Как найти силу двутавра

В этой статье рассмотрим, как подобрать двутавровое поперечное сечение при плоском изгибе.

Поперечное сечение при плоском изгибе, всегда подбирается по нормальным напряжениям, так как касательные напряжения при данном виде деформации, как правило, в несколько раз меньше, за исключением тех случаев, когда поперечные силы имеют большие значения. 

Условие прочности для двутавра

Условие прочности при поперечном изгибе выглядит таким образом:

В неравенстве слева записано максимальное расчётное напряжение, а справа напряжение допустимое.

Максимальное расчётное напряжение можно найти двумя способами:

Как отношение максимального изгибающего момента к моменту сопротивления:

Либо по такой формуле, с использованием момента инерции:

где М_max — максимальный изгибающий момент, y — расстояние от нейтральной линии до крайней точки сечения, J — момент инерции сечения.

Момент инерции и момент сопротивления связаны следующим образом:

Какую формулу удобнее использовать?

• Если в условии задачи вас просят найти максимальное напряжение, то используйте формулу с моментом сопротивления. То есть, по этой формуле вы сразу вычислите максимальные напряжения в крайних точках сечения.
• Если вам потребуется найти напряжение в любой другой точке сечения, например, в месте перехода полки в стенку, то используйте вторую формулу.

Подбор двутавра на практике

Ну что же, самое время перейти к практике. Например, посчитали вы балку, построили эпюры и нужно теперь подобрать двутавр удовлетворяющий условию прочности. Для этого вам необходимо:

Проанализировать эпюру изгибающих моментов и определить положение наиболее опасного сечения. Опасным можно считать то сечение, в котором изгибающий момент максимален. Скажем, у вас он будет равен 30 кНм.

Далее необходимо определить минимально допустимый момент сопротивления из условия прочности. Допустимое напряжение примем равным 160 МПа:

Нашли момент сопротивления. Далее по сортаменту двутавров (ГОСТ 8239-89) выбираем номер профиля, у которого момент сопротивления будет ближайшим большим к нашему расчётному. Это двутавр № 20а у которого момент сопротивления равен 203 см³.

Делаем проверочный расчет. Вычисляем напряжение с табличным значением момента сопротивления:

Так как получили напряжение меньшее, чем допустимое, можно сделать вывод, что подобранный двутавр удовлетворяет условию прочности. 

28 августа 2019

5650

Двутавровая балка, как одна из разновидностей фасонного черного и цветного металлопроката, отличается широким сортаментом изделий. Поэтому в ходе проектирования и дальнейшего возведения конструкций с использованием двутавра надо сделать верный выбор. Он должен основываться на правильных расчетах. О том, как выполнить расчет нагрузки на двутавр читайте в нашей статье.

Сразу отметим что для расчетов понадобятся формулы, таблицы и знания. А если их нет, то лучше доверить все опытному и квалифицированному инженеру. Особенно если речь идет о двутавровой балке, которая применяется в нагружаемых конструкциях.

От этого напрямую зависит как качество строительства, так и безопасность эксплуатации возводимых объектов. Все параметры должны соответствовать действующим нормативным документам, обеспечивать рабочие расчетные характеристики металлоконструкции. Это обусловлено, прежде всего, сферой применения двутавровой балки, например, в качестве элемента перекрытий.

Расчет нагрузки на двутавр – основные параметры выбора

Эксплуатационные характеристики двутавра напрямую зависят от его профиля сечения и габаритов. Это во многом связано с особенностями самого металлопроката. Напомним, что двутавровая балка — это вид металлоизделий, состоящая из двух полок, соединенных стенкой. Стенку зачастую называют шейкой. Оттого так важны такие значения как:

• общая высота профиля (включая длину шейки и толщину двух полок);
• высота стенки двутавра;
• общая ширина каждой из полок;
• ширина одной части полки от шейки к краю (свесу);
• общая длина двутавра;
• толщина шейки (стенки);
• толщина полки с гранями, расположенными параллельно;
• средняя толщина проката с уклоном внутренних граней;
• радиус закругления перехода от полки к шейке (радиус сопряжения, внутреннего закругления);
• радиус закругления полки (ее кромки).

