Если вектор умножить на ноль, он станет нулевым.
Обязательно нужно ставить значок вектора над нулем! Нельзя говорить, что векторная величина просто равна скалярной:
Рассмотрим некоторые свойства нулевого вектора.
А это значит, что его начало совпадает с концом, это просто какая-то точка.
Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.
Его мы можем получить не только путем умножения вектора на ноль, но и путем сложения противонаправленных векторов:
Если вектор умножают на отрицательное число, он изменит свое направление на противоположное. Такой вектор называется обратным данному.
Но такие векторы должны быть коллинеарны. Звучит как скороговорка, но ничего страшного. Главное – понять суть.
Векторы лежат на одной прямой: они коллинеарны. По направлению видно, что они противонаправлены, это обозначается так:
Векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарны. При этом они сонаправлены:
Эти двое тоже коллинеарны! Они ведь лежат на параллельных прямых. При этом они противонаправлены:
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу.
Параллельный перенос векторов
Одно из важных свойств вектора, которое очень часто помогает в операциях над ним, – параллельный перенос.
Если передвинуть вектор, не меняя его направления и длины, он будет идентичен начальному. Это свойство – параллельный перенос.
Сложение векторов по правилу треугольника
Сложение векторов – одна из самых легких и приятных вещей. Предположим, у нас есть два вектора:
Наша цель – найти такой вектор, который будет являться суммой двух данных:
Для начала нужно сделать так, чтобы конец одного вектора был началом другого. Для этого воспользуемся параллельным переносом:
Теперь достроим до треугольника.
Но как узнать направление нужного нам вектора?
Все просто: вектор суммы идет от начала первого слагаемого к концу второго, мы словно «идём» по векторам:
Это называется правилом треугольника.
Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника
Но что делать, нам нужно сложить не два, а три, пять векторов или даже больше?
Мы руководствуемся той же логикой: соединяем векторы и «идём» по ним:
Это называется правилом многоугольника.
Вычитание векторов через сложение
Вычитание векторов не сложнее. Это даже можно сделать через сумму! Для этого нам понадобится понятие обратного вектора. Запишем разность так:
Тогда нам лишь остается найти сумму с обратным вектором:
А сделать это очень легко по правилу треугольника:
Всегда помни, что вычитание можно представлять сложением, а деление — умножением на дробь.
Вычитание векторов через треугольник
Вычитать векторы можно через треугольник. Основная задача будет состоять в том, чтобы определить направление вектора разности.
Итак, векторы должны выходить из одной точки. Далее мы достраиваем рисунок до треугольника и определяем положение. Рассмотрим два случая:
Направление вектора разности зависит от того, из какого вектора мы вычитаем. У них совпадают концы.
Универсальное правило параллелограмма
Есть еще один способ сложения и вычитания векторов.
Способ параллелограмма наиболее востребован в физике и сейчас ты поймешь, почему. Основа в том, чтобы векторы выходили из одной точки, имели одинаковое начало.
Ничего не напоминает?
Именно! Когда мы делаем чертеж к задачам по физике, все силы, приложенные к телу, мы рисуем из одной точки.
В чем же заключается правило параллелограмма? С помощью параллельного переноса достроим до параллелограмма:
Тогда вектор суммы будет диагональю этой фигуры. Это легко проверяется правилом треугольника. Начало этого вектора совпадает с началом двух слагаемых векторов:
Другая диагональ будет являться разностью этих векторов. Направление определяем так же, как делали раньше.
Скалярное произведение векторов
Еще одной важной операцией является произведение векторов. Рассмотрим скалярное произведение. Его результатом является скаляр.
Уравнение очень простое: произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов пригодится нам в электродинамике.
Его формула лишь немного отличается от предыдущей:
В отличие от скалярного произведения, результатом его является вектор и его даже можно изобразить!
После параллельного переноса векторов и нахождения угла между ними достроим их до параллелограмма и найдем его площадь. Площадь параллелограмма равна длине вектора произведения:
Этот вектор одновременно перпендикулярен двум другим. Его направление зависит от условного порядка векторов, который либо определен какими-то фактами (когда мы будем изучать силу Лоренца), либо является свободным.
Об этом мы поговорим подробнее, когда будем изучать электродинамику.
Итак, мы разобрали операции с векторами, рассмотрев даже самые сложные из них. Это было не так тяжело, верно? Так происходит не только с векторами, но и со многими другими темами. Идя от легкого к сложному, мы даже не заметили трудностей.
