многогранники Кеплера — Пуансо |
|
Соты |
{4,3,4} |
Четырёхмерные многогранники |
|