Помогаем находить решения
Образец заявления об уточнении налогового платежа, в том числе в части ошибок в КБК, в 2023 году всё еще может понадобиться. Но уже не так часто, как ранее. Дело в том, что с переходом на ЕНП учет платежей по налогам ФНС ведет по-новому. Соответственно, и исправляют ошибки в платежах иначе. Рассказываем…
Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.
1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Сквозная тема:
Путешествие
Школа: Смирновская С.Ш.
Дата:25.01.17
ФИО
учителя: Титаренко О.В.
Класс: 1
Количество
присутствующих:
Счета, еда, развлечения, отпуск — на всё это нужны финансы. А ведь ещё есть непредвиденные траты, да и подушку безопасности никто не отменял. Вместе с Национальным проектом «Жильё и городская среда» разбираемся, как распределять семейный бюджет, чтобы не оставаться без денег к концу месяца.
{S = a ^2}
На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.
«City of the Dead»
Отлично! Вы теперь одеты по форме, и я предоставлю вам уникальную возможность. Мы начнём всё сначала, как будто я никогда не видел вашей противной рожи. Нравится такой вариант, солдат?
Сержант Дорнан
Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 200.
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 200.
В этой статье мы разберем в подробностях, как найти каждую из сторон прямоугольника. Посмотрим, какие ситуации возможны в задачах и разберем самые трудные и интересные из задач.
С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.
Cоставляем матрицу смежности A(D) размерности (− количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин, из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины Vi и входящая в Vj, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении I-той строки и J-того столбца равен 1, иначе – 0.).
Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T(D) ориентированного графа по первой формуле утверждения 3, затем находим матрицу сильной связности (D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по второй формуле из того же утверждения.
Алгоритм выделения компонент сильной связности
1. Присваиваем =1 (− количество компонент связности), .
2. Включаем в множество вершин VpКомпоненты сильной связности Dp вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы . В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.
3. Вычеркиваем из строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то – количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как +1, присваиваем =+1 и переходим к п. 2.
Пример
Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин =5.
Рис. 6.
Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом
.
Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:
, ,
,
Следовательно,
.
Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:
.
Присваиваем =1 и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D1: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы (D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .
Вычеркиваем из матрицы 1(D) строку и столбец, соответствующие вершине V1, чтобы получить матрицу 2(D):
.
Присваиваем =2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы 2(D), то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности исходного графа D− в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V2:
.
Вычеркиваем из матрицы 2(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V2 ,чтобы получить матрицу 3(D), которая состоит из одного элемента:
И присваиваем =3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .
Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Время на прочтение
2 мин
Количество просмотров 33K
На хабре нет ни одной статьи о поиске компонент сильной связности. Однако это интересная задача, имеющая приложения в самых разных сферах: системах рекомендаций, математической логике и, неожиданно, экологии. Ниже формулировка задачи и решение — алгоритм Косарайю.
К делу:
Заметим: отношение сильной связности — это отношение эквивалентности.
Компонентой сильной связности называется класс эквивалентности множества вершин ориентированного графа относительно отношения сильной связности. Другими словами компонента сильной связности = сильно связный подграф. Так как сильная связность — это отношение эквивалентности, то граф разбивается на сильно связные компоненты. Наша задача найти все такие классы эквивалентности.
Алгоритм Косарайю
Метод Косарайю прост для реализации и понимания. Так как компоненты сильной связности есть циклы, то они совпадают и у исходного графа и у его инвертирования.
Пусть дан ориентированный граф G = (V, E). Через G’ = (V, E’) обозначим интертирование G.
Будем обходить граф G в глубину, пока не посетим все вершины. Заведем массив out = [0…|V|-1] — время выхода из вершины. Под временем понимаются логические часы: изначально время равно 0, при переходе в вершину или выходе из неё время увеличивается на 1.