Ведь всегда стоит помнить о том, что даже самое длинное путешествие начинается с первого шага.
Проекции векторов
Что такое проекция вектора и с чем ее едят?
Мы уже выяснили, что над векторами можно проводить множество операций. Здорово, когда можешь начертить векторы, достроить их до треугольника и измерить результат линейкой.
Но зачастую физика не дает нам легких цифр. Наша задача – не отчаиваться и быть умнее, упрощая себе задачи.
Для того, чтобы работать с векторами как с числами и не переживать об их положении и о точности рисунков, были придуманы проекции.
Проекция вектора – словно тень, которую он отбрасывает на ось координат. И эта тень может о многом рассказать.
Ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчёта и выбранной единицей масштаба.
Ось можно выбрать произвольно. В зависимости от ее выбора можно либо значительно упростить решение задачи, либо сделать его очень сложным.
Именно поэтому необходимо научиться работать с проекциями и осями.
Построение проекции. Определение знака
Возьмем вектор и начертим рядом с ним произвольную ось. Назвать ее тоже можно как угодно, но мы назовем ее осью Х.
Теперь опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Отметим координаты начала (Х0) и конца (Х). Рассмотрим отрезок, заключенный между этими точками.
Казалось бы, мы нашли проекцию. Однако думать, что проекция является простым отрезком, – большое заблуждение.
Не все так просто: проекция может быть не только положительной. Чтобы найти проекцию, нужно из координаты конца вычесть координату начала:
Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось.
В случае выше определить знак довольно легко. Сразу видим, что координата конца численно больше координаты начала и делаем вывод о том, что проекция положительна:
Порой работать с буквами трудно. Поэтому предлагаю взять конкретный пример:
Рассмотрим другой случай. В этот раз координата начала больше координаты конца, следовательно, проекция отрицательна:
Рассмотрим еще один интересный случай.
Давай разместим ось так, чтобы вектор был ей перпендикулярен. Проекции точек начала и конца совпадут и проекция вектора будет равна нулю!
Анализ углов
Рассматривая эти ситуации, можно заметить, что знак, который принимает проекция вектора напрямую зависит от угла между вектором и осью, то есть от его направления!
Из начала вектора проведем луч, параллельный оси и направленный в ту же сторону, что и ось. Получим угол между вектором и осью.
Если угол острый, проекция положительна:
Если угол тупой, проекция отрицательна:
Обрати особое внимание на то, какой именно угол является углом между вектором и осью!
Частные случаи проекции
Настоящий подарок судьбы – тот момент, когда вектор параллелен оси. Это сохраняет драгоценное время при решении множества задач. Рассмотрим эти случаи.
Если вектор параллелен оси, угол между ними либо равен нулю, либо является развернутым (180 О ). Это зависит от направления.
При этом длина проекции совпадает с длиной вектора! Смотри!
Как и прежде, если вектор направлен туда же, куда и ось, проекция положительна:
Если вектор направлен в другую сторону, проекция отрицательна:
Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна.
Эти утверждения применимы не только к векторам, которые параллельны оси. Это особенно удобно использовать в тех случаях, когда ось направлена под углом.
Что? Почему раньше не сказал? А… Ну…
Хватит вопросов! Вот тебе пример:
(vec) направлен противоположно оси. Его проекция отрицательна.
Еще один частный случай – работа с обратными векторами.
Давай выясним, как связаны проекции данного вектора и вектора, который является ему обратным. Начертим их и обозначим координаты начал и концов:
Проведем дополнительные линии и рассмотрим два получившихся треугольника. Они прямоугольны, так как проекция строится с помощью перпендикуляра к оси.
Наши векторы отличаются лишь направлением. При этом, если мы просто посмотрим на них как на прямые, мы можем сказать, что они параллельны. Их длины тоже одинаковы.
Прямоугольные треугольники равны по углу и гипотенузе. Это значит, что численно равны и их катеты, в том числе те, которые равны проекциям:
Мы помним, что обратные векторы всегда коллинеарны. Это значит, что прямые, на которых они расположены, находятся под одним углом к оси:
Остается лишь определиться со знаками. Данный вектор направлен по оси Х, а обратный ему – против. Значит, первый положителен, а второй отрицателен. Но модули их равны, так как равны их длины.
Проекции обратных векторов равны по модулю и противоположны по знаку.
