Как найти точки пересечения цилиндра

Взаимное пересечение поверхностей тел с примерами и образцами выполнения

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей. Поверхности могут взаимно пересекаться. При этом линии одной поверхности пересекаются с другой поверхностью и образуют точки, которые в совокупности представляют линию пересечения.

Пересечение прямой линии с поверхностями тел

Конструкции деталей можно рассматривать как сочетание различных геометрических тел. Необхо­димо уметь строить линии пересечения поверхнос­тей этих тел. Пример, где требуется подобное по­строение, показан на рис. 195, на котором изо­бражен бункер, ограниченный цилиндрической поверхностью А, пересекающейся с конической поверхностью Б и поверхностью пирамиды В.

В зависимости от вида поверхностей тел линии пересечения могут быть лекальными кривыми или ломаными.

Для решения задач на построение линий пере­сечения поверхностей необходимо предварительно усвоить построение точек пересечения прямой с поверхностями различных геометрических тел.

Если прямая пересекается с поверхностью тела, получаются две точки, одновременно принадлежа­щие как поверхности тела, так и прямой линии. Такие точки называются точками входа и выхода (рис. 196. а; точки N и М). Для нахождения этих точек выполняются построения в следующем по­рядке.

Через данную прямую проводят вспомогатель­ную плоскость (обычно проецирующую). Напри­мер, на рис. 196, а, где изображено пересечение прямой АВ с поверхностью пирамиды, через пря­мую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Р. Затем находят линии пересечения вспомогательной плоскости с повер­хностью данного геометрического тела (линии КС и ЕD). На пересечении полученных линий с за­данной прямом находят искомые точки (точки N и М).

На комплексном чертеже точки входа и выхода определяют следующим образом (рис. 196. б). Горизонтальные проекции kс и ed прямых КС и ED совпадают с горизонтальным следом плоскости Р_H. Фронтальные проекции точек k‘, с’, е’ и d‘ определяют, пользуясь вертикальными линиями связи, проведенными из точек k, с, е и d до пере­сечения с фронтальными проекциями основания пирамиды. Соединяют точки k‘ с с’ и е’ с d‘ прямыми. На пересечении фронтальных проекций найденных прямых с проекцией а’Ь’ данной пря­мой получают фронтальные проекции n‘ и т’ искомых точек входа и выхода. Проведя через них вертикальные линии связи, находят горизонталь­ные проекции п и т этих точек.

В некоторых частных случаях можно обой­тись без применения вспомогательной плоскос­ти. Например, точки входа и выхода прямой АВ с поверхностью прямого кругового цилин­дра (рис. 197, а) определяют следующим образом.

Горизонтальная проекция цилиндрической по­верхности представляет собой окружность, поэто­му горизонтальные проекции всех точек, располо­женных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек, будут расположены на этой окружности (рис. 197, а).

Фронтальные проекции n‘ и m‘ искомых точек определяют, проводя через точки n и m верти­кальные линии связи до встречи с данной фрон­тальной проекцией а’Ь’ прямой АВ.

На рис. 197, б, в показано построение точек входа и выхода прямой АВ и поверхности прямого кругового конуса. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р, проходящую через вершину конуса. Плоскость Р пересечет конус по образующим SH₃ SH_4.

На комплексном чертеже изображение плос­кости Р строят следующим образом. На прямой АВ берут произвольную точку К и соединяют ее с вершиной S конуса прямой линией. Две пересе­кающиеся прямые АВ и SK определяют плоскость Р.

Чтобы найти точки входа и выхода, необходимо построить горизонтальные проекции образующих SH₃ и SH₄. Для этого продолжим s’k’ и а’b‘ до пересечения с осью х в точках h‘₂ и h‘₁. Опустим линию связи из точки k‘ до пересечения с ab, полученную точку k соединим с s. Продлим гори­зонтальную проекцию прямой SK до пересечения с линией связи, опушенной из точки h‘₂, получим точку h₂. Из точки h‘₁ проведем линию связи до пересечения с продолжением прямой ab, получим точку h₁. Через следы h₁ и h₂ пройдет горизон­тальный след плоскости Р. Точки h₁ и h₂ соеди­ним прямой и получим горизонтальный след Р_Н плоскости Р.

Основание конуса является горизонтальным следом конической поверхности. Поэтому, опреде­лив точки пересечения этого следа со следом Р_Н плоскости Р, можно найти и те две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью Р. На комплексном чертеже горизонтальная проекция основания ко­нуса (окружность) пересекается со следом Р_Н в точках h₃ и h₄. Эти точки соединяют с вершиной s и получают следы sh₃ и sh₄ образующих SH₃ и SH₄.

На пересечении найденных образующих с дан­ной прямой АВ находят искомые точки М и N — точки входа и выхода прямой АВ с конической поверхностью.

Горизонтальные проекции точек т и n находят на пересечении горизонтальных проекций обра­зующих sh₃ и sh₄ с горизонтальной проекцией прямой ab. Через точки m и n проводят вертикальные линии связи до пересечения а’b‘ и нахо­дят фронтальные проекции т‘ и n‘ точек входа и выхода.

Точки входа и выхода прямой АВ с повер­хностью сферы (рис. 198) находят, проведя через прямую АВ вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р.

Вспомогательная плоскость Р пересекает сферу по окружности, которая проецируется на плос­кость Н в виде эллипса, что затрудняет построе­ние. Поэтому в данном случае необходимо приме­нить способ перемены плоскостей проекций. Но­вую плоскость проекций выбирают так, чтобы вспомогательная плоскость Р была бы ей парал­лельна, т.с. следует провести новую ось проекций x₁ так. чтобы она была параллельна фронтальной проекции а’b‘ прямой АВ (для упрощения по­строении на рис. 198 ось x₁ проведена через про­екцию а’b‘).

Затем необходимо построить новую горизон­тальную проекцию a₁b₁ прямой АВ и новую го­ризонтальную проекцию окружности диаметра D, по которой плоскость Р пересекает сферу. На пересечении новых горизонтальных проекций двух искомых точек m_> и n_> Обратным построе­нием определяем фронтальные т’ и n‘ и горизон­тальные т и п проекции точек входа и выхода.

Линии пересечения и перехода

Многие детали машин представляют собой кон­струкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей на­зывается линией пересечения.

На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией (рис. 199, а). В местах перехода поверхностей литых и штампованных деталей нет четкой линии пересечения. Воображаемая линия пересечения называется линией перехода и условно изобража­ется на чертежах сплошной тонкой линией. Эта линия начинается и заканчивается в точках пере­сечения продолжения контура взаимно пересека­ющихся поверхностей (рис. 199. б).

Встречаются детали, имеющие всевозможные линии пересечения и перехода поверхностей. Особенно много линий перехода у поверхностей дета­лей, изготовленных литьем.

На рис. 200, а на приборе для испытания твер­дости видны линии переходов различных повер­хностей.

Кожух и крышка смесительного аппарата (рис. 200. б) имеют разнообразные линии перехо­да. Здесь можно видеть линии взаимного пересе­чения цилиндрических и других поверхностей.

Построение линий пересечения и перехода поверхностей при выполнении чертежей трубопрово­дов, вентиляционных устройств, резервуаров, кожухов машин, станков требует точности.

Общие правила построения линий пересечения поверхностей

Метод построения линий пересечения повер­хностей тел заключается в проведении вспомога­тельных секущих плоскостей и нахождении от­дельных точек линий пересечения данных повер­хностей в этих плоскостях.

Построение линии пересечения поверхностей тел начинают с нахождения очевидных точек. Например, на рис. 201, где изображены линии пересечения призмы с конусом, такими точками являются точки А и В. Затем определяют харак­терные точки, расположенные, например, на очерковых образующих поверхностей вращения или крайних ребрах, отделяющих видимую часть линий перехода от невидимой. На рис. 201 это точки С и D. Они располагаются на крайних ребрах верхней горизонтальной грани призмы.

Все остальные точки линии пересечения назы­ваются промежуточными (например, точки Е и F). Обычно их определяют с помощью вспомога­тельных параллельных секущих плоскостей (рис. 201, а).

В качестве вспомогательных плоскостей выби­рают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям — пря­мым или окружностям, причем окружности до­лжны располагаться в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.

В данном примере плоскость Р рассекает конус по окружности (рис. 201, в), с помощью которой находят горизонтальные проекции точек е и f.

Во всех случаях. перед тем как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходи­мо представить себе эту линию в пространстве (рис. 201, б).

Пересечение поверхностей цилиндра и призмы

На рис. 202 показано построение проекции линий пересечения поверхности треугольной при­змы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые грани призмы перпендикулярны плоскос­ти V (рис. 202, а), поэтому фронтальная проекция линий пересечения поверхностей этих тел совпа­дает с фронтальной проекцией основания призмы. Горизонтальные проекции линий пересечения поверхностей совпадают с горизонтальной проек­цией цилиндра и являются окружностью. Про­фильные проекции точек А и Е находим по гори­зонтальным и фронтальным проекциям с по­мощью линий связи. Для построения проекций промежуточных точек В, С, D используем вспомо­гательные секущие плоскости Р_V, Р_V1 и Р_V2, c помощью которых находим фронтальные проек­ции b‘, с’. d‘ точек B, С. D.

В данном примере можно обойтись без вспомо­гательных секущих плоскостей, намечая произво­льно на фронтальной проекции точки b‘, с’, d‘.

Опуская линии связи на горизонтальную проек­цию, находим горизонтальные проекции с, Ь, d точек С, В, D. На профильной проекции с помощью линий связи находим проекции Ь”, с”, d“.

На рис. 202, б показано построение изометри­ческой проекции. После построения изометричес­кой проекции цилиндра, используя размеры т и п (рис. 202, а), строят изометрическую проекцию основания призмы, на котором находят точки 1, 2. 3. 4. 5. От этих точек откладывают расстояния 1“е”. 2“d“ и т.п., взятые с профильной проекции комплексного чертежа, и находят точки А, В. С, D. Е

На изометрической проекции линия пересече­ния поверхностей цилиндра и призмы получается соединением точек А, В. С, D, Е, которые строят­ся но координатам, взятым с комплексного чертежа.

Пересечение цилиндрических поверхностей

При выполнении машиностроительных черте­жей наиболее часто встречается случай пересече­ния двух цилиндрических поверхностей, оси кото­рых расположены под углом 90 0 .

Разберем пример построения линии пересече­ния поверхностей двух прямых круговых цилин­дров. оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рис. 203, а).

В начале построения, как известно, находим проекции очевидных точек 1, 7 и 4.

Построение проекций промежуточных точек показано на рис. 203, б. Если в данном примере применить общий способ построения линий пере­сечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилин­дрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересече­ния (например, точки 2, 3, 5 на рис. 203, а). Од­нако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям.

Горизонтальная проекция искомой линии пере­сечения поверхностей совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью — профильной проекци­ей малого цилиндра. Таким образом, фронталь­ную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек извес­тны. Например, по горизонтальной проекции точ­ки 3 (рис. 203, б) находят профильную проекцию 3″. Но двум проекциям 3 и 3″ определяют фрон­тальную проекцию 3′ точки 3. принадлежащей линии пересечения цилиндров.

Построение изометрической проекции пересека­ющихся цилиндров начинают с построения изометрической проекции вертикального цилин­дра. Далее через точку а₁ параллельно оси х про­водят ось горизонтального цилиндра. Положение точки О₁ определяется величиной h₁, взятой с комплексного чертежа (рис. 203, б). Отрезок, равный h, откладываем от точки О вверх по оси z (рис. 203, в). Откладывая от точки О₁ по оси горизонтального цилиндра отрезок l, получим точку О₂ — центр основания горизонтального цилиндра.

Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам с помощью трех координат. Однако в данном примере искомые точки можно построить иначе.

Так, например, точки 3 и 2 строят следующим образом. От центра О₂ (рис. 203, в) вверх, парал­лельно оси z, откладывают отрезки т и п, взятые с комплексного чертежа. Через концы этих отрез­ков прямые, параллельные оси у, до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точках 3₁ и 2₁. Затем из точек 1. 3 проводят прямые, параллельные оси х, и на них откладывают отрез­ки, равные расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятые с фронтальной или горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую, выделяя се видимые и невидимые части.

