Как найти синус трети угла

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

	Синус трети угла 14.10.2006, 19:59
14/10/06 2	Помогите! Нужна формула зависимости синуса трети угла от синуса целого угла (наподобие синуса половинного угла). В справочниках найти не удалось. Спасибо!

Brukvalub	14.10.2006, 22:14
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Дело в том, что известная формула показывает, что для получения желаемой Вами формулы требуется решить кубическое уравнение, что не так просто, как решение соответствующего квадратного уравнения для вычисления синуса половинного угла. Поэтому в справочнике и нет нужной Вам формулы.

незваный гость	15.10.2006, 06:48
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Есть и еще один момент, а именно, что корни уравнения выдаются в комплексной форме. Эта форма неприводима к вещественному виду, и посему пользы от нее маловато.

SergeiMS	18.10.2006, 21:25
18/10/06 11 Воронеж	Эта задача просто эквивалентна решению произвольного кубического уравнения.

ГЕС	21.10.2006, 17:02
14/10/06 2	господа, то, что надо решать кубическое ур-ие (по формуле Кардано) я знаю, но беда в том, что решить его не могу, поэтому и решил обратиться в форум за помощью.

worm2	21.10.2006, 17:22
Заслуженный участник 01/08/06 2954 Уфа	Правильно! Оно и не выражается в общем случае через радикалы от вещественных чисел, если у уравнения 3 вещественных корня. Это — так называемый неприводимый случай (casus irreducibilis), который и имел в виду незваный гость . Как раз в этом случае решение приходится выражать через тригонометрические (и обратные к ним) функции.

EsenZhar	21.10.2006, 20:41
07/10/06 5 г.Усть-Каменогорск	Можно решить кубическое уравнение относительно sin трети угла с помощью формул Кардано. Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд: Формулы решения куб. уравнений есть в справочниках.

RIP	21.10.2006, 21:26
Заслуженный участник 11/01/06 3794	EsenZhar , Вы бы прочитали, что писали до Вас. З.Ы.Сорри за оффтопик.

Sasha2	24.10.2006, 14:08
21/06/06 1721	Вообще при помощи этой формулы можно получить какие-нибудь содержательные результаты? Например, можно ли как нибудь получить значение tan(10o)?

Macavity	24.10.2006, 14:58
Заслуженный участник 05/09/05 515 Украина, Киев	Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет?

ИСН	24.10.2006, 15:30
Заслуженный участник 18/05/06 13417 с Территории	Формула есть, вот она передо мной, но сюда писать я её не хочу, очень уж много букв. Получить выражение для тангенса десяти градусов – можно, но будет оно таким громоздким, что это примерно то же самое, что и… не получать. Это – с одной стороны, и невозможность трисекции угла – с другой, связаны через посредство того факта, что кубические уравнения не лечатся циркулем и линейкой.

Руст	24.10.2006, 15:49
Заслуженный участник 09/02/06 4380 Москва	Macavity писал(а): Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет? Не из-за отсутствия формулы эта задача с помощью циркуля и линейки неразрешима. Несложно доказать, что с помощью циркуля и линейки можно получить только числа, выражаемые квадратичными расширениями поля Q. Для решения общего уравнения третьей степени (хотя оно и разрешимо в радикалах, т.е. Группа Галуа разрешимая группа), приходится пользоваться кубическими корнями, чего нельзя добиться циркулем и линейкой. В частности, в задаче построения правильного n угольника, разрешимость имеет место тогда и только тогда, когда максимальный нечётный делитель n представляется в виде произведения различных простых чисел Ферма. Пока известно только 5 простых числа Ферма 3,5,17,257,65537 (и есть соображения, что других нет), соответственно циркулем и линейкой можно построить только 32 правильных многоугольника с нечётным числом сторон.

ИСН	24.10.2006, 16:05
Заслуженный участник 18/05/06 13417 с Территории	2Руст : в эти 32 Вы включили моноугольник?

Руст	24.10.2006, 16:23
Заслуженный участник 09/02/06 4380 Москва	Да, спасибо, за поправку, включил одноугольник. Кстати у меня тоже юбилей. Пойду отмечать.

Trueman	31.10.2006, 15:53
06/11/05 87	почему бы не получить, например, так формулу Первое равенство же легко получить из следующих соображений возведя в куб и приравнивая мнимые части и получим первое равенство Добавлено спустя 2 часа 34 минуты 53 секунды: а извиняюсь, я условие чётко не уяснил, думал просто связь установить

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В – по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

3
Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой – длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.

Синус угла в обычном треугольнике

Синус (sin) – это одна из прямых тригонометрических функций. Подробнее о ней можно узнать из нашей статьи Что такое синус.

Синус угла в прямоугольном треугольнике

Прежде чем выяснять, как найти синус угла, необходимо определиться с условными обозначениями. Пусть в прямоугольном треугольнике:

• α – острый угол, синус которого нужно найти;
• с – гипотенуза;
• b – прилежащий катет;
• a – противолежащий катет.

Тогда чтобы найти синус острого угла прямоугольного треугольника, достаточно посчитать соотношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin(α) = a/c. При этом стоит запомнить, что sin 90° всегда равен 1.

Синус угла в произвольном треугольнике

Находить синус угла в произвольном треугольнике проще всего с использованием теоремы косинусов (cos): квадрат длины любой стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон за минусом их удвоенного произведения на косинус угла между ними.

a² = b² + c² – 2*b*c*cos(α)

Из данной формулы можно найти косинус: cos(α) = (b² + c² – a²)/(2*b*c)

А поскольку для одного и того же угла sin(α)² + cos(α)² = 1 и это константа, то можно вывести формулу для определения синуса:

Более детально нахождение синуса угла с использованием косинуса рассмотрено в нашей статье Как найти синус, если известен косинус.

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии “на пальцах”.

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
• Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла