Как найти скорость нейтрона

В
ядерном реакторе функционируют свободные
нейтроны широкого диапазона кинетических
энергий – от 10^-3
эВ до десятков МэВ. Для удобс­тва их
различий они классифицируются на:

–
быстрые нейтроны
(с кинетическими энергиями выше 0.1 МэВ);

–
промежуточные нейтроны (с
энергиями 0.625эВ <
E <
0.1МэВ);

–
медленные нейтроны (с
энергиями ниже 0.625 эВ).

Необходимость
такой классификации обусловлена тем,
что нейтроны различных кинетических
энергий обладают
различной
склонностью к вступ­лению в различные
нейтронные реакции с ядрами одних
веществ.

*)
По этой причине, говоря о плотности
нейтронов, следует всегда указывать, о
нейтронах какой энергии идет речь.
Математическая форма записи – n(E) –
полностью отвечает этому: указывается
и величина плотности нейтронов, и
величина их кинетической энер­гии.
Ибо, поскольку в рассматриваемом
единичном объёме, кроме нейтронов с
энергией Е, обязательно есть ещё нейтроны
самых различных энергий очень широкого
диапазона, суммарная (интег­ральная)
плотность нейтронов всех возможных
энергий будет:

_¥

n
= ò
n(E) ^.
dE
(2.3.2)

⁰

Особую
часть медленных нейтронов составляют
тепловые
нейтроны
– то есть нейтроны, находящиеся в
кинетическом равновесии с ядрами среды,
в которой они движутся. Поскольку
энергетическое распределение молекул
(а следовательно, и атомов, и ядер атомов)
в их тепловом движении имеет вид спектра
Л.Больцмана:

N(E)
= N_о
^.C
^.E
exp(-E / kT),

• аналогичное
  распределение должны иметь
  в непоглощающей среде
  и тепловые нейтроны: раз они находятся
  в кинетическом равновесии с ядра­ми
  атомов среды, то каждой группе ядер,
  имеющих определенную энергию Е, должна
  соответствовать пропорциональная по
  численности группа нейтро­нов той
  же энергии. Поэтому энергетический
  спектр тепловых нейтронов – спектр
  Максвелла (Maxwell) –
  в непоглощающих средах формально
  описы­вается тем же выражением:

n(E)
= n_o
C
E exp(-E / kT) (2.3.3)

где:
n(E) – плотность тепловых нейтронов,
имеющих энергии в элементар­ном
интервале dE вблизи значения Е;

n_o
–
интегральная плотность тепловых
нейтронов всех возможных энергий в
среде с термодинамической температурой
Т;

k
= 8.62 ^.10^-5
эВ/К – постоянная Больцмана;

С
– постоянный сомножитель нормировки.

В
реальной (поглощающей нейтроны) среде
максвелловское распреде­ление тепловых
нейтронов по энергиям, конечно, нарушается.
Однако, ком­пактное математическое
удобство этого выражения настолько
велико, что условились считать, что и в
поглощающей тепловые нейтроны среде
энер­гетическое распределение тепловых
нейтронов сохраняет
ту же (гауссову) форму, что и в непоглощающей
среде:

n(E)
= n_o
C
E exp(-E / kT_н),
(2.3.4)

с
той лишь разницей, что в показателе
экспоненциала стоит не термодинамическая
температура среды Т, а так называемая
темпера­тура нейтронов
Т_н.

Максвелловский
спектр тепловых нейтронов (рис.2.9)
характеризует­ся следующими присущими
ему энергиями тепловых нейтронов:

Рис.
2.9. Энергетический спектр тепловых
нейтронов Максвелла.

а)
Наиболее
вероятной энергией
Е_нв
=
kT_н,
соответствующей макси­муму распределения
тепловых нейтронов по энергиям при
данной темпе­ратуре нейтронов Т_н.
Это означает, что тепловых нейтронов с
кинетичес­кой энергией Е_нв
в среде
больше, чем тепловых нейтронов любых
других энергий
(до 36% от общего числа всех тепловых
нейтронов).