Пример взаимного пересечения цилиндрических поверхностей с осями, перпендикулярными друг к другу, приведен на рис. 204, а. Одна цилиндрическая поверхность корпуса имеет вертикальную ось, а другая (половина цилиндра) — горизонталь­ную.

Если диаметры пересекающихся цилиндричес­ких поверхностей одинаковы. то профильная про­екция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые (рис. 204, б).

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Пересечение поверхностей многогранников

При пересечении двух многогранников линия пересечения поверхностей представляет собой ломаную линию.

Если ребра двух призм взаимно перпендикуляр­ны (рис. 205, а), то линия пересечения призм строится следующим образом.

Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают соответственно с горизон­тальной проекцией пятиугольника (основания одной призмы) и с профильной проекцией четырехугольника (основания другой призмы). Фрон­тальную проекцию ломаной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную 1 и про­фильную 1″ проекции точки 1 пересечения ребра пятиугольной призмы с гранью четырех­угольной (рис. 205, а) и пользуясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко найти фронтальную проекцию 1′ точки 1, принадлежащей линии пересечения призм.

Изометрическая проекция двух пересекающих­ся призм (рис. 205, б) может быть построена по координатам соответствующих точек.

Например, изометрическую проекцию двух точек 5 и 5₁, симметрично расположенных на левой грани пятиугольной призмы, строят так. Принимая для удобства построений за начало координат точку О, лежащую на верхнем основа­нии пятиугольной призмы, откладываем влево от О по оси х отрезок ОЕ, величину которого берут с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной проекции. Далее из точки Е вниз параллельно оси z откладываем отрезок EF, рав­ный а, и, наконец, от точки F влево и вправо параллельно оси у откладываем отрезки F5 и F5_1, равные с/2.

Далее от точки F параллельно оси х откладыва­ем отрезок n, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси у, и откладываем на ней отрезок, равный с. Вниз параллельно оси z откладываем отрезок, равный Ь, и параллельно у — отрезок, равный k. В результате получаем изометрию основания че­тырехугольной призмы.

Точки 1 и 4 на ребрах пятиугольной призмы можно построить, используя только одну коорди­нату z.

Примеры, где требуются подобные построения, показаны на рис. 206, на которых видны линии пересечения поверхностей призм.

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1‘ и 3′ очевидны. Про­фильные проекции 1“ и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1‘ и 3′ очевидны. Про­фильные проекции 1“ и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

На рис. 207, б и в показана последовательность построения диметрической проекции. Сначала строят пирамиду. Для построения призмы от точ­ки О откладывают отрезок ОО₁, взятый с фрон­тальной проекции комплексного чертежа (О’ О’₁ ). и получают точку О₁ (рис. 207, б). Через точку О₁ проводят параллельно оси х ось симметрии призмы и по ней от точки откладывают вправо и влево половины высоты призмы. Через точки О₂ и О₃ проводят прямые, параллельные осям у и z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину диагоналей четырехугольника основания призмы. Соединив концы диагоналей прямыми, получают диметрическую проекцию основания призмы.

Диметрические проекции точек пересечения 2. 4, б. 8 ребер призмы и пирамиды получаются без дополнительных построений (рис. 207, в).

Диметрические проекции точек пересечения 1, 3, 5. 7 ребер пирамиды с гранями призмы находят по координатам известным способом.

В этом примере диметрические проекции точек 1, 3, 5 и 7 можно построить иначе. От середины левого основания призмы — точки О₂ — отклады­ваем вверх и вниз по оси z соответственно отрезки т и n, взятые с комплексного чертежа. Через концы отрезков т и n проводят прямые, парал­лельные оси у, до пересечения с контуром основания призмы в точках А, В, С и D. Через эти точ­ки проводят прямые, параллельные оси х, до пе­ресечения с ребрами пирамиды. В результате по­лучают искомые точки 1, 3, 5 и 7.

На рис. 208 показан корпус оптического компа­ратора, который имеет элементы пересечения поверхностей пирамид и призм. На рисунке видна линия пересечения поверхностей этих тел.

Пересечение поверхностей цилиндра и конуса

Пример пересечения поверхностей цилиндра и конуса показан на рис. 209, б. Построение линии пересечения поверхностей прямого кругового усе­ченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, пока­зано на рис. 209, а. Оси цилиндра и конуса пере­секаются в точке О₁ и лежат в одной плоскости.

Как и ранее, сначала определяют проекции очевидных 1, 7 и характерных 4, 10 точек линии пересечения.

Для определения промежуточных точек прово­дят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Р₁…Р₅. (рис. 209, а). Они будут рассе­кать конус по окружности, а цилиндр по образую­щим (рис. 209, б). Искомые точки линии пересе­чения находятся на пересечении образующих с окружностями.

Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра O₁ проводят горизонтальные проекции дуг окружностей (рис. 209, а), по которым вспомогательные плос­кости Р₁…Р₅ пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг окружностей взяты с профильной про­екции.

Так как профильные проекции точек 1“… 12“ известны, то, проводя линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят горизонтальные проекции точек 1… 12. Используя линии связи, по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальней, находим фронталь­ные проекции точек пересечения 1‘. 12’.

Полученные на фронтальной и горизонтальной проекциях точки, принадлежащие к линии пере­сечения. обводят по лекалу.

На горизонтальной проекции часть линии пере­сечения будет видимой, а часть — невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют с помощью вспомогательной секущей плос­кости Р₃, проведенной через ось цилиндра. Точки, расположенные над плоскостью Р₃ (см. профиль­ную проекцию), будут на плоскости Н видимы, а точки, расположенные под плоскостью Р_3,— неви­димы.

Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и конуса вычерчивают в такой последовательности. Вначале выполняют изометрическую проекцию конуса (рис. 209, в). Затем от центра О нижнего основания конуса по его оси вверх откладывают координату ОО₁ = h и получают точку О₁, через которую проводят ось цилиндра параллельно изометрической оси х. От точки О₁ по этой оси откладывают координату х = О₁О₂ точки О₂ — центра окружности основания цилиндра.