Помимо этого, следует учитывать и характеристики самого объекта. Все напрямую зависит от специфики применения двутавра. Но в основном это такой параметр как расчетная нагрузка. В ненагружаемых конструкциях используется двутавровая балка гораздо реже. Нужно еще учитывать шаг. Шаг – определенное расстояние, через него производится монтаж двутавровых балок параллельно друг к другу. И еще большое значение имеет расстояние между точками опоры, на которые укладывается двутавровая балка. Этот параметр называется пролетом.

Регламентированные значения по осям

Все расчеты выполняются на основании справочных значений нескольких важных параметров. Обозначим кратко основные. Начнем с момента инерции. Интересует его значение относительно пары центральных осей. Табличное значение, определяется таблицей сортамента, указанной в ГОСТах. Например, на территории России действует ГОСТ Р 57837-2017 для двутавра с параллельными гранями поломок. В других государствах СНГ есть ГОСТ 8239-89 для проката с уклоном внутренних граней. Существует и ряд других нормативных документов.

Порой необходимо учитывать и центробежный момент. В таблицах он отсутствует. Оттого что по умолчанию центробежный момент равняется 0 по обеим из осей. Используются параметры, определяющие инерцию, ее:

• радиус относительно одной из центральных осей;
• статический момент полусечения относительно оси;
• осевой момент.

Большое влияние на расчеты имеет такой параметр как расчетное сопротивление, обозначается Ry. Это тоже табличный параметр, он зависит напрямую от марки стали, которая используется при производстве двутавра. Например, углеродистая марка стали С235 имеет расчетное сопротивление 230 МПа. У других марок стали этот параметр будет отличаться.

Следующий важный параметр – модуль упругости. Тут все зависит от характеристик материала, из которого изготовлена двутавровая балка. Забыли отметить, но и расчетное сопротивление тоже зависит от этой характеристики. В классическом понимании – фасонный черный металлопрокат. А это значит, что модуль упругости E берется для стали. Он в таком случае равен 200000 МПа. Но может быть, например, по ГОСТ 13621-90 цветной металлопрокат. Плюс еще различные породы древесины. Там момент инерции будет другой. Такие особенности надо учитывать, когда выполняется расчет нагрузки на двутавровую балку.

В зависимости от конструкционных особенностей объекта порой возникает необходимость использования и других расчетных параметров. Берутся, как правило, табличные значения.

Расчет нагрузки на двутавр и несущая способность

Разработаны специальные таблицы. В них номер двутавра выбирается исходя из трех основных параметров:

• предполагаемой нагрузки, кг/м.п. (килограмм на метр погонный);
• величины пролета, о нем отмечали выше, м (метров);
• шага, с которым уложен двутавр, м (метров).

Под номером подразумевается высота профиля в сантиметрах (от 10 до 100 по действующей нормативной базе).

Предполагаемая нагрузка рассчитывается исходя из несущей способности изделий. Важно учитывать при этом технологию производства двутавра. Напомним, что он бывает горячекатаным, сварным, клепаным (если используется металл). Горячекатаный получается путем прокатки заготовки, сварной путем приваривания полок к стенке. В клепаной балке для соединения элементов применяются заклепки. Так вот если это сварной двутавр. В таком случае при расчете текущей несущей способности необходимо прибавлять порядка 30% дополнительно на прочность.

Саму расчетную нагрузку определяют следующим образом. Высчитывают такой параметр как давление на конструкцию. Учитывается при этом вес конструкции в пересчете на один погонный метр двутавровой балки. Затем полученное значение умножается на коэффициент надежности (напрямую зависит от разновидности двутавра и используемого ГОСТа). После этого на основании полученного значения из таблицы подбирают момент сопротивления. А уже по моменту сопротивления определяется номер профиля исходя из текущего сортамента. Рекомендуем перестраховаться и выбрать на два номера выше.

Важный момент. Несущая способность двутавровой балки устанавливается только и исключительно исходя из расчетной нагрузки. Использовать только одну нормативную нагрузку нельзя. Она выполнена без учета специфики возводимых металлоконструкций, их конструкционных особенностей и эксплуатационных параметров.

И последнее. Несущая способность учитывается при выполнении расчета в двутавре нагрузок на изгиб.