б)
Средней
энергией тепловых нейтронов:

_¥

Е_ср
= (1/n_o)
ò
E n(E) dE (2.3.5)

⁰

Подстановка
в (2.3.5) выражения (2.3.4) приводит к величине:

E_ср
= 4kT_н
/
p
»
1.273 kT_н
= 1.273 Е_нв
(2.3.6)

В
частности при температуре нейтронов
Т_н
= 293К (или 20^оС),
называемой стандартной
температурой,
наиболее вероятная и средняя энергии
тепло­вых нейтронов соответственно
равны:

E_нв
= 0.0253 эВ Е_ср
= 0.0322 эВ

Заметим
одно
счастливое
свойство максвелловского спектра:

Отношение
средней и наиболее вероятной энергий
нейтронов
в
спектре Максвелла при постоянной
температуре нейтронов
есть
величина постоянная, равная Е_ср/Е_нв
= 4/p
»
1.273.

Cледовательно,
отношение
скоростей нейтронов,
соответствующих средней и наиболее
вероятной энергиям тепловых нейтронов:

_{____
__}

v_ср/v_нв
= Ö4/p
= 2/Öp
»
1.128, (2.3.7)

–
то есть
также
является постоянной величиной.
Запомним это. Понятие средней энергии
тепловых нейтронов понадобилось нам
для того, чтобы поведение и взаимодействия
всей совокупности
различных по энергиям тепловых нейтронов
заменить
эквивалентным их взаимодействием с
ядрами среды так, словно
все они одинаковы по энергиям,
а значит – и по
своим свойствам.
Суммирование кинетической энергии всех
тепловых нейтронов и раздел этой суммы
поровну между всеми тепловыми нейтронами
– см. формулу (2.3.5) – как раз и приводит к
понятию “среднего теплово­го
нейтрона”, подобно понятию “среднего
нейтрона деления”, с которым мы уже
имели дело, говоря о спектре Уатта.

Итак,
спектр нейтронов, то есть их энергетическое
распределение в среде, является второй
характеристикой нейтронного поля.

К
сожалению, теория реакторов до сих пор
не располагает компакт­ным аналитическим
выражением для спектра всех
нейтронов в реакторе, и поэтому задачу
по выяснению реакторного спектра
приходится решать путём громоздких
вычислений с помощью ЭВМ. Частные же
задачи теории решаются на базе
трёх энергетических спектров:
спектр нейтронов деления (Уатта); спектр
тепловых нейтронов (Максвелла) и спектр
замедляющихся нейтронов (Ферми), с
которым мы познакомимся позже.

2.3.3.
Плотность потока нейтронов.
Третья из основных характерис­тик
нейтронных полей –
плотность потока нейтронов
(Ф) – является поп­росту
произведением первых двух:
плотности нейтронов на их скорость:

Ф
= n ^.
v
(2.3.8)

По
физическому смыслу эта величина –
суммарный секундный путь всех нейтронов
в 1 см³
среды.
Однако размерность плотности потока
– нейтр/см²
с
–
может привести к путанице в попытках
обна­ружить физический смысл этой
величины в самой размерности: сразу
воображается некая плоская площадка
размером в 1 см²,
через которую ежесекундно проходит
определённое число нейтронов. Такому
представлению способствует прошлый
опыт изучения сходным образом звучащих
величин иной физической природы:
плотности потока жидкости (из
гидродинамики), плот­ности магнитного
потока и плотности потока электронов
в проводнике (из электродинамики),
плотности теплового потока на теплоотдающей
поверх­ности (из теплотехники) и
другими. Аналогия плотности потока
нейтронов с перечисленными величинами
(увы!) несостоятельна, так как все эти
ве­личины характеризуют направленный
перенос энергии, а нейтроны в единич­ном
объёме среды движутся не направленно,
а
хаотично
по всем возможным направлениям.

На
первый взгляд эта характеристика вообще
кажется
лишней,
т.к. она – простая комбинация двух других
характеристик нейтронных полей –
пло­тности (n) и скорости (v) нейтронов.
Однако, самое простое рассуждение о
том, что секундное количество актов
любой нейтронной реакции в 1 см³
среды должно быть
прямо
пропорционально
величинам и плотности нейтронов (n), и
скорости их переноса (v), а, следовательно,
– величине
плотности потока нейтронов
(Ф), даёт этой характеристике право на
существование. Действительно, чем больше
плотность нейтронов
n
и чем больше скорость их перемещения
v,
тем больше шансов имеют все эти нейтроны
в 1см³
сре­ды
провзаимодействовать
с ядрами среды в течение 1 с и вызвать
те или иные нейтронные реакции.