Когда обход закончится, заведем массив vertices, куда добавим все вершины в порядке увеличения времени выхода. Теперь запустим обход в глубинку на инвертированном графе G’. Каждый раз для обхода будем выбирать ещё не посещенную вершину с максимальным индексом в массиве vertices. Все вершины, посещенные в ходе одной итерации dfs, образуют компоненту сильной связности.
Время работы
Заметим: если граф представлен графом смежности, то нам не требуетcя хранить в памяти инвертированный граф. Иначе нам потребуется O(V+E) доп. памяти. Но, в любом случае, нам требуется O(V) памяти для массивов out и vertices.
Алгоритм состоит из двух обходов DFS. Каждый работает пропорционально V+E для разреженных графов и V^2 для насыщенных. Кроме того, нам требуется O(VlogV) для сортировки вершин при построении массива vertices.
Дополнительно
Корректность алгоритма и псевдокод можно посмотреть тут: www.jeffreykarres.com/blog/kosaraju
В начале статьи я упоминал приложения.
Ориентированный граф (орграф) называется сильно связным (англ. strongly connected), если любые две его вершины s и t сильно связны, то есть если существует ориентированный путь из в и одновременно ориентированный путь из в
Компонентами сильной связности орграфа называются его максимальные по включению сильно связные подграфы. Областью сильной связности называется множество вершин компонентов сильной связности.
Орграф, не принадлежащий к классу сильно связных графов, содержит некоторый набор сильно связных компонент, и некоторый набор ориентированных рёбер, идущих от одной компоненты к другой.
Любая вершина орграфа сильно связна сама с собой.
Простейший алгоритм решения задачи о поиске сильно связных компонент в орграфе работает следующим образом:
Очевидно основное время работы данного алгоритма занимает транзитивное замыкание.
Также существует три алгоритма, решающих данную задачу за линейное время, то есть в V раз быстрее, чем приведённый выше алгоритм. Это алгоритмы Косарайю, поиска компонент сильной связности с двумя стеками и Тарьяна.
Ориентированный граф с показанными компонентами сильной связности
На рисунке изображён орграф, для которого показаны все три компоненты сильной связности (закрашенные области, обведённые пунктиром).
1.
Присваиваем =1
(
− количество
компонент связности),
.
2. Включаем в
множество вершин V
компоненты
сильной связности D
вершины, соответствующие единицам
первой строки матрицы .
В качестве матрицы A(D)
возьмем подматрицу матрицы A(D),
состоящую из элементов матрицы A,
находящихся на пересечении строк и
столбцов, соответствующих вершинам из
V.
3. Вычеркиваем из
строки и столбцы, соответствующие
вершинам из V.
Если не остается ни одной строки (и
столбца), то –
количество компонент сильной связности.
В противном случае обозначим оставшуюся
после вычеркивания срок и столбцов
матрицу как +1,
присваиваем =+1
и переходим к п. 2.
Пример
Выделим
компоненты связности ориентированного
графа, изображенного на рис. 1. В данной
задаче количество вершин =5.
Рис. 1.
Значит, для данного
ориентированного графа матрица смежности
будет иметь размерность 5×5 и будет
выглядеть следующим образом
.
Найдем матрицу
достижимости для данного ориентированного
графа по формуле 1) из утверждения 3:
,
,
,
Следовательно,
.
Таким образом,
матрица сильной связности, полученная
по формуле 2) утверждения 3, будет
следующей:
.
Присваиваем
=1
и составляем множество вершин первой
компоненты сильной связностиD1:
это те вершины, которым соответствуют
единицы в первой строке матрицы (D).
Таким образом, первая компонента сильной
связности состоит из одной вершины
.
Вычеркиваем из
матрицы 1(D)
строку и столбец, соответствующие
вершине v1,
чтобы получить матрицу 2(D):
.
Присваиваем =2.
Множество вершин второй компоненты
связности составят те вершины, которым
соответствуют единицы в первой строке
матрицы 2(D),
то есть
.