Прочность и прогиб двутавровой балки

Прочность двутавра определяется с учетом нормативных напряжений. В ходе этого выполняется построение так называемых эпюр внутренних усилий, кроме этого напряжений, а еще и перемещений. Они основываются на такие параметры как воздействие сил в продольной и поперечной плоскости, моментов (имеются в виду изгибающие и крутящие).

Как уже отмечали выше, большое значение имеют характеристики материала. Если речь о черном стальном прокате, то основополагающий критерий – марка стали. Если это древесина, то ее порода. Именно характеристики материала учитываются при расчете прочности. Лучше выбирать материалы с повышенной прочностью. Это в полной мере касается и марок стали. Учитывайте, что чем прочнее материал, тем меньше габариты двутавра. Такое положение вещей обозначает что снижается нагрузка на конструкцию в целом. Значение допустимого давления становится меньше. И последнее. Опытный и квалифицированный инженер всегда использует несколько способов определения прочности материала. Ведь надо прилагаемую силу обязательно разложить по осям. После установить максимальные моменты вокруг каждой из осей. На заключительном этапе полученные расчетным путем значения сравниваются.

Прогиб двутавра рассчитывается исходя из таких параметров как:

• нагрузка в кг/м (килограммах на метр), берется и расчетная, и нормативная нагрузка;
• пролет (расстояние между опорными точками в м (метрах);
• расчетное сопротивление (измеряется в МПа (мегапаскалях)).

Важный момент. Предельное значение прогиба определяется исходя из конструкционного предназначения двутавровой балки. Так, если двутавр применяется в межэтажных перекрытиях, то прогиб менее 1/250. А если это кровельные конструкции и перемычки, то 1/200. У других конструкционных элементов значения будут соответственно другие. Уменьшить величину прогиба можно только путем изменения исходных параметров. То есть использовать облегченные конструкции и уменьшить нагрузку. Второй вариант – уменьшить расстояние между двумя опорными точками, например, использовав дополнительную (промежуточную).

Можно ли обойтись без расчета прогиба?

Варианты ответа зависят от характеристик объекта и его функционального предназначения. Например, если это небольшая по высоте одноуровневая конструкция, особенно хозяйственного предназначения, то есть варианты. Первый – рассчитывать прогиб двутавра, второй – высчитывать несущую способность возводимых конструкций. Но многое зависит от отделочных материалов, используемых при финишной отделке, и их массы. Поэтому расчет прогиба лучше выполнять даже при индивидуальном строительстве частных домовладений, хозяйственных построек.

Важно понимать факт того что прогиб формируется и в углах поворота. Многое находится в зависимости от конструкции, ее:

• функционального предназначения;
• основных габаритов;
• характеристик используемых материалов, той же марки стали, как частный случай;
• физических параметров.

Формул расчета прогиба множество. На них подробно останавливаться в рамках нашей статьи смысла нет. Лишь отметим что многое зависит от разновидности нагрузки. Речь о направлении ее действия. Все дело в том, что на двутавр могут воздействовать разнонаправленные нагрузки. Как правило, это прогиб, направленный вниз, но бывают и другие. Причем иногда это совокупность разнонаправленных нагрузок. Тогда прогиб определяется по каждой из них отдельно.

Методики расчета прогиба могут быть использованы различные, например, с применением метода начальных параметров.

Расчет нагрузки на двутавр – ключевой параметр выбора этого вида изделий. Любая ошибка в расчетах или их игнорирование может привести к трагическим последствиям. Оттого к вопросу надо подходить ответственно, а выбор делать с запасом. Когда все расчеты будут сделаны и перепроверены – обращайтесь. У нас представлен широкий сортамент двутавровой балки. Поможем подобрать именно тот двутавр что нужен.

Двутавр довольно редко применяется в частном строительстве в силу своей формы. Поэтому используется он лишь тогда, когда невозможно применение других профилей, например, уголка или швеллера. Связано это с тем, что двутавр может воспринимать гораздо большую нагрузку, чем перечисленные профили.

Содержание:

1. Калькулятор

2. Инструкция к калькулятору

Если Вам нужна именно мощная балка и двутавр рассматривается в качестве одного из основных вариантов, то в подборе профиля данный калькулятор будет не лишним. С его помощью Вы можете рассчитать двутавр не только на изгиб (по несущей способности), но и на прогиб (по деформациям).