Для построения линии пересечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью их координат, взятых с комплексного чертежа. За начало координат принимается точка О₂ (центр основания цилиндра). Параллельно оси у проводят до пересечения с овалом следы плос­костей сечения с координатами по оси z, взятых с профильной проекции. Из полученных точек А, В, С. параллельно оси х проводят прямые — об­разующие цилиндра, на них откладывают ко­ординаты Al, В2, . взятые с фронтальной проекции комплексного чертежа, и получают точки 2. 12, принадлежащие искомой линии пере­сечения.

Через найденные точки проводят кривую ли­нию по лекалу.

На рис. 210 показана деталь. Линию пересечения конической поверхности с цилиндрической строят описанным выше спосо­бом.

Построение линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса, оси которых параллельны (рис. 211), аналогично построению, рассмотренно­му на рис. 209.

Выбирают вспомогательные горизонтальные плоскости, например Р₁, Р₂ и Р₃, которые пересекают конус и цилиндр по окружностям (рис. 211, б). Диаметр окружностей, образованных в результате пересечения этих плоскостей с ци­линдрам, одинаков и равен D; диаметры окруж­ностей, полученных в результате пересечения плоскостей с конусом, — различные. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих ок­ружностей дают искомые горизонтальные проек­ции точек 1. 9 линии пересечения (рис. 211, а). Фронтальные проекции 1′. 9′ этих точек находят с помощью линий связи на фронтальных следах Р_V1, Р_V2, Р_V3 вспомогательных плоскостей. Про­фильные проекции точек строят по двум их извес­тным проекциям.

Характерными точками в данном примере явля­ются: высшая точка линии пересечения — точка 5, нахождение проекций которой начинают с име­ющейся горизонтальной проекции, и точки 1, 9

Точки 1 и 9 получились от пересечения основа­ний цилиндра и конуса.

Построение изометрической проекции пересекающихся конуса и цилиндра (рис. 211, в) выполня­ется по этапам, подробно описанным в предыдущем примере (см. рис. 209, в). Построение начи­нается проведением изометрических осей конуса и цилиндра, затем их оснований (эллипсов) с центрами на расстоянии друг от друга, определяе­мом координатой n₃. Для построения линий пере­сечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью координат, взятых с чер­тежа.

На рис. 212 показана деталь, имеющая форму двух цилиндров, пересекающихся с конусом. Оси цилиндра и конуса параллельны.

Примеры пересечения поверхностей даны на рис. 213. Линии пересечения показаны красным цветом.

Пересечение поверхностей сферы и цилиндра

Прямой круговой цилиндр, расположенный перпендикулярно плоскости Н, пересекается с шаром, центр которого расположен на оси цилин­дра, по окружности, которая изображается на фронтальной проекции отрезком прямой (рис 214). Проводя через точки А и В пересече­ния контурных образующих цилиндра и очерка шара вспомогательную горизонтальную плоскость Р, заметим следующее. Плоскость Р пересечет как цилиндр, так и шар по окружности одинакового диаметра, которая расположена в проецирующей плоскости. Следовательно, се фронтальная проек­ция будет изображаться в виде прямой а’b’.

При пересечении поверхности конуса или по­верхности вращения с шаром, центр которого расположен на оси этих поверхностей, также по­лучается окружность (рис. 214, а).

Если центр шара расположен вне оси цилиндра (рис. 214, б), то для построения линии пересече­ния применяют вспомогательные горизонтальные плоскости. Например, вспомогательная горизонтальная плоскость Р пересекает цилиндр по ок­ружности радиуса r, а шар — по окружности ради­уса R. Точки пересечения а и b горизонтальных проекций этих окружностей принадлежат горизонтальной проекции линии пересечения. Фронтальные проекции а’ и b‘ строят, используя ли­нии связи.

Одной из характерных точек данной линии пересечения является верхняя точка D. Горизон­тальная проекция этой точки находится на пере­сечении прямой, соединяющей центры окружнос­тей радиусов r и R с горизонтальной проекцией основания цилиндрической поверхности. Для по­строения фронтальной проекции точки D через точку d проводят дугу радиуса r₁, строят фрон­тальную проекцию дуги (отрезок прямой, парал­лельной оси х) и с помощью линии связи находят точку d’.

Пересечение поверхностей тора и цилиндра

Патрубок, форма которого образована пересека­ющимися поверхностями тора и цилиндра, пока­зан на рис. 215. Выполнен комплексный чертеж с построением линии пересечения поверхностей и тора, и цилиндра. В этом примере очевидные точки 1 и 5. Для определения проекций промежу­точных точек используют вспомогательные плос­кости Р_Н и P_Н1, параллельные фронтальной плос­кости проекции. Например, плоскость Р_Н пересе­кает поверхность тора по окружности радиуса R, а поверхность цилиндра — по двум образующим Взаимное пересечение этих образующих с дугою окружности радиуса R дает на фронтальной про­екции две точки 2′ и 4′, принадлежащие искомой линии пересечения.

Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

Для построения линии пересечения поверхнос­тей вместо вспомогательных секущих плоскостей при определенных условиях удобно применять вспомогательные сферические поверхности.

В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении фронтальной проекции линии пересечения поверхностей не используются две другие проекции пересекающих­ся поверхностей (рис. 216).

Вспомогательные сферические поверхности для построения линий пересечения поверхностей тел можно применять лишь при следующих условиях:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси поверхностей вращения должны пересе­каться; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;

в) оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций.

Примеры применения вспомогательных сфери­ческих поверхностей показаны на рис. 216, а и б.

На рис. 216, а дано построение фронтальных проекций линии пересечения поверхностей двух цилиндров, оси которых пересекаются под острым углом.

Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки О’ пересечения осей цилин­дров.

Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежуточной точки линии пересече­ния. Для этого из точки О’ проводят сферичес­кую поверхность радиуса R, которая на данной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Окружность радиуса R пересечет горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра АС и ВD, а наклонно расположенный цилиндр — по окружностям диаметра АВ.

В пересечении полученных проекций окружнос­тей — отрезков а’b’ и c‘d‘— находят проекцию 2′ промежуточной точки линии пересечения.

Вводя еще целый ряд вспомогательных сфери­ческих поверхностей, можно построить необходи­мое число точек линии пересечения.

Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом (рис. 216, а и б): наибольшая окружность сферической поверхности должна пересекаться с контурными образующими 1—1 и II— II цилиндра и наименьшая должна быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и пересекаться с образующими дру­гой поверхности.

Если поверхности двух конусов (рис. 217, а) описаны около шара, то они касаются шара по двум окружностям; эти окружности пересекаются в двух точках, которые проецируются на фрон­тальную плоскость проекций в точку р’. Плоскости, в которых лежат эти окружности, пересекают­ся по прямой, соединяющей точки пересечения линий касания конусов с шаром. Окружности проецируются на фронтальную плоскость проек­ций в виде прямых линий.

Соединив очевидную точку s’ пересечения конусов с точкой р‘, получим линию пересечения конусов с шаром, которая представляет собой фронтальную проекцию эллипса.

Разберем второй подобный пример. Если два прямых круговых цилиндра с осями, пересекаю­щимися в точке О’ (рис. 217, б), описаны около шара с центром в точке О, то фронтальная про­екция шара будет окружностью, касательной к контурным образующим цилиндров. Линии пере­сечения поверхностей этих цилиндров представля­ют собой эллипсы, фронтальные проекции кото­рых изображаются в виде прямых линий а’b‘ и c’d’.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Построение линии пересечения поверхностей с примерами

Содержание:

Построение линии пересечения поверхностей:

Предложенные задания охватывают задачи не на все методы построения линий пересечения поверхностей, а только наиболее распространенные. Ниже приведены решения типовых задач, когда применены различные способы в зависимости от формы и расположения пересекающихся поверхностей.

Одна из поверхностей занимает частное (проецирующее) положение

Задание: даны две поверхности:

Решение: поверхность цилиндра перпендикулярна к

Ниже приводится построение горизонтальной проекции только одной точки 1 (рис. 13.1). Из этой точки вниз проводят линию проекционной связи. Одновременно из этой же точки радиусом проводят дугу окружности, на которой лежит эта точка, как принадлежащая тору, и находят проекцию этой окружности на горизонтальной проекции тора – это прямая линия, параллельная оси x. Она проходит через точку (точка пересечения окружности, проходящей через точку 1, с окружностью тора, лежащей на ). Горизонтальная проекция точки 1 находится на пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки , с горизонтальной проекцией окружности тора, на которой лежит точка 1. Остальные точки строят аналогично точке 1 (рис. 13.2).

Точки 4 и 9 определяют видимость линии пересечения на горизонтальной проекции, а точки 1 и 2 наиболее удаленные от контура на горизонтальной проекции. Эту задачу можно решать и методом вспомогательных секущих плоскостей, который рассматривается далее.

Метод вспомогательных секущих плоскостей

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересечении с данными поверхностями образуют простые для построения линии (прямую или окружность).

Задание: даны поверхности конуса и цилиндра Ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости , следовательно, поверхность цилиндра – проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют характерные -наивысшую и низшую точки линии пересечения 1 и 2, лежащие на пересечении фронтальной проекции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (, совпадают с осевой линией конуса). Точки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции.

Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно проводят вспомогательную секущую плоскость Г (ее фронтальный след ).

Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиуса R, которая на будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции характерных точек (рис. 13.3).

Построение промежуточных точек аналогично построению точек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4).

Задание: Даны две поверхности вращения – конус и цилиндр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, параллельной (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересечения заданных поверхностей вращения – они принадлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра – .

Другие точки линии пересечения можно построить, используя концентрические сферические поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая – касательная к проекции конуса, а последующие – большим радиусом (рис. 13.6). Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.

Горизонтальные проекции этих точек определяются по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их получать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость горизонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной проекции отмечают точки, лежащие на проекции осевой линии цилиндра и принадлежащие линии пересечения.

Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на невидимой части цилиндра.

Метод эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сечений.

Задание: даны две поверхности вращения – тор и конус, оси которых находятся в одной плоскости, параллельной (рис. 13.7). Требуется построить линии их пересечения.

Решение: прежде всего, фиксируют опорные точки пересечения очерковых меридианов 1 и 2. Затем через ось вращения поверхности кольца проводят фронтальный след фронтально проецирующей плоскости Σ. Линия пересечения её с поверхностью тора – окружность. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восстановленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости. Чтобы конус пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, её центр должен находиться на оси конуса. Точка пересечения перпендикуляра к проецирующей плоскости с осью конуса () выбирается центром вспомогательной секущей сферы. Радиус ее равен расстоянию от центра до точки пересечения меридиана тора со следом плоскости . Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых – проекции прямых. Точка пресечения этих отрезков (рис. 13.7) принадлежит искомой линии пересечения поверхностей.

Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения; так, при построении проекции – точки. Горизонтальные проекции точек пересечения строят по принадлежности этих точек к одной из поверхностей, используя параллели, например, конуса.

Пересечение линии с поверхностью

В общем случае для графического определения положения точек пересечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в следующей последовательности: заключить линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой поверхности с заданной поверхностью; отметить точки пересечения построенной линии с заданной.

Этот алгоритм является универсальным, пригодным для решения любых задач. Ранее (лекция 4, рис. 4.5 и 4.6) он применялся для построения проекций точки пересечения прямой с плоскостью, где в качестве вспомогательной секущей поверхности использовалась плоскость и строилась прямая линии пересечения ее с заданной плоскостью, а искомая проекция точки пересечения определялась как место пересечения этой линии с заданной прямой.

На рис. 12.1–12.3 проиллюстрирован тот же алгоритм применительно к построению точки пересечения кривой линии k с плоскостью α(∆ABC).

В качестве секущей поверхности в данном случае следует использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, в частности, горизонтально-проецирующую β(β_H)H, в которую должна быть заключена кривая k(k”,k’). Для этого на чертеже (рис. 12.3) обозначаем горизонтальный след этой поверхности β_H. Горизонтальная проекция линии ее пересечения с заданной плоскостью α(∆ABC) совпадает с ним, располагаясь между точками 1′-2′. Для построения ее фронтальной проекции воспользуемся произвольными вспомогательными прямыми линиями, принадлежащими плоскости. Вначале задаем их горизонтальные проекции, например, через вершину C. Затем по точкам их пересечения со стороной AB находим фронтальные проекции вспомогательных прямых и определяем на них фронтальные проекции точек пересечения с ними заданной кривой. Проводим через найденные точки плавную кривую линию, являющуюся, таким образом, фронтальной проекцией линии пересечения, и отмечаем на ней место пересечения с фронтальной проекцией заданной кривой k(k”,k’) – точку O”. Это и будет фронтальная проекция искомой точки пересечения заданной кривой k(k”,k’) с плоскостью α(∆ABC). Затем, воспользовавшись линией связи, находим горизонтальную проекцию O’ точки пересечения.