Давайте еще раз уточним.
Вектор сам по себе не может быть отрицательным (обратный вектор есть вектор, умноженный на минус единицу).
Длина вектора так же не может быть отрицательной. Длина есть модуль вектора, а модуль всегда положителен.
Проекция вектора бывает отрицательной. Это зависит от направления вектора.
Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии
Зная угол между вектором и осью, можно не прибегать к координатам. Углы, прямоугольные треугольники… Всегда стоит помнить, что, если ты видишь прямоугольный трегольник, тригонометрия протянет тебе руку помощи.
Именно тригонометрия чаще всего применяется в задачах, где требуется работать с проекциями. Особенно она помогает в задачах на второй закон Ньютона.
Рассмотрим вектор и его проекции на оси:
Можем заметить, что проекции вектора соответствуют катетам прямоугольного треугольника, который легко можно достроить:
Тогда обозначим прямой угол и угол между вектором и осью:
Зная, что проекции соответствуют катетам, мы можем записать, чему равны синус и косинус угла. Они равны отношению проекций к гипотенузе. За гипотенузу считаем длину данного вектора.
Из этих уравнений легко выражаются проекции.
А еще следует помнить, что из проекций мы можем найти длину данного вектора с помощью теоремы Пифагора:
Зная, как работать с проекциями векторов и часто практикуясь, можно довести свои навыки решения большинства задач механики до совершенства.
Действия над проекциями векторов. Решение задач
Умение применять свои знания на практике невероятно важны. Это касается не только физики.
Мы знаем, что проекции были придуманы для того, чтобы работать не с векторами, а с числами.
Сложение проекций. Доказательство главного свойства
Предположим, у нас есть два вектора и нам нужно найти их сумму. Посчитать по клеткам нам вряд ли удастся:
Спроецируем оба вектора на ось Х. Заметим, что конец одного вектора есть начало второго, то есть их координаты совпадают:
Давай посчитаем проекции векторов и проекцию вектора их суммы:
Мы можем заметить, что сумма проекций двух данных векторов оказалась равна проекции вектора их суммы!
Намного важнее уметь доказывать гипотезы в общем виде.
Тогда никто не сможет упрекнуть тебя в том, что твои утверждения – просто результат совпадения!
Согласно определению проекции, запишем уравнения проекций для двух данных векторов и вектора их суммы:
Затем запишем, чему равна сумма этих векторов.
Мы доказали нашу гипотезу.
Но что насчет разности?
Все очень просто! Помнишь, как мы считали разность через сумму? Здесь это делается аналогично!
Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов.
Проекция разности векторов равна разности проекций векторов.
Или можно записать так:
Простейшие задачи на нахождение проекций
Простейшие задачи на нахождение проекций чаще представлены в виде различных графиков или рисунков.
Давай научимся с ними работать.
Нам даны оси и векторы. Задача: найти проекции каждого из них на обе оси.
Будем делать все по порядку. Для каждого вектора предлагаю сначала определить знак проекций, а затем посчитать их.
В первом случае вектор направлен против оси Х.
Значит, его проекция на эту ось будет отрицательна. Мы убедимся в этом с помощью вычислений.
Сразу бросается в глаза то, что вектор расположен перпендикулярно оси Y. Его проекция на эту ось будет равна нулю, ведь расстояние между проекциями точек начала и конца равно нулю!
Рассмотрим второй вектор.
Он «сонаправлен» оси Y и «противонаправлен» оси Х. Значит, проекция на ось будет положительна, а на ось Х – отрицательна.
Убедимся в этом.
На осях для удобства отметим проекции точек начала и конца вектора, проведя перпендикуляры. Затем проведем вычисления:
Рассмотрим (vec). Заметим, что он является обратным для (vec): их длины равны, а направления противоположны.
Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:
Поступаем с (vec) так же, как поступали с первым вектором.
Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.
Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:
С (vec) работать приятно: он расположен по направлению обеих осей. Обе его проекции будут положительны, остается лишь посчитать их:
Задачи на нахождение вектора и его угла с осью
С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.
Давай попробуем это сделать.
Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:
Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.
С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?
Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.
Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.
Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:
Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:
Обозначим угол (alpha ), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?
Рассмотрим смежный ему угол (beta ). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.
Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла (beta ) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.
Вычитанием угла (beta ) из 180 градусов найдем угол (alpha ):
Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач
В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.
Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.
Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):
Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.
Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.
Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.
Сделаем это для данного рисунка:
Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.
Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:
Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:
Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.
Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:
Переходим к векторам, которые расположены под углом.
Выглядит страшно, но это не так!
Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.
Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).
Обозначим, что является проекцией. Это катет:
Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.
Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.
Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…
Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Заключение
Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.
Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.
Физика
Тестирование онлайн
Вектор
Вектор – это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало – точка. Модуль вектора (абсолютная величина) – длина этого направленного отрезка.
Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.
Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.
На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону
Вектор -c – это вектор c, но противоположного направления. Тогда
Проекция вектора
Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение – в противоположном случае.
Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: sx=x-x0, на ось ОУ: sy=y-y0.
Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.
Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.
Сложение векторов
Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма – сумма двух векторов с общим началом.
Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Рассмотрим правила на примерах.
Вычитание векторов
Вычитание векторов – это сумма положительного и отрицательного вектора.
Упражнения
Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?
Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?
[spoiler title=”источники:”]
https://fizmat.by/kursy/jelementy_mat/vektor
[/spoiler]
Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.
Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.
Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.
Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .
Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.
Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.
Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.
OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.
По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.
Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.
Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).
Решение
Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.
Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).
Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).
Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.
Решение
Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).
По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).
Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2
Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5
Ответ: B(5, 5, 5).
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Содержание:
Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой
где А – начало, а В – конец вектора.
Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .
Определение: Если начало и конец вектора не закреплены, то он называется свободным.
Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.
Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.
Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца:
Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.
Рис.1. Коллинеарные векторы.
Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Рис.2. Компланарные векторы.
Определение: Два коллинеарных вектора и называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.
Определение вектора и основные свойства
Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение – самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки в точку изображается с помощью направленного от до отрезка – вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.
Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь – начало, вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора обозначают, как:
Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы и равны: .
• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.
Векторы и противоположны:
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .
На рисунке векторы -коллинеарные векторы. Здесь
Выражения вектора компонентами в координатной плоскости
Рассмотрим вектор на координатной плоскости. Конечная точка относительно начальной точки изменила свое положение вдоль оси на (при направо, при налево), вдоль оси на (при вверх, при вниз). Векторы и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.
Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.
На координатной плоскости вектор с начальной точкой и конечной точкой согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь называются также координатами вектора.
Длина вектора
Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.
Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле:
Пример 1.
Напишите вектор начальная точка которого , конечная в виде
Решение: Напишем вектор с компонентами:
Пример 2.
Точка начальная точка вектора Найдите координаты конечной точки этого вектора.
Решение: Примем за координаты конечной точки вектора – точку : Тогда . Конечная точка этого вектора
Пример 3.
В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору начальными точками которых являются точки .
Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные
Пример 4.
и соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде и найдите длину
Направление вектора
В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.
На рисунке длина вектора обозначена а угол, определяющий направление, через .
длина вектора:
направление вектора: или
Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .
Пример 1.
Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.
Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.
Пример 2.
Определите длину и угол наклона вектора
Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно Это можно проверить вычислениями.
Длина вектора: Угол наклона:
Сложение и вычитание коллинеарных векторов
Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.
Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.
Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.
Задача 1.
Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически – векторами. Выберем масштаб:
1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.
Результирующий вектор обозначим через Его длину можно выразить как:
Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор длиной 8 см согласно выбранному масштабу.
Задача 2.
Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.
Нарисуем данные вектора в масштабе
По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.
В этом случае длина результирующего вектора равна:
200 м 100 м = 100 м (на запад)
Пусть векторы и противоположно направленные, а их результирующий вектор. При и вектор одинаково направлен с вектором .
При и вектор одинаково направлен с вектором .
При то есть сумма противоположных векторов равна вектору.
Для того, чтобы найти разность нужно к вектору прибавить вектор , противоположный вектору .
То есть выражения эквивалентные.
Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.
Сложение векторов
Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).
Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Для этого: 1) нарисуем вектор противоположный вектору 2) переместим так, чтобы конечная точка вектора совпадала с начальной точкой вектора
3. Соединим начальную точку вектора и конечную точку вектора Это будет вектор
Пример 1.
Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?
Решение:
Выберем масштаб: 1 см : 40 м
Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.
Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор выражает сумму векторов Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом
Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.
Правило параллелограмма
1. Даны вектора: и
2. Переместим вектор так, чтобы начальные точки векторов и совпадали.