Составляем матрицу смежности для
компоненты сильной связности
исходного графаD
− в ее
качестве возьмем подматрицу матрицы
A(D),
состоящую из элементов матрицы A,
находящихся на пересечении строк и
столбцов, соответствующих вершинам из
V2:
.
Вычеркиваем из
матрицы 2(D)
строки и столбцы, соответствующие
вершинам из V2
,чтобы получить матрицу 3(D),
которая состоит из одного элемента:
и присваиваем =3.
Таким образом, третья компонента сильной
связности исходного графа, как и первая,
состоит из одной вершины
.
Таким образом,
выделены 3 компоненты сильной связности
ориентированного графа D:
|
D1:
|
D2:
|
D3:
|
Задание 2.
Расстояния в ориентированном графе
С помощью алгоритма
фронта волны найти расстояния в
ориентированном графе D:
диаметр, радиус и центры.
Пусть
ориентированный граф сn³2
вершинами и v,w
(v¹w)
– заданные вершины из V.
(алгоритм
фронта волны).
Помечаем вершину
индексом 0, затем помечаем вершиныÎ
образу вершины
индексом 1. Обозначаем ихFW1
(v).
Полагаем k=1.
Если
илиk=-1,
и одновременно
то вершина
не достижима из
.
Работа алгоритма заканчивается.
В
противном случае продолжаем:
Если
,
то переходим к шагу 4.
В
противном случае мы нашли минимальный
путь из
в
и его длина равнаk.
Последовательность вершин
есть
этот минимальный путь. Работа завершается.
Помечаем
индексом k+1
все непомеченные вершины, которые
принадлежат образу множества вершин
c
индексом k.
Множество вершин с индексом k+1
обозначаем
.
Присваиваемk:=k+1
и переходим к 2).
Замечания
Чтобы найти
расстояния в ориентированном графе,
необходимо составить матрицу минимальных
расстояний R(D)между
его вершинами. Это квадратная матрица
размерности
,
элементы главной диагонали которой
равны нулю (
,i=1,..,).
Сначала составляем
матрицу смежности. Затем переносим
единицы из матрицы смежности в матрицу
минимальных расстояний (
,
если
).
Далее построчно заполняем матрицу
следующим образом.
Рассматриваем
первую строку, в которой есть единицы.
Пусть это строка − i-тая
и на пересечении с j-тым
столбцом стоит единица (то есть
).
Это значит, что из вершины
можно попасть в вершину
за один шаг. Рассматриваемj-тую
сроку (строку стоит вводить в рассмотрение,
если она содержит хотя бы одну единицу).
Пусть элемент
.
Тогда из вершины
в вершину
можно попасть за два шага. Таким образом,
можно записать
.
Следует заметить, что если в рассматриваемых
строках две или более единиц, то следует
прорабатывать все возможные варианты
попадания из одной вершины в другую,
записывая в матрицу длину наикратчайшего
из них.
Примечание: В
контрольной работе самый длинный путь
найти при помощи алгоритма фронта волны.
Пример
Найдем
расстояния в ориентированном графе D,
изображенном на рис. 2. В данной задаче
количество вершин =7,
следовательно, матрицы смежности и
минимальных расстояний между вершинами
ориентированного графа D
будут иметь
размерность 7×7.
Рис.72.
Матрица смежности:
.
Начинаем
заполнять матрицу R(D)
минимальных расстояний: сначала ставим
нули по главной диагонали
и rij=aij,
если aij=1,
(т.е. переносим единицы из матрицы
смежности). Рассматриваем первую строку.
Здесь есть две единицы, то есть из первой
вершины за один шаг можно попасть во
вторую и шестую. Из второй вершины можно
попасть за один шаг в третью (путь в
первую вершину нас не интересует),
следовательно, можно записать
.
Из шестой вершины можем добраться за
один шаг в пятую и седьмую, а значит,
,
.
Теперь ищем маршруты, исходящие из
первой вершины, состоящие из 3 шагов: за
2 шага идем в третью вершину, оттуда за
один шаг попадаем в четвертую, поэтому
.