Этот алгоритм применен и для построения точек пересечения прямой линии с поверхностями геометрических тел – призмы, пирамиды и самопересекающегося тора (рис. 12.8, а, б, в). Поскольку поверхности этих тел являются замкнутыми, то необходимо найти по две точки пересечения на каждой из них.

При пересечении с призмой (рис. 12.8, а) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой m(m”,m’) использовалась фронтально-проецирующая плоскость α_V. При пересечении с пирамидой (рис. 12.8, б) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой n(n”,n’) использовалась горизонтально-проецирующая плоскость α_H. При пересечении с самопересекающимся тором (рис. 12.8, в) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой l(l”,l’) использовалась фронтальная плоскость β_H. Далее все действия аналогичны рассмотренным. В каждом случае вначале строилась линия пересечения поверхности плоскостью, исходя из ее проецирующего положения, определялись на ней точки пересечения с заданной прямой, а при окончательном оформлении – видимость на чертеже.

В качестве секущей плоскости при определении точек пересечения прямой с поверхностью могут использоваться также плоскости общего положения, пересекающие поверхность вдоль ее образующих (рис. 12.8, г, д). Так, для построения точек пересечения прямой a(a”,a’) общего положения с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.8, г) показано использование плоскости общего положения α, проходящей через вершину конуса и заданную прямую. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Одна из них – это заданная прямая a(a”,a’), вторая – пересекающаяся с ней произвольная прямая b(b”,b’), проходящая через вершину конуса. Для построения проекций образующих, вдоль которых плоскость пересекает поверхность конуса, найден ее горизонтальный след, затем проекции C’ и D’ точек его пересечения с горизонтальным следом основания конуса и фронтальные проекции C” и D” этих точек. Искомые проекции точек M(M”,M’) и N(N”,N’) пересечения заданной прямой общего положения с поверхностью конуса находятся в местах пересечения с ней построенных образующих.

Аналогичные действия выполнены и для построения проекций M”,M’ и N”,N’ точек пересечения прямой общего положения k(k”,k’) с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис. 12.8, д). Для этого использовалось задание плоскости общего положения α(k∩l) также двумя пересекающимися прямыми, одна из которых, как и в предыдущем случае, – это заданная прямая k(k”,k’), а пересекающаяся с ней в произвольной точке 1(1″,1′) вторая прямая линия – это прямая l(l”,l’), параллельная образующим цилиндра. Строился горизонтальный след этой плоскости и по точкам пересечения его с горизонтальным следом заданного цилиндра находились образующие, по которым вспомогательная плоскость общего положения α(k∩l) пересекает цилиндр. В местах пересечения с проекциями этих образующих проекций прямой общего положения k(k”,k’) находятся искомые проекции M”,M’ и N”,N’ точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.

Касательные плоскости и нормаль к поверхности

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, называют плоскость, в которой можно провести две прямые линии, пересекающиеся в точке касания, касательные к двум пересекающимся в этой же точке линиям, принадлежащим поверхности.

На чертеже касательную плоскость α(α”,α’) однозначно можно задать проекциями двух пересекающихся прямых m(m”,m’) и n(n”,n’). Эти линии строят касательно к проекциям двух пересекающихся в точке касания линий, принадлежащих поверхности. На рис. 12.4 линия m(m”,m’) является касательной к линии окружности l(l”,l’), проходящей через точку касания K(K”,K’) по поверхности цилиндра, а пересекающаяся с ней в этой точке линия n(n”,n’) сливается с линией р(р”,р’) – образующей цилиндра.

Аналогичные действия (рис. 12.8, е, ж, з) выполнены и при построении касательных плоскостей к поверхностям прямого кругового конуса, самопересекающегося тора и сферы, касающихся этих поверхностей в некоторой точке A(A”,A’). Пересекающиеся прямые m(m”,m’) и n(n”,n’), задающие касательные плоскости α(α”,α’) к ним, являются касательными к окружностям, построенным на этих поверхностях вращения и пересекающимся в точке касания A(A”,A’). Следует отметить одну особенность при построении прямой n(n”,n’), касательной к линии меридионального сечения поверхности самопересекающегося тора (рис. 12.8, ж). Для упрощения построений вначале строят касательную к этой линии, параллельной фронтальной плоскости проекций, определяют на оси вращения тора точку S, через которую проходят касательные ко всем точкам, расположенным на той же параллели поверхности, что и заданная точка касания A(A”,A’), а затем строят необходимую касательную n(n”,n’).

Эти построения использовались также для определения точки касания K(K”,K’) на поверхности самопересекающегося тора в задаче на рис. 12.5, где необходимо было задать общую касательную плоскость к поверхностям самопересекающегося тора и прямого кругового конуса. Ключом к решению задачи явилось заключение самопересекающегося тора в коническую поверхность с тем же углом наклона образующих, что и у заданного конуса (справа). Общая касательная плоскость задана пересекающимися прямыми, из которых m₁(m₁“,m₁‘), являющаяся горизонтальным следом плоскости, построена, как касательная к следам указанных конических поверхностей, а прямая m₂(m₂“,m₂‘), сливается с одной из образующих заданного конуса. Эта образующая является и геометрическим элементом касания построенной плоскости α(m₁∩m₂) с поверхностью заданного конуса. Поверхности самопересекающегося тора эта плоскость касается в точке K(K”,K’), которая найдена благодаря вышерассмотренным построениям и образующей второго конуса, охватывающего тор.