3. Построим параллелограмм со сторонами и параллельным переносом соответствующих векторов и Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов показывает их сумму:
Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов
Для любых векторов верно следующее:
Переместительное свойство:
Сочетательное свойство:
Свойство идентичности:
Сумма противоположенных векторов:
Пример:
Сложение векторов, заданных компонентами
Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.
Суммой векторов и будет вектор:
Пример 1.
Если и то вектор выразите через компоненты.
Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов
Пример 2.
Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Как изменится скорость самолета под воздействием ветра?
Конечная скорость самолета:
Аналогично можно показать, что
Пример 3.
Если , то
Тригонометрические отношения и компоненты вектора
Найдем компоненты вектора в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим
имеем:
Запись также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле
Пример 1.
Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.
Решение: По данным
скорость в вост. напр.
скорость в север, напр.
Пример 2.
Движения мяча изображены двумя векторами: с углом наклона и модулем равным 18 м и с углом наклона и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).
Решение: Перемещение мяча: Запишем векторы c компонентами:
Здесь
Пусть
По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем:
Найдем длину и угол наклона вектора перемежения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.
Умножение вектора на число
Произведение вектора на число записывается как а его длина равна при вектора имеют одинаковое направление, при вектора имеют противоположное направление. Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если и коллинеарные векторы, то существует единственное число что
Свойство умножения вектора на число
1. Сочетательное свойство.
Для любых чисел и вектора
2. Распределительное свойство.
Для любых чисел и вектора
Для любого числа и векторов
Действия над векторами, заданным над координатами
Для вектора заданного компонентами и для любого числа верно:
Пример: Если
Пример: Если
• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.
Условие коллинеарности векторов (при )
Пример: При каком значении векторы коллинеарны?
Подробное объяснение вектора:
Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа – компонентами, или координатами, вектора.
Пример:
Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.
Обозначения:
Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.
Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) (2, 3, 5, 0, 1).
Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число называется вектор Суммой векторов и называется вектор
Пространство векторов. N-мерное векторное пространство определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров
где через обозначается количество блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров
Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Геометрический смысл линейной зависимости векторов в интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае – левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов в называется базисом, а сами векторы – базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде (1.1) числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются
Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Будем предполагать, что в пространстве выбрана правая система декартовых прямоугольных координат
Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:
- Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
- Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
- Векторы взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения вводится обозначение
Если векторы коллинеарны, тo в частности, Векторные произведения ортов: Если векторы заданы в базисе координатами то Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Если векторы в базисе заданы своими координатами
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка – левая, то и следовательно
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору обозначается символом Символом обозначается радиус-вектор точки М, символами обозначаются модули векторов
Пример №1
Найдите угол между векторамиединичные векторы и угол между равен 120°.
Решение:
Имеем:
Окончательно имеем:
Пример №2
Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.
Решение:
Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:
значит, вектор имеет координаты (—5,2,10).
Пример №3
Даны два вектора Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов была правой.
Решение:
Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через Поскольку По условию задачи требуется, чтобы и Имеем систему уравнений для нахождения
Из первого и второго уравнений системы получим Подставляя в третье уравнение, будем иметь:
Используя условие получим неравенство
С учетом выражений для перепишем полученное неравенство в виде: откуда следует, что
Линейные операции над векторами
1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы и неколлинеарные и пусть начало вектора совмещено с концом вектора , тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с началом вектора , а его конец – с концом вектора (Рис. 3):
Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.
б) правило параллелограмма. Пусть векторы неколлинеарные и пусть начала векторов совпадают. Построим на векторах параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с общим началом векторов , а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма:
Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
Сумма векторов обладает следующими свойствами:
-переместительным ; – сочетательным
2. Разность векторов. Разностью векторов называется вектор сумма которого с вектором дает вектор (Рис. 5): Рис. 5. Разность векторов.
3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор получают ему коллинеарный вектор длина которого равна сонаправленный с вектором если и антинаправленный вектору если
Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.
Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: – отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).
Пример №4
Найти произведение вектора на 2 и (-3).
Решение:
Используя вышеприведенное правило, получим
Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:
- – сочетательным
- – распределительным относительно скаляров
- -распределительным относительно векторов
Замечание: Если k = 0, то в результате умножения , получают нулевой вектор.
Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.
Проекция вектора на произвольную ось
Пусть дана ось l и вектор Проведем через начало вектора прямую,
которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором обозначим через (Рис. 6):
Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.