В
этих рассуждениях, как видим, не содержится
ни малейшего намёка на привязку к
какому-либо конкретному направлению
движения нейтронов в единичном объёме
среды. Но зададим себе вопрос: а важно
ли вообще нап­равление, по которому
нейтрон перед взаимодействием приближается
к яд­ру, если разговор в конечном счёте
сводится к ответу на другой вопрос:
произойдет
ядерное взаимодействие или не произойдет?
–
Ведь нас в кон­це концов интересует
секундное количество конкретных
взаимодействий каждого вида в единичном
объёме среды. И если нам не известно о
какой-­либо
анизотропии
свойств ядер по отношению к взаимодействующим
с ними с разных направлений нейтронам,
то проще предположить, что
ядру
безразлично,
ударит ли его нейтрон “в лоб” или
“по затылку”, – результат дол­жен
быть
одинаковым!
А это значит, что для удовлетворения
нашего инте­реса, касающегося
только
скоростей нейтронных реакций, нам
достаточно
скалярной
характеристики нейтронного поля (каковой
Ф и является).

Но
отметим всё-таки, что представляя ядро
в виде сферы, даже пред­полагая
изотропность действия ядерных сил в
пределах этой сферы, гово­ря о
вероятности взаимодействия нейтрона
с ядром, невозможно
обойтись в рассуждениях без величины
поверхности
этой сферы: ведь для нейтрон­ной
реакции
необходимо,
чтобы приближающийся извне нейтрон
пересёк
по­верхность этой сферы. И чем больше
величина этой поверхности, тем боль­ше
ограничивающий её объём, тем больше
нейтронов имеют возможность по­пасть
в этот объём, инициируя ту или иную
нейтронную реакцию.

Поэтому
вероятность взаимодействия ядра с
нейтронами, пересекающи­ми извне
поверхность сферы действия ядерных сил
ядра, должна быть про­порциональна
плотности потока нейтронов вблизи ядра,
подразумевая под последней
отношение
числа падающих за 1 с на поверхность
сферы нейтро­нов к величине поверхности
этой сферы. Та же размерность – нейтр/см²с;
та же
скалярность
величины (ведь поверхность сферы в целом
не направле­на никуда и в то же время
направлена куда угодно).

А
теперь сравним это определение со
строгим определением плотнос­ти
потока нейтронов, которое дает Стандарт:

Плотность
потока нейтронов – это отношение числа
нейтронов,
ежесекундно
падающих на поверхность элементарной
сферы, к
величине

диаметрального
сечения этой сферы.

Та
же размерность
–
нейтр./см²с.
Та же скалярность: диаметраль­ных
сечений в любой сфере можно указать
бесчисленное множество, и каж­дое из
них имеет
своё
направление нормали. И если допустить,
что эле­ментарная сфера имеет размер
сферы действия ядерных сил ядра, то её
поверхность S_сф
= 4pR²,
а величина любого диаметрального сечения
этой сферы S_D
= pR²
– величина в 4 раза меньшая, чем поверхность
сферы. То есть в определении, появившемся
из приведенных выше рассуждений,
фигу­рировала бы вчетверо меньшая
величина, чем в стандартном определении.

Что
касается
элементарности
сферы, отмеченной в стандартном
опре­делении, необходимость её
обусловлена той же причиной, что и в
опреде­лении плотности нейтронов:
желанием сделать плотность потока
нейтронов Ф
непрерывной
величиной
с целью использования при исследовании
нейт­ронных полей компактного аппарата
непрерывных функций.

И
последнее. Говоря о плотности потока
нейтронов Ф, нельзя гово­рить о ней
вообще;
следует обязательно оговаривать и
указывать, о ней­тронах какой
кинетической энергии идет речь. В
противном случае возни­кает уже не
просто неопределённость, о которой
упоминалось в п.2.3.2, а бессмыслица, суть
которой ясна из простого примера. Если
просто ска­зать, что Ф = 60 нейтр/см²с,
то это все равно, что
ничего не сказать,
так как такая величина плотности потока
может обеспечиваться:

–
одним нейтроном со скоростью v = 60 см/с;

–
двумя нейтронами со скоростями v = 30
см/с;

–
тремя нейтронами со скоростями v = 20
см/с;

–
четырьмя нейтронами со скоростями v =
15 см/с;

–
пятью нейтронами со скоростями v = 12
см/с;

–
шестью нейтронами со скоростями v = 10
см/с;

–
десятью нейтронами со скоростями v = 6
см/с и т.д.