Калькулятор устроен таким образом, чтобы Вы одновременно могли рассчитывать сразу несколько видов двутавров. Это позволит Вам за одно действие выбрать наиболее подходящий профиль между следующими двутаврами: колонным (ГОСТ 26020-83), с уклоном полок (ГОСТ 8239-89), дополнительной серии (ГОСТ 26020-83), нормальным (26020-83), широкополочным (ГОСТ 26020-83) и специальной серии (19425-74*).

Расчет двутавра на прогиб и изгиб можно производить для следующих типов балок:

• Тип 1 – однопролетная балка с приложенной на нее равномерно распределенной нагрузкой, которая шарнирно оперта.

• Тип 2 – консоль с жесткой заделкой на одном из концов, на которую приложена равномерно распределенная нагрузка.

• Тип 3 – однопролетная балка с консолью с одной стороны, на которую также приложена равномерно распределенная нагрузка.

• Тип 4 – однопролетная шарнирно опертая балка с приложенной на нее сосредоточенной силой.

• Тип 5 – то же самое, что и тип 4 только с двумя сосредоточенными силами.

• Тип 6 – консоль с жесткой заделкой, на которую приложена сосредоточенная сила.

Примечание: в случае, если Вам необходимо еще рассчитать вес двутавра и затраты на его покупку, на данном сайте есть калькулятор и для этого.

Помощь в расчете

Калькулятор

Калькуляторы по теме:

• Сбор нагрузок на балки перекрытия онлайн
• Расчет прямоугольной трубы
• Расчет квадратной трубы
• Расчет швеллера
• Расчет уголка
• Расчет деревянной балки
• Расчет двутавра на устойчивость.

Видео по теме

Инструкция к калькулятору

Обращаю ваше внимание, что в нецелых числах необходимо ставить точку, а не запятую, то есть, например, 5.7 м, а не 5,7. Также двутавр необходимо проверять на устойчивость (на заваливание от момента). Это можно сделать с помощью калькулятора, ссылка на который расположена выше (в списке “Калькуляторы по теме”). Если что-то не понятно, задавайте свои вопросы через форму комментариев, расположенную в самом низу. 

Исходные данные

Расчетная схема:

Длина пролета (L) – минимальное расстояние между двумя крайними опорами или длина консоли.

Расстояния (A и B) – расстояния от опор до мест приложения нагрузок. Для 3 схемы А равна длине консоли балки, опирающейся на 2 опоры.

Нормативная и расчетная нагрузки – нагрузки, на которые рассчитывается квадратная труба. Рассчитать их можно с помощью следующих материалов:

• калькулятор по сбору нагрузок на балку перекрытия;
• пример сбора нагрузок на балку перекрытия.

F_max  – максимально возможный прогиб согласно таблицы E.1 СНиПа “Нагрузки и воздействия”. Некоторые из них выписаны в таблицу 1.

Количество двутавров – этот показатель введен на случай, если балку перекрытия придется усилить еще такой же, положив ее рядом. То есть, если у вас одна балка, то указывается “один”, если две рядом, то необходимо выбрать “две”.

Расчетное сопротивление R_y – для каждой марки стали он свой. Наиболее распространенные значения приведены в таблице 2.

Размер двутавра – здесь следует выбрать профиль двутавра по тому или иному ГОСТу.

Результат

W_треб – требуемый момент сопротивления профиля.

F_max – максимальный прогиб в сантиметрах, в зависимости от указанных в исходных данных ограничениях.

Вес балки – масса одного погонного метра того или иного двутавра.

Расчет по прочности:

W_балки – момент сопротивления выбранной трубы по ГОСТ 30245-2003. Если W_балки > W_треб, значит прочность балки обеспечена.

Запас – если в данной графе значение с минусом (-), то балка по прочности не проходит, а если с плюсом (+), то здесь показано, на какой процент балка имеет запас прочности.

Расчет по прогибу:

F_балки – прогиб, возникающий у рассчитываемой балки под действием нормативной нагрузки. Здесь стоит отметить, что если он превышает допустимый F_max,то это не значит, что двутавр сломается. Просто прогнутая балка может выглядеть некрасиво. Главное, чтобы выполнялось условие по прочности. 