Из начала и конца вектора опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок
Определение: Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка взятая со знаком «+», если угол и со знаком «-», если Из рисунка видно, что отрезок следовательно, Из этой формулы видно, что при величина а при величина При проекция равна нулю, Т. е.
Проекции обладают свойствами:
– если то
Декартова система координат и вектора
Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.
Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).
Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор на координатные оси (Рис. 7).
Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.
Из рисунка видно, что проекции вектора на:
- – ось абсцисс (Ох) равна
- – ось ординат (Оу)
(в пространстве – ось аппликат (Oz) ).
Определение: Проекции называются координатами вектора Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора
Направляющие косинусы вектора
Обозначим углы, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Тогда
Определение: Величины называются направляющими косинусами вектора
Вычислив квадрат модуля вектора найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора
Способы задания вектора
- Задаются координаты начальной и конечной точек вектора и. Тогда
- Задаются аффинные координаты вектора
- Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:, но так как по условию , то . Следовательно,
Деление отрезка в заданном отношении
Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки и Требуется найти на заданном отрезке такую точку чтобы где – заданное число (Рис. 8).
Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.
Из рисунка видно, что В силу того, что Подставляя это равенство в систему и исключая вектор найдем, что .
Отсюда найдем вектор В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка делит отрезок пополам то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы
Понятие базиса векторов
Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.
Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов и : , где и – вещественные числа.
Доказательство: Пусть векторы , и приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.
Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.
Из рисунка видно, что (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор коллинеарен вектору а вектор вектору Следовательно, найдутся 2 вещественных числа такие, что будут выполняться равенства: Отсюда следует, что
Докажем единственность разложения вектора по базису Пусть существуют другие вещественные числа такие что и пусть хотя бы одна из пар содержит разные числа, например, Вычитая из первого разложения второе, получим
Это означает, что векторы коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора по базису единственно и имеет ВИД В силу произвольности вектора данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами
Замечание: С геометрической точки зрения числа определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора чтобы по правилу параллелограмма получить вектор В трехмерном пространстве произвольный вектор может быть разложен по некомпланарной тройке векторов причем единственным образом.
Определение: Ортом направления оси называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – Ох, ординат – Оу и аппликат – Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей: – через – через – через (Рис. 10):
Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.
Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:
Так как векторы некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел выступают проекции вектора:
Векторы в геометрии
Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.
Понятие вектора в геометрии
Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.
Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.
Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.
Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.
Есть векторы и в геометрии.
Рассмотрим отрезок Если мы договоримся точку считать началом отрезка, а точку — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки к точке
Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.
Вектор с началом в точке и концом в точке обозначают так: (читают: «вектор
На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы
Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Если начало и конец нулевого вектора — это точка то его можно обозначить и так: На рисунке нулевой вектор изображают точкой.
Модулем вектора называют длину отрезка Модуль вектора обозначают так: а модуль вектора — так:
Модуль нулевого вектора считают равным нулю:
Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы и
Тот факт, что векторы коллинеарны, обозначают так:
На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут:
Если
Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если (рис. 12.6).
На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы противоположно направлены. Этот факт обозначают так:
Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.
На рисунке 12.8 изображены равные векторы Это обозначают так:
Равенство ненулевых векторов означает, что и
Нетрудно доказать, что если Убедитесь в этом самостоятельно.
Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Каждый из них также принято называть вектором
На рисунке 12.10, а изображены вектор и точка Если построен вектор равный вектору то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 12.10, б).
Покажем, как от произвольной точки отложить вектор, равный данному вектору
Если вектор нулевой, то искомым вектором будет вектор
Теперь рассмотрим случай, когда Пусть точка лежит на прямой, содержащей вектор (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки такие, что На указанном рисунке вектор будет равным вектору Его и следует выбрать.
Если точка не принадлежит прямой, содержащей вектор то через точку проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.
От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.
Пример №5
Дан четырехугольник Известно, что и Определите вид четырехугольника
Решение:
Из условия следует, что Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.
Равенство означает, что диагонали четырехугольника равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
Координаты вектора
Рассмотрим на координатной плоскости вектор Отложим от начала координат равный ему вектор (рис. 13.1). Координатами вектора называют координаты точки Запись означает, что вектор имеет координаты
Числа называют соответственно первой и второй координатами вектора
Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов (рис. 13.2) имеет координаты
Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.
Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.
Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты
Теорема 13.1. Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа и равны соответственно первой и второй координатам вектора
Доказательство: Пусть вектор равный вектору имеет координаты Докажем, что
Если то утверждение теоремы очевидно.
