Как найти вектор по заданным точкам

Как найти вектор по заданным точкам

Содержание:

  • Формула
  • Примеры нахождения координат вектора по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)$$

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)$$

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Пример

Задание. Даны точки
$A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline{A B}$ и
$overline{B A}$

Решение. Для вектора $overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{A B}$ равны

$$overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$

Для вектора точка
$B$ является началом, а точка
$A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{B A}$ равны

$$overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$

Ответ. $overline{A B}=(-2 ; 2), overline{B A}=(2 ;-2)$

Пример

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов
$overline{A B}$,
$overline{A C}$,
$overline{B C}$

Решение. Для искомого вектора
$overline{A B}$ точка
$A$ является началом, а точка
$B$ – концом. Тогда координаты вектора
$overline{A B}$ соответственно равны:

$$overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $overline{A C}$ точка
$A$ является началом, а точка
$C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны

$$overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$

Для вектора $overline{B C}$ точка
$B$ является началом, а точка
$C$ – концом. Его координаты равны

$$overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$

Ответ. $overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Читать дальше: как найти сумму векторов.

  • Как найти сумму векторов
  • Как найти скалярное произведение векторов
  • Как найти векторное произведение векторов
  • Как найти смешанное произведение векторов
  • Как найти вектор коллинеарный вектору
  • Как найти вектор перпендикулярный вектору
  • Как найти орт вектора
  • Как найти разность векторов
  • Как найти проекцию вектора
  • Как найти длину вектора
  • Как найти модуль вектора
  • Как найти координаты вектора
  • Как найти направляющие косинусы вектора
  • Как найти угол между векторами
  • Как найти косинус угла между векторами
Источник

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.

Определение 1

Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).

По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5 

Ответ:  B(5, 5, 5).

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Как найти вектор по точкам

ФОРМУЛА

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
)на плоскости, если он задан координатами его начала (
Aleft(x_{1} ; y_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2}right)
) конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца, то есть

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)
)

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
), заданного в пространстве по координатам (
Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)
), необходимо, по аналогии с плоским случаем, вычесть координаты начала из координат конца:

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)
)

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПО ТОЧКАМ

ПРИМЕР

  • Задание: Даны точки (
    A(4 ;-1)
    ) и (
    B(2 ; 1)
    ). Найти координаты векторов (
    overline{A B}
    ) и (
    overline{B A}
    )
  • Решение: Для вектора (
    overline{A B}
    ) точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    B
    ) – концом. Тогда координаты вектора (
    overline{B A}
    )равны

    (
    overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)
    )

    Для вектора (
    overline{B A}
    ) точка (
    B
    ) является началом, а точка (
    mathrm{A}
    ) – концом. Тогда координаты вектора (
    overline{B A}
    )равны

    (
    overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)
    )

  • Ответ: (
    overline{A B}=(-2 ; 2)
    )

    (
    overline{B A}=(2 ;-2)
    )

    ПРИМЕР

  • Задание: Даны три точки в пространстве точки (
    A(1 ;-2 ; 0,5)
    ) , (
    B(3 ; 2 ; 1,5)
    ) и (
    C(0 ;-1 ; 1)
    ). Найти координаты векторов (
    overline{A B}, overline{A C}, overline{B C}
    )
  • Решение. Для искомого вектора (
    overline{A B}
    ) точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    B
    ) – концом. Тогда координаты вектора (
    overline{A B}
    )соответственно равны:

    (
    overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)
    )

    Для вектора (
    overline{A C}
    )точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    mathrm{C}
    ) – концом. Тогда его координаты соответственно равны

    (
    overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)
    )

    Для вектора (
    overline{B C}
    ) точка (
    B
    ) является началом, а точка (
    mathrm{C}
    ) – концом. Его координаты равны

    (
    overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)
    )

  • Ответ: (
    overline{A B}=(2 ; 4 ; 1)
    )

    (
    overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5)
    )

    (
    overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)
    )

    • Источник

    Координаты вектора по двум точкам

    Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$

    В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB}  $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$

    Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$

    Пример 1
    Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $
    Решение

    Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

    $$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

    Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

    $$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

    Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
    Ответ
    $$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$
    Источник

    В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

    • Нахождение координат вектора

    • Примеры задач

    Нахождение координат вектора

    Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

    Вектор AB

    Формулы для определения координат вектора
    Для плоских задач AB = {Bx – Ax; By – Ay}
    Для трехмерных задач AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az}
    Для n-мерных векторов AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An}

    Примеры задач

    Задание 1
    Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

    Решение:
    AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

    Задание 2
    Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

    Решение:
    Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
    Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
    By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.

    Таким образом, B = (8; 19).

    Источник

    Добавить комментарий