Запас – то же самое, что и по отношению к моменту сопротивления.

Пример решения задачи полного расчета на прочность и жесткость стальной двутавровой балки при заданной системе внешних изгибающих нагрузок.

Задача

Выполнить полный расчёт на прочность и проверить жёсткость стальной, двутавровой, статически определимой балки на двух опорах

при следующих данных:
Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q=26кН/м, продольный размер a=0,6м, сосредоточенная сила F=2qa, изгибающий момент m=4qa².
Допускаемые нормальные напряжения [σ]=160МПа,
Модуль упругости I рода Е=200ГПа.
Допустимый прогиб балки [f]=l/400.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Последовательность решения задачи
Для расчета балки на прочность

1. Вычерчивается схема нагружения в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок;
2. Строятся эпюры внутренних силовых факторов Q_y и M_x;
3. По условию прочности подбирается двутавровое сечение (№ двутавра) стальной балки:
4. Для балки двутаврового профиля выполняется полная проверка на прочность, приняв
   
5. Проверяется прочность по главным напряжениям в опасных точках сечения по III гипотезе прочности
   
6. По результатам расчетов дается заключение о прочности балки при выбранном сечении.
7. В случае невыполнения условия прочности по главным напряжениям, подбирается новый номер двутавра.

Для расчета балки на жесткость

1. С использованием универсальных уравнений метода начальных параметров (МНП) определяются углы поворота θ над опорами и прогибы в характерных сечениях (2-3 сечения), а также, максимальные прогибы балки в пролете и консольной части;
2. По этим данным, в соответствии с эпюрой M_x, строится линия изогнутой оси балки;
3. Проверяется выполнение условия жесткости балки.
4. Если условие жесткости не удовлетворяется, подбирается новое двутавровое сечение, обеспечивающее необходимую жесткость.

Решение

Рассчитаем численные значения силы F и момента m, которые были заданы в виде переменных.

Вычерчиваем расчетную схему нагружения балки в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок.

Показываем оси системы координат y-z и обозначаем характерные сечения балки.

Полный расчет стальной балки на прочность

Определение реакций в шарнирных опорах балки

Направим реакции опор вверх и запишем суммы моментов относительно точек на опорах, нагрузок приложенных к балке

Из составленных уравнений выражаем и находим реакции.
Из первого уравнения

из второго

Положительные значения указывают на то, что произвольно заданное направление реакций вверх оказалось верным.

Выполним проверку найденных реакций опор спроецировав все силы на ось y

Равенство суммы проекций сил нулю говорит о том что реакции опор определены правильно.

Более подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем коротком видеоуроке:

Другие видео

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Рассчитаем значения внутренних поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки на каждом силовом участке методом сечений.

Балка имеет 4 силовых участка.

1 участок (AB)

2 участок (BC)

3 участок (CD)

4 участок (DK)

Здесь, значения Q_y на границах участка имеют одинаковый знак, поэтому на этом участке, на эпюре M_x экстремума не будет.

Подробный пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_x.

Проверка построенных эпюр:
— по дифференциальным зависимостям

— в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q_y имеются скачки значений на величину соответствующей силы;
— в сечениях балки, где приложены изгибающие моменты, на эпюре M_x скачки значений на величину соответствующего момента.
Все условия выполнены, следовательно, эпюры построены верно.

По эпюрам видно, что опасным является сечение балки в точке C, где:
M_x=M_{x max}=-24,336кНм
Q_y=-4,68кН

Подбор двутаврового сечения балки

Подберем двутаврового сечение балки по условию прочности по нормальным напряжениям

где
M_{x max} – максимальное значение внутреннего изгибающего момента в сечениях балки. Принимается с построенной эпюры M_x;
W_x – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки относительно горизонтальной оси x;
[σ] – допустимые нормальные напряжения.

Подробнее о том, как подбирается сечение балки

Выразим и рассчитаем минимально необходимое значение осевого момента сопротивления поперечного сечения балки W_x обеспечивающего её прочность по нормальным напряжениям

По сортаменту прокатной стали выбираем номер двутавра имеющий осевой момент сопротивления близкий к расчетному W_x=152,1см³ в большую сторону.

Это двутавр №18а у которого W_x=159,0см³.