На рассматриваемом чертеже показано также построение нормали n(n”,n’), к поверхности самопересекающегося тора в точке K(K”,K’). Условием для построения нормали является ее перпендикулярность к плоскости, касательной к поверхности в той же точке. Вначале нормаль построена к очерковой образующей тора, затем на ней взята произвольная точка и выполнен ее поворот вокруг оси тора в положение, в котором она окажется расположенной в плоскости, перпендикулярной построенной касательной плоскости (направления указанных перемещений показаны стрелками).

На рис. 12.6 показано построение точек пересечения P(P”,P’) и T(T”,T’) фронтальной прямой MN(M”N”,M’N’) с поверхностью ¼ кольцевого тора и построение касательной плоскости к этой поверхности в одной из построенных точек, например, T(T”,T’).

Точки P(P”,P’) и T(T”,T’) найдены благодаря заключению заданной прямой MN во фронтальную плоскость α(α_H) и построению проекций линии пересечения по точкам 1′, 2′, 3′, … , 7′, крайние из которых 1′ и 7′ взяты в местах пересечения горизонтального очерка плоскостью тора, а остальные – произвольно на горизонтальном следе α_H секущей плоскости. Для дальнейших построений использовались горизонтальные сечения поверхности тора плоскостями.

Для задания касательной плоскости β(m∩n) одна из задающих ее пересекающихся прямых m(m”,m’) построена как касательная к линии кольцевого сечения поверхности тора в точке T(T”,T’), а вторая – как касательная прямая n(n”,n’) к линии окружности осевого сечения поверхности тора. Для более точного построения второй прямой была найдена проекция S_K” точки на оси вращения тора, в которой сходятся все касательные прямые к поверхности тора во всех точках, находящихся на той же параллели, что и точка T(T”,T’).

Структуризация материала двенадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 12.7 (лист 1). На последующем листе 2 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 12.8).

Пересечение линии с поверхностью:

Касательные плоскости и нормаль к поверхности

Касательная плоскость к кривой поверхности в некоторой точке – это плоскость, в которой лежат все касательные прямые ко всем кривым, которые можно провести на поверхности через ту же точку.

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

12.1. Пересечение прямой с поверхностью

12.2. Касательные плоскости

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика Начертательная геометрия Компас Автокад Черчение Проекционное черчение Аксонометрическое черчение Строительное черчение Техническое черчение Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Проецирование прямой
• Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
• Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
• Перпендикулярность геометрических объектов
• Прямая в пространстве и ее изображение на чертеже
• Многогранники
• Поверхности вращения
• Пересечение прямой линии с поверхностью

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти точки пересечения окружности с цилиндром

Пошаговый алгоритм решения задачи №8 — построение линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра

Необходимо построить линию пересечения поверхностей вращения — конуса с цилиндром вращения. Оси вращения данных поверхностей расположены взаимно перпендикулярно и являются проецирующими соответственно плоскостей проекций.

Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:

— построение поверхностей вращения на комплексном чертеже
по заданным координатам точек;

— частные случаи пересечений конуса и цилиндра вращения проецирующей плоскостью;

— метод секущей плоскости для построения линии пересечения
поверхностей.

Порядок решения Задачи

1. В правой части листа бумаги формата A3 согласно варианту задания строятся очерки поверхностей конуса и цилиндра вращения в горизонтальной и фронтальной проекциях.

Рис.8.1

Рассматривая полученный чертеж, нетрудно заметить, что линия пересечения данных поверхностей уже имеется во фронтальной плоскости проекций, т.е. она задана исходным чертежом, выделяем ее красным цветом (искомая линия). Таким образом, для решения задачи остается спроецировать (перенести) ее на горизонтальную плоскость.

2. Построение линии пересечения начинаем с отметки опорных точек. Это точки, выше (ниже) которых правее (левее) нет линии пересечения, заметим, кстати, что линия пересечения может располагаться только в местах, одновременно принадлежащих обоим поверхностям.

Опорными точками на фронтальной проекции будут 1’ и 6’. Нахождение их на горизонтальной проекции не представляет затруднений. Они будут находиться на крайних образующих конуса, которые проецируется на эту плоскость прямой линией Sb. Перенеся их по линиям связи, получаем 1 и 5 (рис.8.2.а).

Рис.8.2

3. Далее, применяем метод секущей плоскости, которую можно проводить через определенный интервал или через характерные точки линии пересечения, проводим первую секущую плоскость ’ через точку 2’. Из частных случаев известно, что если секущая плоскость во фронтальной проекции пересекает конус перпендикулярно оси вращения, то в горизонтальной плоскости сечение будет в виде окружности с радиусом, взятым от оси вращения до очерка поверхности (крайней правой или левой образующих). Проводим указанную окружность данного радиуса R_a в горизонтальной плоскости, ставя ножку циркуля в центр конической поверхности. Поскольку точка 2 одновременно принадлежит конической и цилиндрической поверхности и находится в секущей плоскости, то ее горизонтальная проекция должна находиться в пересечении горизонтальных проекций от секущей плоскости по конусу и цилиндру.

Уже отмечалось, что горизонтальная проекция от секущей плоскости, по конусу — окружность; а по цилиндру — прямая линия, т.к. секущая плоскость проходит параллельно оси вращения цилиндра.

Тогда из проекции точки 2’ проводим линию связи (прямую линию сечения цилиндра) пересечения ее с окружностью и получаем горизонтальные проекции точки 2. Очевидно, что проекций точки будут две: одна — на лицевой стороне конуса 2 (нижняя точка в горизонтальной плоскости проекций), вторая — на тыльной стороне поверхности конуса 2₁ (верхняя точка в горизонтальной плоскости проекций) (рис.8.2.б).

4. Точно таким же способом находим горизонтальные проекции остальных точек 4 и 5, т.е. через их фронтальные проекции проводим секущие плоскости, в горизонтальной плоскости проекций — соответствующие окружности, на которые проецируем указанные точки (рис.8.3 — б).

5. Полученные горизонтальные проекции точек соединяем последовательно плавной линией с учетом видимости, которая определяется относительно обоих поверхностей. Видимость по конусу будет полной, поскольку в горизонтальной проекции любая точка, лежащая на ее поверхности будет видимой. Видимость по цилиндру определяется таким образом, что все точки, находящиеся выше диаметра цилиндра на фронтальной проекции, будут видимыми на горизонтальной проекции, а все точки, находящиеся ниже диаметра цилиндра на фронтальной проекции — на горизонтальной будут невидимыми (рис.8.3 -б).

Итак, в горизонтальной плоскости точки 1, 2, 3 будут видимыми, а точки 4, 5, 6 будут невидимыми, в точке 3 (3; 3₁) происходит смена видимости. Соединяя видимые точки контурной линией, а невидимые пунктирной, получаем искомую линию пересечения заданных поверхностей.

Рис.8.3

В заключение отметим два замечания:

1. В практике и в вариантах заданий встречаются так называемые полные и неполные пересечения поверхностей. При неполном пересечении, когда одна поверхность не полностью пересекает другую ( в нашем случае) линия пересечения есть одна замкнутая петля; при полном пересечении, когда одна поверхность полностью пересекает другую, линия пересечения распадается на несколько замкнутых ветвей и их будет столько, сколько полных пересечений участков заданных поверхностей. В предлагаемых вариантах заданий рассматриваются задачи с 2-3 петлями линии пересечений. Построение их такое же, как и рассмотренное построение (рис.8.4)

Рис.8.4

2. Предлагаемые задачи на пересечение поверхностей могут быть решены методом образующих, когда через заданную линию пересечения поверхностей проводится ряд образующих, отмечаются точки пересечения этих образующих с заданной линией пересечения, затем эти образующие вместе с точками на них проецируются на сопряженную плоскость проекций.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/postroenie-linii-peresecheniya-poverhnostej

http://stud55.ru/poshagovoe-reshenie-zadachi8/

[/spoiler]

Найти точки пересечения поверхности цилиндра α прямой линией d

Решения задачи

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь

Дано:

– цилиндр

а
– о.п.

Найти:
а


= M,N

1. На прямой a
отметьте две произвольные точки 1,2.

2. Заключите прямую
a
во вспомогательную плоскость общего
положения. Для этого через точки 1,2
проводите прямые с
|| b.
Данные прямые параллельны образующим
цилиндра.

 (с || b
) – о.п.

3. Постройте
горизонтальный след вспомогательной
плоскости. Для этого определите
горизонтальные следы прямых с и b.

с 
П₁ =3

b

П₁
=4

4. Соедините точки
3₁
и 4₁ прямой.
Получите горизонтальный след плоскости
.

5 Линия пересечения
следа плоскости с основанием цилиндра
даст две точки 5,6.

6. Через точки 5₁
и 6₁ проведите
прямые параллельно образующим цилиндра.
Сечение получится в виде параллелограмма.

7. Прямая «а»
пересекает линию сечения в точках M,N.
Это искомые точки.

а 
= M,N

8. Определите
видимость.

6. Через точки 5 и
6 проведите образующие цилиндра.

7. Пересечение
образующих с прямой «а» даст точки M
и N.

Это искомые точки
пересечения поверзхности цилиндра с
заданной прямой.

а
=
M,N

10.5 Пересечение прямой с поверхностью сферы

Дано: 
– сфера .о.п.

(АВ)- о.п.

Найти: (АВ)


= M,N

Позиционная задача
относится к типу «С», поэтому примените
алгоритм первой главной позиционной
задачи.

1. Заключите прямую
(АВ) в горизонтально- проецирующую
плоскость Г. Плоскость пересечет
поверхность сферы по окружности «m»,
фронтальной проекцией которой будет
эллипс. Если спроецировать линию «m»
на плоскость параллельную прямой (AB),
то линия пересечения проецируется в
окружность.

Поэтому для более
точного решения задачи примените метод
замены плоскостей проекций.

3. Замените П₂
/П₁ на
П₄/П_1.

П₄

П₁

П₄
|| (АВ)

На плоскость П₄
окружность
проецируется в натуральную величину.

Центр окружности
«m»
и центр сферы совпадают.

Поэтому замерьте
расстояние от оси Х₁₂
до центра сферы на плоскости П₂
и отложите это расстояние от новой оси
Х₁₄.

4.Радиус R
окружности замерьте на плоскости П₁

Г

= m

m₄–натуральная
величина

5.Спроецируйте
прямую (АВ) на плоскость П₄
.

Пересечение прямой
(АВ) с линией m
даст искомые точки M
и N.

(АВ)
m
= M,N

m

(AB)

= M,N

6.Определите
видимость.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Consider the shortest line segment between the cylinder axis and the ray and form a reference frame such that the cylindre axis is $z$ and the line segment is $x$. This frame is built by using the cross product of the two direction vectors (assumed to be unit), $vec x=vec ctimesvec r$, then $vec z=vec c,vec y=vec ztimesvec x$. Normalize these vectors. Then project the vector that joins a point of both lines onto $x$ to get the shortest segment. This projections is the vector $vec d=(vec{o_co_r}cdot vec x),vec x$.

The origin point $vec o=vec o_c+s,vec c=vec o_r+t,vec r-vec d$ is found by solving

$$begin{cases}
(vec o_c+s,vec c)cdotvec y=(vec o_r+t,vec r)cdotvec y,\
(vec o_c+s,vec c)cdotvec z=(vec o_r+t,vec r)cdotvec z
end{cases}$$ for $s$ or $t$.

In the new frame, the cylindre has the implicit equation

$$x^2+y^2=r^2$$

and the ray the parametric equations

$$begin{cases}x=d,\y=beta t,\z=gamma tend{cases}$$ where $d=vec dcdotvec x,beta=vec rcdot vec y,gamma=vec rcdotvec z$.

Now

$$d^2+beta^2t^2=r^2$$ gives the two intersections of the infinite cylindre with the infinite ray. You can restrict to $tge0$ for a half-ray.

If the cylindre has finite extent, the two basis will have the equations $z=z_{min}$ and $z=z_{max}$ (wrt to the origin $o$), giving the intersections by

$$z=gamma t.$$

When you have the range of $t$ inside the infinite cylindre, and the range of $t$ between the two basis, it is an easy matter to find the common range. Then you can compute the two intersection points in the auxiliary frame and back-transform to the initial frame. Notice that the matrix of the back transform is the transpose of the direct transform, and that you invert

$$vec q=R(vec p-vec o)$$ by

$$vec p=R^{-1}vec q+vec o.$$