В итоге получаем следующую матрицу:
Таким образом,
диаметром исследуемого ориентированного
графа будет
.
Для каждой вершины
заданного ориентированного графа найдем
максимальное удаление (эксцентриситет)
в графе G
от вершины нее по формуле, которая была
приведена выше
:r(vi)
− максимальное из расстояний, стоящих
в i-той
строке. Таким образом,
r(v1)=3,
r(v2)=3,
r(v3)=5,
r(v4)=4,
r(v5)=2,
r(v6)=2,
r(v7)=3.
Значит, радиусом
графа G
будет
Соответственно,
центрами графа
G
будут вершины
v5
иv6
, так как величины их эксцентриситетов
совпадают с величиной радиуса
.
Опишем теперь
нахождение минимального пути из вершины
v3
в вершинуv6
по алгоритму фронта волны. Обозначим
вершину v3
как V0,
а вершину v6
–
как W
(см. рис. 3). Множество вершин, принадлежащих
образу V0,
состоит из одного элемента –
это вершина v4,
которую, согласно алгоритму, обозначаем
как V1:
FW1(v3)={v4}.
Поскольку искомая вершина не принадлежит
фронту волны первого уровня
,
продолжаем работу алгоритма. Строим
фронт волны второго уровня-
это множество вершин, принадлежащих
образу вершины
V1:
FW2(v3)={v7},
обозначаем v7≡V2.
В образ вершины V2
входят две вершины –
v5
и v4,
но, так как v4
уже была помечена как V0,
то фронт волны третьего уровня состоит
из одного элемента: FW3(v3)={v5},
v5≡V3.
Из непомеченных вершин в образ вершины
V3
входят v1
и v2,
соответственно, FW4(v3)={v1,
v2},
v1≡V4,
v2≡V4.
Теперь помечены все вершины, кроме v6,
которая входит в образ вершины
,
то естьFW5(v3)={v6≡W},
работа алгоритма закончена. Минимальный
путь (5 шагов) из вершины v3
в вершинуv6
выглядит так: v3
v4
v7
v5
v1
v6.
Рис.3.
Соседние файлы в папке Diskretnaya_matematika
Вершины 2, 4, 5 сильносвязаны.
Синим цветом обозначен обод DFS по инвертированным ребрам
Компоненты сильной связности в графе можно найти с помощью поиска в глубину в 3 этапа:
Полученные на 3-ем этапе деревья поиска в глубину будут являться компонентами сильной связности графа .
Так как компоненты сильной связности и графа совпадают, то первый поиск в глубину для нахождения можно выполнить на графе , а второй — на .
| Теорема: |
|
Вершины и взаимно достижимы после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву обхода в глубину. |
| Доказательство: |
|
Если вершины и были взаимно достижимы в графе , то на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую, это означает, что по окончанию алгоритма обе вершины лежат в одном поддереве.
Значит, из случая 2.1 и не существования случая 2.2 получаем, что вершины и взаимно достижимы в обоих графах. |
В итоге получаем, что время работы алгоритма .
Пусть — исходный граф, —инвертированный граф. В массиве будем хранить номера вершин в порядке окончания обработки поиском в глубину в графе . В результате получаем массив , который каждой вершине сопоставляет номер её компоненты.
function dfs1(v): color[v] = 1 for (v, u) in E if not visited[u] dfs1(G[v][u]) Добавляем вершину v в конец списка ord function dfs2(v): component[v] = col for (v, u) in E if (вершина u еще не находится ни в какой компоненте) dfs2(H[v][u]) function main(): считываем исходные данные, формируем массивы G и H for u in V if not visited[u] dfs1(u) col = 1 for (по всем вершинам u списка ord[] в обратном порядке) if (вершина u не находится ни в какой компоненте) dfs2(u) col++
Уроки по плетению косичек – YouTube
Источник
Косы популярны у девушек и женщин, стилистов и супермоделей, они не сдают своих позиций десятилетиями, с завидной регулярностью появляясь на модных показах.