Максимальные нормальные напряжения в сечении

Этот двутавр будет работать при максимальных нормальных напряжениях в крайних слоях опасного сечения балки.

Максимальные нормальные напряжения выбранного номера двутавра не превышают допустимых значений, значит сечение подобрано верно.

Полная проверка на прочность двутаврового сечения

При изгибе тонкостенных прокатных профилей, таких как, например, двутавр или швеллер, в местах соединения стенки с полкой нормальные и касательные напряжения имеют не максимальные, но достаточно большие значения.

Их совместное действие, выраженное в виде главных (эквивалентных) напряжений, может превышать допустимые значения, что будет означать потерю прочности в этих точках поперечного сечения балки.

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение балки B, в котором максимально значение поперечной силы при значительном изгибающем моменте:

Q_y=-31,2кН
M_x=-18,72кНм

Для полной проверки на прочность построим эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении B для выбранного номера двутавра.

Построение эпюр нормальных и касательных напряжений в сечении балки подробно рассмотрено здесь:

Построение эпюры нормальных напряжений

Построение эпюры касательных напряжений

Для выполнения расчетов, из сортамента выпишем необходимые геометрические характеристики выбранного номера двутавра:
Высота сечения
h=180мм;
Ширина сечения
b=100мм;
Толщина стенки
d=5,1мм;
Толщина полки
t=8,3мм;
Осевой момент инерции поперечного сечения
I_x=1430см⁴;
Статический момент сечения
S_x=89,8см³.

Двутавровое сечение по высоте имеет 5 характерных точек: верхнюю (1), нижнюю (5), среднюю (3) и две точки в местах перехода стенки в полку двутавра (2 и 4).

Для построения эпюр, определим значения напряжений в указанных точках сечения.

Нормальные напряжения в сечении балки распределяются по линейному закону, поэтому для построения эпюры достаточно найти максимальные значения

Касательные напряжения в характерных точках сечения рассчитываются по формуле Журавского

где
Q_y — поперечная сила в данном сечении. Принимается с эпюры с учетом знака;
I_x – осевой момент инерции поперечного сечения;
b_y – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;
S_x* — статический момент части сечения, расположенной между уровнем рассматриваемой точки и верхним (нижним) краем сечения.

Рассчитаем значения касательных напряжений

В точках 1 и 5

Так как выше точки 1 и ниже точки 5 площадь сечения равна нулю, то статический момент S_x* для этих точек тоже равен нулю, следовательно

В точке 3

В точке 3 будут максимальные касательные напряжения, т.к. для неё статический момент сечения S_x максимальный при минимальной ширине сечения d

Видно, что прочность сечения по касательным напряжениям обеспечена.

В точках 2 и 4

В точках, где стенка двутавра переходит в полку, будут скачки напряжений, так как на уровне этих точек резко меняется ширина сечения

Рассчитаем значения напряжений в этих точках для стенки (с) и полки (п)

Статический момент полки двутавра

Касательные напряжения в точках 2 и 4 полки

Касательные напряжения в точках 2 и 4 стенки

По этим данным строим эпюры нормальных и касательных напряжений для выбранного номера двутавра.

Рассчитаем величину главных напряжений в точках соединения полки со стенкой двутавра (т. 2 и 4)

Нормальные напряжения в рассматриваемых точках

Эквивалентные напряжения в опасных точках сечения

Как видно, величина эквивалентных напряжений не превышает допустимых значений, следовательно, выбранный номер двутавра удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Полный расчет балки на жесткость

Для того чтобы балка удовлетворяла условию жесткости, линейные перемещения (прогибы) балки y_z не должны превышать заданных допустимых значений [f], т.е. должно выполняться условие жесткости

Расчет перемещений сечений балки

Расчет перемещений сечений балки выполним методом начальных параметров (МНП).

Шаблоны уравнений метода начальных параметров имеют вид:

Здесь:
θ_z — угловое перемещение (угол наклона) рассматриваемого сечения;
y_z — вертикальное линейное перемещение (прогиб) рассматриваемого сечения балки;
z – расстояние от выбранного начала координат балки до рассматриваемого сечения (координата);
θ₀, y₀ — соответственно угловое и линейное перемещения балки в выбранном начале координат (начальные параметры);
E – модуль упругости I рода для материала балки;
I_x – осевой момент инерции сечения балки;
m, F, q – соответственно моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, приложенные к балке (включая опорные реакции и компенсирующую распределенную нагрузку);
a, b – расстояние от начала координат до соответствующих моментов m и сил F;
c – расстояние от начала координат до сечения балки, где начинается действие распределенной нагрузки q.

