Добрый день! Рада вас приветствовать на моём канале! Сегодня я продолжу тему “Решение задач по “Теории вероятности””, но возьму задачи повышенного уровня , т.е. при решении которых используются свойства и теоремы о вероятностных событиях. Это задание №10 в ЕГЭ по профильной математике.
1. Начнём с теоретической части. В задании №2 используется основная формула вероятности случайного события. Но она может пригодиться и в задании №10. Вот как она выглядит:
Проще говоря, если все исходы какого-либо эксперимента равновозможны, то вероятность события в этом эксперименте равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных., то есть m – число благоприятных исходов, n – число всех равновозможных исходов. P(a)<=1.
Благоприятные исходы – исходы, при которых происходит некоторое событие.
2.
Какие события называются независимыми?
Рассмотрим пример:
Пусть в одной коробке находится 10 деталей, из которых 3 бракованные, а в другой – 16 деталей, из которых 4 бракованные. Из каждой коробки вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
Решение:
Пусть событие А – из первой коробки вынимают бракованную деталь;
Событие В – из второй коробки вынимают бракованную деталь.
Очевидно,что события А и В являются независимыми.
Вероятность того, что достанут бракованную деталь из первой коробки равна: P(A)=3/10, а из второй – P(B)=4/16.
По условию задачи нам нужно найти вероятность совместного наступления событий A и B, применяя теорему P(AB)=P(A)*P(B), получим
P(AB)=3/10*4/16=3*4/10*16=3/40=0,075.
Ответ: вероятность того, что обе детали окажутся бракованными равна 0,075.
3. Как различить совместные события от несовместных?
Совместные события – это те, которые могут происходить одновременно. Например,
1) Событие А – сегодня вечером будет дождь;
Событие В – сегодня вечером будет гроза;
Событие С – сегодня вечером будет солнце;
События А и В совместны, А и С совместны (попарно совместны) и также все три события могут наступить одновременно.
2) Событие А – из колоды карт будет извлечена карта – король;
Событие А – из колоды карт будет извлечена карта червовой масти.
Данные события совместны, т.к. можно извлечь карту – червовый король.
Мы можем сказать, что извлечена карта король и карта червовой масти.
Несовместные события – это те, которые не могут происходить одновременно. Например,
1) При бросании кубика:
Событие А – выпадет «4» очка;
Событие В – выпадет число очков, отличное от 4.
Мы можем сказать: выпадет либо 4 очка, либо не 4.
2) Противоположные события.
Событие А – из корзины достали белые грибы;
Событие В – из корзины достали грибы вешенки.
3) Событие А – день;
Событие В – ночь.
4) Попадания и промахи.
5) При бросании монеты- выпадение орла или решки и т.д.
4. Противоположные события связаны между собой:
5. Ну и еще одна важная теорема – “Теорема сложения вероятностей совместных событий”, пожалуй самая трудная:
Рассмотрим пример:
Пусть событие А – кофе закончится в первом автомате,
В – кофе закончится во втором автомате.
Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35 – вероятность события “кофе закончится хотя бы в одном автомате”.
Осталось найти вероятность события “кофе останется в обоих автоматах”.
События “кофе закончится хотя бы в одном автомате” и “кофе останется в обоих автоматах” противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,35 = 0,65.
Ответ: 0,65.
6. Решаем задачи
Задача №1.
А. выиграет оба раза означает, что он должен выиграть “и” в первый раз “и” во второй раз. Данные события независимы друг от друга, поэтому вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Задача №2.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Так как события независимые, то P(a)= 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
Задача №3.
1) Приведу одно из решений. Вероятность уцелеть после искомых выстрелов равна 1 – 0,98 = 0,02.
Будем последовательно находить вероятности после некоторого числа промахов, пока не получим число меньшее 0,02.
Найдём вероятность уцелеть после первого промаха: Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24 – вероятность уцелеть после первого и второго промаха.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Ответ: 5.
Задача №4.
Запишем возможные комбинации, так чтобы в сумме было не меньше 4 очков в двух играх: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей и кроме того, в каждом из этих событий – независимые события (произведение двух событий):
P = P(3+1)+P(1+3)+P(3+3)=P(3)*P(1)+P(1)*P(3)+P(3)*P(3)
Вероятность ничьи: P(1)=1-0,4-0,4=0,2.