А
результаты взаимодействия этих комбинаций
нейтронов с ядрами среды во всех этих
случаях будут
различными.

Вот
почему, указывая значение Ф, важно для
определённости всегда указывать энергию
нейтронов: Ф(Е).

2.3.4.
Плотность тока нейтронов.
В отличие от первых трёх харак­теристик
нейтронного поля, в определениях которых
игнорируется понятие направления
перемещения нейтронов, плотность тока
нейтронов – величина векторная.
Она даёт представление о
генеральном направлении
пере­мещения больших количеств
хаотично движущихся нейтронов и об
ин­тенсивности
перемещения нейтронов в этом направлении.

Нейтроны
в среде, подобно молекулам воды в горной
реке, перемеща­ются во всех мыслимых
направлениях. Но как в реке существует
генераль­ное направление перемещения
воды (по руслу), так подобное направление
существует и для перемещения нейтронов.
В задачах теории реакторов об утечке
нейтронов из активной зоны, об эффективности
работы отражателя и многих других как
раз требуется знание направления и
интенсивности диффузии нейтронов.

Существо
плотности тока нейтронов нетрудно
понять, отталкиваясь от более простого
частного случая
её проекции на координатную ось.

В
точке с координатами (x,y,z), где нам
желательно знать величину и направление
вектора плотности тока нейтронов
I(x,y,z),
мысленно вы­делим единичную плоскую
площадку, перпендикулярную к оси OX, и
подсчи­таем количества нейтронов,
ежесекундно пересекающих эту площадку
под всеми возможными углами слева
направо (в положительном направлении
оси OX) и справа налево (в отрицательном
направлении OX). Пусть в резуль­тате
подсчетов оказалось, что первая величина
равна I_+x
нейтр/см²с,
а вторая – I_-x
нейтр/см²с.
Тогда их разница

I_x
= I_+x
– I_-x,

являясь
по смыслу нашего рассуждения
скалярной
величиной, уже своим
знаком
должна показать направление
преимущественного перемещения нейтронов:
если I_x
> 0, то это означает, что больше нейтронов
вдоль OX перемещается в
положительном
направлении, а если I_x
< 0, то больше нейтронов перемещается
в
отрицательном
направлении. Сама же эта раз­ностная
величина I_x
определяет интенсивность переноса
нейтронов вдоль оси OX в преимущественном
направлении.

Аналогичные
рассуждения можно проделать и относительно
перемеще­ний той же совокупности
хаотично движущихся нейтронов вдоль
других ко­ординатных осей OY и OZ и
получить величины двух других проекций
век­тора
I
– I_y
и I_z.
Зная величины проекций вектора на
координатные оси, можно записать
выражение и для самого вектора:

I(x,y,z)
= I_xi
+ I_yj
+ I_zk,
(2.3.9)

Enter the total kinetic energy of the neutron (eV) into the calculator to determine the Neutron velocity.

• All Velocity Calculators
• Electron Velocity Calculator
• Proton Velocity Calculator
• Ion Velocity Calculator

Neutron Velocity Formula

The following equation is used to calculate the Neutron Velocity.

Vn = 1.383 * 10 ^6 * SQRT( E) /100

• Where Vn is the neutron velocity (m/s)
• E is the neutron energy (eV)

What is a Neutron Velocity?

Definition:

A neutron velocity is the measure of speed of a neutron based on it’s mass and kinetic energy.

How to Calculate Neutron Velocity?

Example Problem:

The following example outlines the steps and information needed to calculate Neutron Velocity.

First, determine the neutron energy. In this example, the neutron energy is found to be 500 eV.

Finally, calculate the Neutron Velocity using the formula above:

Vn = 1.383 * 10 ^6 * SQRT( 500) /100

Vn = 1.383 * 10 ^6 * SQRT( 500) /100

Vn = 309,248.201 m/s