Подробный пример расчета перемещений сечений балки методом начальных параметров.

Составляем уравнения МНП для заданной балки

Начало координат принимаем в крайнем правом сечении балки, так как оно расположено на опоре.

Распределенная нагрузка не доходит до конца балки, поэтому продляем её действие и на этой же длине добавляем компенсирующую нагрузку той же интенсивности но противоположного направления.

Запишем нагрузки в уравнения МНП последовательно по участкам с учетом знаков

Для определения начальных параметров θ₀ и y₀ запишем граничные условия.

На опорах прогибы балки равны нулю, т.е.

Из второго граничного условия, используя уравнение прогибов для точки B определим угол поворота сечения в начале координат θ₀

Откуда, при z=3м

Для построения линии изогнутой оси балки определим углы наклона сечений балки на опорах θ_B, θ_K и прогибы в характерных сечениях y_A, y_C, y_D.

Углы поворота сечений на опорах

Далее, для краткости, сократим дробь перед скобками

Линейные перемещения (прогибы) характерных сечений балки
Прогиб сечения A (y_z при z=3,6м)

Прогиб сечения C (y_z при z=1,8м)

Прогиб сечения D (y_z при z=0,6м)

Расчет максимальных прогибов балки

Экстремумы прогибов балки будут в точках, где угол наклона сечения балки равен нулю.

Для их определения, приравниваем к нулю уравнения углов наклона сечений по каждому участку балки, откуда определяем координаты z экстремумов прогибов на участке (если они есть).
1 участок (KD).

Уравнение решений не имеет (т.е. экстремумов на участке нет), это значит, что максимальный прогиб на этом участке будет на его левой границе (в сечении D), так как правая точка участка расположена на опоре.

2 участок (DC).

То есть, экстремум прогибов на втором участке будет на расстоянии z₂=0,782м от начала координат.

3 участок (CB).

Экстремум прогибов на третьем участке в сечении, на расстоянии z₃=2,269м от начала координат.

4 участок (BA).

Данное уравнение решений также не имеет, следовательно, максимальный прогиб на конце консоли, так как на правой границе участка – опора.

Значения максимальных прогибов балки на втором и третьем участках определяем из соответствующих уравнений прогибов для найденных значений z.

По полученным данным строим линию изогнутой оси балки в соответствии с эпюрой изгибающих моментов M_x и с указанием углов поворота сечений на опорах.

Проверка балки на жесткость

Проверяем балку на жесткость, сравнивая по модулю максимальные значения прогибов y_max в пролёте и на консольной части с допустимыми [f].

Балка считается жесткой, если прогибы её сечений не превышают допустимых значений, т.е.

Рассчитаем абсолютные значения допустимых прогибов заданной балки:
В пролете

На консольной части

Для проверки на жесткость сравниваем величину рассчитанных ранее максимальных прогибов сечений балки с соответствующими допустимыми значениями.

В пролете

На консоли

Как видно, максимальный прогиб на конце консольной части балки превышает соответствующее допустимое значение, следовательно, балка не удовлетворяет заданному условию жесткости.

Жесткость балки можно увеличить до требуемого значения путем увеличения момента инерции её сечения, т.е. подбором сечения большего размера.

Подберем двутавр другого номера, который будет обеспечивать необходимую жесткость балки.

Определяем, во сколько раз надо уменьшить величину максимального перемещения сечения.

Тогда, расчетный момент инерции нового сечения балки

По сортаменту выбираем двутавр №20 с осевым моментом инерции сечения I_x=1840см⁴.

Выполняем проверку:

Для начала требуется пересчитать угол наклона сечения балки в начале координат.

Рассчитываем прогиб сечения A с новым размером сечения

Условие жесткости выполняется.

Таким образом, двутавр №20 обеспечивает необходимую прочность и жёсткость заданной балки.
Полный расчет заданной балки на прочность и жёсткость выполнен.

Другие примеры решения задач >