Пусть Отложим от начала координат вектор равный вектору Тогда координаты точки равны
Поскольку то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков совпадают. Координаты середин отрезков соответственно равны Тогда
Эти равенства выполняются и тогда, когда точка совпадает с точкой или точка совпадает с точкой
Отсюда
Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты то
Пример №6
Даны координаты трех вершин параллелограмма Найдите координаты вершины
Решение:
Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то Следовательно, координаты этих векторов равны.
Пусть координаты точки равны Для нахождения координат векторов воспользуемся теоремой 13.1.
Имеем:
Отсюда:
Ответ:
Сложение и вычитание векторов
Если тело переместилось из точки в точку а затем из точки в точку то суммарное перемещение из точки в точку естественно представить в виде вектора считая этот вектор суммой векторов то есть (рис. 14.1).
Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора и
Отложим от произвольной точки вектор равный вектору Далее от точки отложим вектор равный вектору Вектор называют суммой векторов (рис. 14.2) и записывают:
Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.
Это название связано с тем, что если векторы не коллинеарны, то точки являются вершинами треугольника (рис. 14.2).
По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор равен сумме коллинеарных векторов
Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило треугольника для сложения векторов.
Теорема 14.1. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны
Доказательство: Пусть точки таковы, что Имеем: Докажем, что координаты вектора равны
Найдем координаты векторов
Имеем:
С учетом того, что получаем:
Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов мы отложили вектор от произвольной точки. Если точку заменить точкой то вместо вектора равного сумме векторов получим некоторый вектор Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов равны следовательно, Это означает, что сумма векторов не зависит от того, от какой точки отложен вектор Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.
Для любых векторов выполняются равенства:
- — переместительное свойство;
- — сочетательное свойство.
Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.
Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например,
Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.
В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме
Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.
Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов (рис. 14.5). Отложим вектор равный вектору Тогда Поскольку векторы равны, то четырехугольник — параллелограмм с диагональю
Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов
Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм (рис. 14.6). Тогда искомая сумма равна вектору
Определение. Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору
Пишут:
Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов
От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам (рис. 14.7). Тогда вектор равен разности Действительно, Следовательно, по определению разности двух векторов то есть
На рисунке 14.7 векторы неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор равен разности коллинеарных векторов
Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.
Теорема 14.2. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны
Докажите эту теорему самостоятельно.
Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов существует единственный вектор такой, что
Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.
Если векторы противоположны, то говорят, что вектор противоположный вектору а вектор противоположный вектору
Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.
Вектор, противоположный вектору обозначают так:
Из определения следует, что противоположным вектору является вектор Тогда для любых точек выполняется равенство
Из правила треугольника следует, что
А из этого равенства следует, что если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты
Теорема 14.3. Для любых векторов выполняется равенство
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.
Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор можно к вектору прибавить вектор (рис. 14.9).
Пример №7
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (рис. 14.10). Выразите векторы и через векторы
Решение:
Поскольку точка — середина отрезков и
Имеем:
Умножение вектора на число
Пусть дан ненулевой вектор На рисунке 15.1 изображены вектор равный вектору и вектор равный вектору Очевидно, что
Вектор обозначают и считают, что он получен в результате умножения вектора на число 2. Аналогично считают, что вектор получен в результате умножения вектора на число -3, и записывают:
Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».
Определение. Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:
2) если если
Пишут:
Если то считают, что
На рисунке 15.2 изображены векторы
Из определения следует, что
Также из определения следует, что если то векторы коллинеарны.
А если векторы коллинеарны, то можно ли представить вектор в виде произведения Ответ дает следующая теорема.
Теорема 15.1. Если векторы коллинеарны и то существует такое число что
Доказательство: Если то при получаем, что Если то или
1) Пусть Рассмотрим вектор Поскольку следовательно, Кроме того, Таким образом, векторы сонаправлены и их модули равны. Отсюда
2) Пусть Рассмотрим вектор Для этого случая завершите доказательство самостоятельно.
Теорема 15.2. Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты
Доказательство: Если то утверждение теоремы очевидно.
Пусть Рассмотрим вектор . Покажем, что Имеем:
Отложим от начала координат векторы равные соответственно векторам Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Этой прямой принадлежит точка Тогда Отсюда
Следовательно, точка также принадлежит прямой поэтому векторы коллинеарны, то есть
При числа имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Следовательно, при точки лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы сонаправлены (рис. 15.3), то есть При векторы будут противоположно направленными, то есть Следовательно, мы получили, что
Следствие 1. Векторы коллинеарны.