P = 0,4*0,2+0,2*0,4+0,4*0,4 = 0,32.
Ответ: 0,32.
Задача №5.
1. Вероятность того, что Джон возьмёт пристрелянный револьвер равна 4/10=0,4.
Аналогично находим вероятность непристрелянного револьвера: 6/10=0,6.
2. Джон попадает в муху с P=0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Значит вероятность того, что он попадает в муху из пристрелянного револьвера равна 0,4·0,9 = 0,36, а из непристрелянного – 0,6·0,2 = 0,12.
3. Ковбой попадает в муху из пристрелянного или из непристрелянного револьвера (события несовместны), поэтому по теореме сложения вероятностей имеем: 0,36 + 0,12 = 0,48.
4. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Задача №6
1)Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
2)Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
3)По условию задачи купленное стекло может оказаться либо выпущенное первой фабрикой, либо второй. Поэтому вероятность, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
Задача №7
1.
Вероятность выбора пути на каждой из 4х развилок, ведущего к выходу D или к другому выходу равна 0,5. Эти события независимы, поэтому вероятность, что паук придёт к выходу D равна 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625.
Ответ: 0,0625.
Задача №8
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.
Ответ: 0,19.
Задача №9
Решение.
Школьнику достанется вопрос либо по одной теме, либо по другой. Поэтому вероятность суммы двух несовместных событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35.
7. Домашнее задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Надеюсь, что данный материал был вам полезен. ))
Если вам понравились задания, поставьте 👍👍👍, пишите комментарии и подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить новые публикации))
До новых встреч!
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ – выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ – выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Зачем нужна теория вероятности
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Основные понятия теории вероятности
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом
.
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом
.
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
- Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е.
.
- Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
.
- Вероятность достоверного события равна 1, т.e.
.
- Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е.
.
.Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные
из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле
. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов
.
Ответ получаем по формуле .
Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Решение.
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
![[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69b80fc6c79153f9776c8563534adc72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 0,4
Независимые, противоположные и произвольные события
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.
.
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае
.
.
.Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов 
В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
![[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dc566bbe32b350df2378b5eb114ad2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из
элементов по
элементам:
![[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-182659ca8211e8f6dddf252762564942_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Решение:
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Задача 3.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Решение:
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.
Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
.
Ответ: 0,06.
Задача 4.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Задача 5.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение:
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит,
– лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”:
, где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: 
.
Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: 
.
Ответ: 0,975608.
Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:
Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403 задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
Решение. Число благоприятных исходов – это и есть число канадских спортсменок. Их 70-(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в чемпионате. Итак, искомая вероятность равна 28/70 = 0,4.
Ответ: 0,4.
Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества участниц.
Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина благоприятных исходов (его партнёр – российский теннисист) остаётся всего 6. Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность равна 6/75 = 0,008.
Ответ: 0,08.
Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
| N исходов |
Первое бросание |
Второе бросание |
|
|
Решка |
Решка |
|
|
Орёл |
Орёл |
|
|
Орёл |
Решка |
|
|
Решка |
Орёл |
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки) благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна 2/4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.
Решение. Благоприятному событию (А) – орёл выпадет оба раза благоприятствует один исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А) = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна 70/350 =0,2
Ответ: 0,2.
Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом, поэтому искомая вероятность есть 15/300 = 0,05.
Способ 2. Всего рейсов 300/15 = 20. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только один из них, значит, вероятность определяется отношением 1/20 = 0,05.
Ответ: 0,05.
Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность вычисляется как отношение 100/103 ≈ 0,971 ≈ 0,97.
Ответ: 0,97.
Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.
Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую. Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна 16/50 = 0,32.
Ответ: 0,32.
Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к. любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас событию – в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность 6/36 = 0,1(6) ≈ 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36. Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем вероятность: 4/36 = 0,(1) ≈0,11.
Ответ: 0,11.
Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и поэтому вероятность равна 2/36 = 1/18 ≈ 0,06.
Ответ: 0,06.
Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.
Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда (соперник Сапфира):
| № исходов |
I команда |
II команда |
III команда |
|
1 |
+ |
+ |
+ |
|
2 |
+ |
+ |
– |
|
3 |
+ |
– |
+ |
|
4 |
– |
+ |
+ |
|
5 |
– |
– |
+ |
|
6 |
– |
+ |
– |
|
7 |
+ |
– |
– |
|
8 |
– |
– |
– |
Очевидно, что интересующему нас событию А – в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего исходов – 8, значит, вероятность равна 4/8 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.
Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А – в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза, благоприятствует исход с номером 1 (он – единственный). Таким образом, искомая вероятность вычисляется как отношение 1/8 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.
Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор 360o/12 = 30o. От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30o × 6 = 180o, таким образом, искомая вероятность вычисляется как 180/360 = 0,5.
С другой стороны, посмотрев на 12-часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от 7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.
Ответ: 0,5.
Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.
Решение. Все возможные исходы (их 8) при трёх бросаниях представлены в таблице:
| № исхода |
1-е бросание |
2-е бросание |
3-e бросание |
|
1 |
Орёл |
Орёл |
Орёл |
|
2 |
Орёл |
Решка |
Решка |
|
3 |
Решка |
Орёл |
Решка |
|
4 |
Решка |
Решка |
Орёл |
|
5 |
Орёл |
Орёл |
Решка |
|
6 |
Решка |
Орёл |
Орёл |
|
7 |
Орёл |
Решка |
Орёл |
|
8 |
Решка |
Решка |
Решка |
Благоприятный исход один – последний: Решка-Решка-Решка. Вероятность, согласно классической формуле, равна 1/8 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Задача 1.16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Можно составить таблицу и для четырёх бросаний симметричной монеты:
| № исхода |
1-е бросание |
2-е бросание |
3-e бросание |
4-e бросание |
|
1 |
Решка |
Решка |
Решка |
Решка |
|
2 |
Решка |
Решка |
Решка |
Орёл |
|
3 |
Орёл |
Решка |
Решка |
Решка |
|
4 |
Решка |
Орёл |
Решка |
Решка |
|
5 |
Решка |
Решка |
Орёл |
Решка |
|
6 |
Решка |
Решка |
Орёл |
Орёл |
|
7 |
Орёл |
Орёл |
Решка |
Решка |
|
8 |
Орёл |
Решка |
Решка |
Орёл |
|
9 |
Решка |
Орёл |
Орёл |
Решка |
|
10 |
Решка |
Орёл |
Решка |
Орёл |
|
11 |
Орёл |
Решка |
Орёл |
Решка |
|
12 |
Решка |
Орёл |
Орёл |
Орёл |
|
13 |
Орёл |
Решка |
Орёл |
Орёл |
|
14 |
Орёл |
Орёл |
Решка |
Орёл |
|
15 |
Орёл |
Орёл |
Орёл |
Решка |
|
16 |
Орёл |
Орёл |
Орёл |
Орёл |
Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их всего 6. Значит, вероятность равна 6/16 = 3/8 = 0.375.
Если взять на себя труд и выучить теорему Я.Бернулли, то составления таблицы можно избежать.
Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:
(1).
Здесь 
– число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность события, противоположного событию А.
В условиях нашей задачи p = 1/2, q = 1 – 1/2 = 1/2, 
Подставляем в формулу (1) и получаем :
Ответ: 0,375.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий
4 задание ЕГЭ по математике профильного уровня посвящено теории вероятности. Здесь понадобится не только основная формула P = m / n, но и умение работать с деревом вариантов (вероятностей).
4 задание ЕГЭ по математике профиль 2023 года: разбор теории вероятности
В задаче 1 есть две фабрики. Первая выпускает 45% стекол для автомобильных фар, а вторая — 55%. У первой — 3% бракованных деталей, у второй — 1%. Нужно найти вероятность того, что купленное в магазине стекло будет бракованным. Учитель, старший эксперт по математике и член проверочной комиссии Михаил Попов расскажет как находить решение 4 задания ЕГЭ по математике.
Как вы поняли, при знании основ теории вероятности и внимательности, четвертая задача не представляет особой трудности. Главное — концентрация и аккуратность при расчетах. Удачи в подготовке!
Бесплатный курс ЕГЭ и ОГЭ по математике 2023
Получи бесплатное видео в телеге
Получи бесплатный курс по математике