Следствие 2. Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число
С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.
Для любых чисел и любых векторов выполняются равенства:
- — сочетательное свойство;
- — первое распределительное свойство;
- — второе распределительное свойство.
Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.
Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,
Пример №8
Докажите, что если то точки и лежат на одной прямой.
Решение:
Из условия следует, что векторы коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Следовательно, точки лежат на одной прямой.
Пример №9
Точка — середина отрезка — произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что
Решение:
Применяя правило треугольника, запишем:
Сложим эти два равенства:
Поскольку векторы противоположны, то Имеем:
Отсюда
Пример №10
Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть точки — середины оснований и трапеции — точка пересечения прямых (рис. 15.5).
Применяя ключевую задачу 2, запишем:
Поскольку где —некоторые числа.
Поскольку Следовательно,
Имеем:
Из ключевой задачи 1 следует, что точки лежат на одной прямой.
Пример №11
Докажите, что если — точка пересечения медиан треугольника то
Решение:
Пусть отрезки — медианы треугольника (рис. 15.6). Имеем:
Отсюда
Из свойства медиан треугольника следует, что
Тогда Аналогично
Отсюда
Применение векторов
Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.
Лемма. Пусть — такая точка отрезка что (рис. 15.9). Тогда для любой точки выполняется равенство
Доказательство: Имеем:
Поскольку то
Запишем:
Поскольку то имеем:
Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.
Пример №12
Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что
Решение:
Пусть точка — середина отрезка Имеем: Тогда, используя лемму, можно записать:
Докажем векторное равенство, связывающее две замечательные точки треугольника.
Теорема. Если точка — ортоцентр треугольника а точка — центр его описанной окружности, то
Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство очевидно.
Пусть треугольник не является прямоугольным. Опустим из точки перпендикуляр на сторону треугольника (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что
На луче отметим точку такую, что Тогда Поскольку то четырехугольник — параллелограмм.
По правилу параллелограмма
Поскольку точка является серединой отрезка то в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда
Имеем:
Обратимся к векторному равенству где — точка пересечения медиан треугольника Так как — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки выбрать точку — центр описанной окружности треугольника
Имеем:
Учитывая равенство получаем:
Это равенство означает, что точки лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.
Скалярное произведение векторов
Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам Величину угла будем называть углом между векторами и
Угол между векторами обозначают так: Например, на рисунке 16.1 а на рисунке 16.2
Если векторы сонаправлены, то считают, что Если хотя бы один из векторов нулевой, то так же считают, что
Следовательно, для любых векторов имеет место неравенство:
Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен Пишут:
Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы тело переместилось из точки в точку (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна где
Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают так:
Имеем:
Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что
Пусть
Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают
Мы получили, что то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.
Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Доказательство: Пусть Докажем, что
Имеем: Отсюда
Пусть теперь Докажем, что
Запишем: Поскольку Отсюда
Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле
Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны.
Отложим от начала координат векторы соответственно равные векторам (рис. 16.4). Тогда
Применим теорему косинусов к треугольнику
Отсюда
Поскольку
Кроме того, Отсюда
Имеем: Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:
Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:
Рассмотрим случай, когда векторы коллинеарны.
Если то очевидно, что
Если то существует такое число то есть
Если Имеем:
Случай, когда рассмотрите самостоятельно.
Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле
Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов следует, что Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу
С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов и любого числа справедливы равенства:
— переместительное свойство;
— сочетательное свойство;
— распределительное свойство.
Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.
Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.
Например,
Пример №13
С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.
Решение:
На рисунке 16.5 изображен ромб Пусть Очевидно, что По правилу параллелограмма имеем:
Отсюда
Следовательно,
Пример №14
Известно, что
Найдите
Решение:
Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Отсюда
Ответ:
Пример №15
В треугольнике известно, что Найдите медиану
Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: (рис. 16.6).
Отсюда:
Следовательно,
Ответ:
Справочный материал
Вектор
Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.
Коллинеарные векторы
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Равные векторы
Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.
Координаты вектора
Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа равны соответственно первой и второй координатам вектора
Модуль вектора
Если вектор имеет координаты
Правила сложения двух векторов
Правило треугольника
Отложим от произвольной точки вектор равный вектору а от точки — вектор равный вектору Вектор